6. 如图,BC为△ABC的外接圆⊙O的直径,点M为△ABC的内心,连接AM并延长交⊙O于点
D,连接CD.
(1) 求∠BCD的大小;
(2) 若CD=4,求DM的长.

6. (1) $∠ BCD=45°$. (2) $DM=4$.

【分析】
首先，根据BC是⊙O的直径，利用“直径所对的圆周角为直角”可得∠BAC=90°；再结合内心是三角形角平分线交点，可知AM平分∠BAC，进而得到∠BAD=45°。对于(1)，利用“同弧所对的圆周角相等”，∠BCD与∠BAD都是弧BD所对的圆周角，因此可求出∠BCD的度数。对于(2)，连接BD，由BC是直径得∠BDC=90°，结合(1)的结论推出△BDC是等腰直角三角形，得到BD=CD；再利用内心性质和三角形外角性质，通过角的等量代换证明△DBM是等腰三角形，从而求出DM的长度。
【解析】
(1)
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ M为△ABC的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，
∴ AM平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD=½∠BAC=½×90°=45°。
∵ ∠BCD与∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴ ∠BCD=∠BAD=45°。
(2) 连接BD，
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角）。
由(1)知∠BCD=45°，
∴ 在Rt△BDC中，∠DBC=90°−∠BCD=45°，
∴ ∠DBC=∠BCD，故BD=CD=4。
∵ M为△ABC的内心，
∴ BM平分∠ABC，即∠ABM=∠CBM。
又
∵ ∠DBM=∠DBC + ∠CBM，
∠DMB=∠BAD + ∠ABM（三角形外角等于不相邻两内角和），
且∠DBC=∠BAD=45°，∠ABM=∠CBM，
∴ ∠DBM=∠DMB，
∴ DM=BD=4。
【答案】
(1) ∠BCD=45°；(2) DM=4
【知识点】
圆周角定理、三角形内心性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内心的知识，关键是利用圆周角定理、内心的角平分线性质进行角的等量代换，结合等腰三角形的判定求解，需学生熟练掌握相关几何定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.4

7. 已知△ABC.
(1) 求作:△ABC的内切圆;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 若△ABC的内切圆的圆心为O,设∠A为α,求∠BOC与α的数量关系.

7. (1) 解:如图,$\odot O$即为$△ ABC$的内切圆.

(2) $∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=90°+\frac{1}{2}α$.

【分析】
第(1)问：三角形内切圆的圆心是三个内角角平分线的交点，只需作出△ABC两个内角的角平分线，其交点即为内心O，以O到任意一边的距离为半径作圆，即可得到内切圆，保留作图痕迹即可。
第(2)问：根据内心是角平分线交点的性质，得到∠OBC、∠OCB与∠ABC、∠ACB的关系；再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB，进而得到∠OBC+∠OCB，最后在△BOC中利用内角和定理推导出∠BOC与α的数量关系。
【解析】
(1) 尺规作图：①作∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线交于点O；②过O作OD⊥BC于D；③以O为圆心，OD长为半径作圆，⊙O即为△ABC的内切圆，作图痕迹保留如图所示。
(2) 因为O是△ABC的内心，所以BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°，已知∠A=α，所以∠ABC + ∠ACB = 180° - α。
因此∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - α) = 90° - $\frac{1}{2}$α。
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理：∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°，代入得：
∠BOC = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$α) = 90° + $\frac{1}{2}$α。
【答案】
(1) 如图，$\odot O$即为$△ ABC$的内切圆.

(2) $∠ BOC=90°+\frac{1}{2}α$
【知识点】
三角形内切圆、角平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内切圆的尺规作图及内心的性质，核心是利用内心为角平分线交点的性质，结合三角形内角和推导角度关系，需掌握尺规作角平分线的方法和三角形内角和的应用。
【难度系数】
0.5

8. [原创题]如图,点A、B、C均在⊙O上,请用无刻度直尺作图.
(1) 若∠A=34°,在图1中求作一个56°的角;
(2) M、N分别是BC、AC边的中点,在图2中求作△ABC的内心.

8. (1) 解:如图1,$∠ BCD$即为所作;

(2) 解:如图2,点$P$即为所作.

【分析】
第(1)问：要作56°的角，已知∠A=34°，结合圆周角定理，利用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，找到与∠A相关的角，通过弧与圆周角的关系确定56°的角；第(2)问：三角形的内心是三个内角平分线的交点，结合已知的中点M、N，连接对应线段，利用内心定义找到交点即可。
【解析】
(1) 连接BD，根据圆周角定理，AB是⊙O的直径，故直径所对圆周角为直角，结合同弧所对圆周角相等，可确定∠BCD=56°，即∠BCD为所求作的角；
(2) 三角形内心是三个内角平分线的交点，连接BC中点M与A，连接AC中点N与B，两条线段AM、BN的交点P即为△ABC的内心。
【答案】
(1) 如图1，∠BCD即为所作；
(2) 如图2，点P即为所作；
【知识点】
圆周角定理、三角形内心、尺规作图
【点评】
本题考查无刻度直尺作图，需结合圆周角定理和三角形内心的性质，准确运用几何性质找到作图关键，是几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

9. 如图,在正方形网格中,A、B、C、D、O均为格点,点O是 ()

A.△ABC的内心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ACD的外心

9. D

【分析】要判断点O的身份，需明确：三角形的内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等；外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。需分别验证O是否为△ABC或△ACD的内心/外心，结合定义和网格特点判断。
【解析】1. 验证△ABC：计算O到A、B、C的距离，可知OA≠OB≠OC，故不是△ABC的外心；再看O到△ABC三边的距离，不相等，也不是△ABC的内心，排除A、B选项。
2. 验证△ACD：计算O到A、C、D三个顶点的距离，可得OA=OC=OD，说明O在△ACD三边的垂直平分线上，因此O是△ACD的外心，对应选项D。
【答案】D
【知识点】三角形外心、三角形内心、网格几何
【点评】本题考查三角形内心与外心的概念区分，需准确掌握两者定义，结合网格特征判断，难度适中。
【难度系数】0.5

10. 已知点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心.
(1) 若∠BIC=115°,则∠BOC=;(2) 若∠BOC=140°,则∠BIC=.

10. (1) $100°$ (2) $125°$

【分析】
本题需利用三角形内心、外心与∠A的角度关系解题：①内心I满足∠BIC=90°+½∠A；②外心O满足∠BOC=2∠A。解题时先根据已知的∠BIC或∠BOC，结合对应公式求出∠A，再代入另一公式计算目标角度。
【解析】
(1) 已知点I为△ABC的内心，根据内心的角度公式：∠BIC=90°+½∠A，代入∠BIC=115°，得：
½∠A = 115° - 90° = 25°，解得∠A=50°。
又点O为△ABC的外心，根据外心的角度公式：∠BOC=2∠A，代入∠A=50°，得∠BOC=2×50°=100°。
(2) 已知点O为△ABC的外心，根据外心的角度公式：∠BOC=2∠A，代入∠BOC=140°，得∠A=140°÷2=70°。
又点I为△ABC的内心，根据内心的角度公式：∠BIC=90°+½∠A，代入∠A=70°，得∠BIC=90°+½×70°=125°。
【答案】
(1) $100°$ (2) $125°$
【知识点】
三角形内心与角度关系、三角形外心与角度关系
【点评】
本题考查三角形内心、外心的核心角度公式应用，需牢记∠BIC与∠A、∠BOC与∠A的数量关系，属于基础几何题型，难度适中。
【难度系数】
0.6