11. 如图,⊙O是等边三角形ABC的内切圆,分别与AB、BC、AC相切于点E、F、D,P是$\overset{\frown}{DF}$上一
点,则∠EPF的度数为.

11. $60°$

【分析】
要解决这个问题，需结合等边三角形的性质、切线的性质以及圆周角定理推导角度：先连接内切圆圆心与各切点，利用切线垂直半径的性质，结合等边三角形内角求出相关圆心角，再通过圆周角定理计算所求圆周角的度数。
【解析】
1. 连接OE、OF，因为⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC上的切点，所以OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
2. 由于△ABC是等边三角形，故∠B=60°。在四边形OEBF中，根据四边形内角和为360°，可得圆心角∠EOF=360°−∠OEB−∠OFB−∠B=360°−90°−90°−60°=120°。
3. 等边三角形的内切圆被三个切点分成的三段弧（$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EF}$、$\overset{\frown}{FD}$）相等，因此$\overset{\frown}{EF}$对应的圆心角为120°。
4. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，P是$\overset{\frown}{DF}$上一点，∠EPF是$\overset{\frown}{EF}$所对的圆周角，故∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
等边三角形性质、切线性质、圆周角定理
【点评】
本题结合等边三角形与内切圆的性质，考查圆周角定理的应用，核心是求出弧对应的圆心角，再利用定理计算，属于基础几何综合题，需掌握相关定理的关联应用。
【难度系数】
0.4

12. (2026山西太原)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC
于点E,DF⊥AC于点F.
(1) 求证:四边形CFDE是正方形;
(2) 若AC=6,BC=8,求△ABC的内切圆的周长.

12. (1) 略 (2) $4π$

【分析】
第(1)问要证明四边形CFDE是正方形，先由三个直角判定其为矩形，再利用角平分线的性质得到邻边相等，即可证得正方形；第(2)问需先利用勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据直角三角形内切圆半径公式算出半径，最后计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴ ∠CFD=∠CED=∠C=90°，
∴ 四边形CFDE是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
又
∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥BC，
∴ DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形CFDE是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。
直角三角形的内切圆半径公式为r=(a+b-c)/2（其中a、b为直角边，c为斜边），
∴ 该三角形内切圆半径r=(6+8-10)/2=2。
∴ 内切圆的周长=2πr=2π×2=4π。
【答案】
(1) 略；(2) 4π
【知识点】
正方形的判定，角平分线的性质，直角三角形内切圆
【点评】
本题综合考查正方形的判定、角平分线的性质及直角三角形内切圆的计算，属于基础题型，需熟练掌握相关性质和公式。
【难度系数】
0.6

13. 已知直角三角形外接圆的半径为6,内切圆的半径为2,则这个直角三角形的面积是.

13. 28

【分析】
要解决这个问题，需先利用直角三角形外接圆半径与斜边的关系求出斜边长度，再通过内切圆半径公式得到两直角边的和，结合勾股定理求出两直角边的乘积，最终计算面积。
【解析】
1. 直角三角形外接圆的直径为斜边，故外接圆半径$ R = \frac{c}{2} $，已知$ R=6 $，则斜边$ c=2R=12 $；
2. 直角三角形内切圆半径公式为$ r = \frac{a+b - c}{2} $（$ a,b $为直角边，$ c $为斜边），代入$ r=2 $、$ c=12 $，得$ 2 = \frac{a+b -12}{2} $，解得$ a+b=16 $；
3. 根据勾股定理，$ a^2 + b^2 = c^2 = 12^2 =144 $；
4. 由完全平方公式$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $，代入$ a+b=16 $、$ a^2 + b^2=144 $，得$ 16^2 =144 +2ab $，即$ 256=144+2ab $，解得$ ab=56 $；
5. 直角三角形面积$ S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×56=28 $。
【答案】
28
【知识点】
直角三角形外接圆半径、内切圆半径、勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形外接圆、内切圆的性质，结合勾股定理与完全平方公式求解，需牢记相关公式，步骤清晰即可完成计算，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5

14. (2026连云港东海)如图①,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,BA为半径作$\overset{\frown}{AC}$,
F为$\overset{\frown}{AC}$上一动点,过点F作$\overset{\frown}{AC}$所在圆的切线,交AD于点P,交CD于点Q.
(1) 求证:△DPQ的周长是正方形ABCD的周长的一半;
(2) 如图②,分别延长PQ、BC相交于点M,设AP的长为x,BM的长为y,试求出y与x之间
的函数表达式.

14. (1) 略 (2) $y=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}(0＜ x＜4)$

【分析】
要解决第(1)问，需利用圆的切线性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。结合正方形边长，将△DPQ的周长转化为AD+DC，即可证明其为正方形周长的一半。第(2)问，先设AP=x，QC=m，利用勾股定理建立m与x的关系，再通过相似三角形的比例关系，推导y与x的函数表达式。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴ ∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA=4，
∵ 以B为圆心，BA为半径作$\overset{\frown}{AC}$，PQ是$\overset{\frown}{AC}$所在圆的切线，切点为F，
∴ PA、PF都是从点P到圆的切线，故PA=PF；同理，QC、QF都是从点Q到圆的切线，故QC=QF，
∴ PQ=PF + QF = PA + QC，
△DPQ的周长=PD + DQ + PQ = PD + DQ + PA + QC = (PD + PA) + (DQ + QC) = AD + DC = 4 + 4 = 8，
正方形ABCD的周长=4×4=16，其一半为8，
∴ △DPQ的周长是正方形ABCD的周长的一半。
(2) 解：
设AP=x，则PD=AD - AP=4 - x，设QC=m，则QF=QC=m，DQ=CD - QC=4 - m，
由(1)知PQ=PF + QF=PA + QC=x + m，
在Rt△DPQ中，由勾股定理得：
PD² + DQ² = PQ²，
即(4 - x)² + (4 - m)² = (x + m)²，
展开得：16 - 8x + x² + 16 - 8m + m² = x² + 2xm + m²，
消去x²、m²，整理得：32 - 8x - 8m = 2xm，
解得：$m = \frac{16 - 4x}{x + 4}$，
∵ AD//BC，
∴ ∠PDQ=∠MCQ=90°，∠PQD=∠MQC，
∴ △PDQ∽△MCQ，
∴ $\frac{PD}{MC} = \frac{DQ}{QC}$，
∵ MC = BM - BC = y - 4，DQ=4 - m，QC=m，
代入得：$\frac{4 - x}{y - 4} = \frac{4 - m}{m}$，
将$m = \frac{16 - 4x}{x + 4}$代入右边：
$\frac{4 - \frac{16 - 4x}{x + 4}}{\frac{16 - 4x}{x + 4}} = \frac{\frac{8x}{x + 4}}{\frac{16 - 4x}{x + 4}} = \frac{2x}{4 - x}$，
∴ $\frac{4 - x}{y - 4} = \frac{2x}{4 - x}$，
交叉相乘得：$(4 - x)^2 = 2x(y - 4)$，
展开整理得：$y = \frac{x}{2} + \frac{8}{x}$，其中0 ＜ x ＜ 4。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $y=\frac{x}{2}+\frac{8}{x}(0＜ x＜4)$
【知识点】
圆的切线性质、相似三角形、勾股定理
【点评】
本题结合正方形与圆的切线性质，考查切线长定理、相似三角形及勾股定理的综合应用，需熟练运用几何定理转化线段关系，推导函数表达式，综合性较强。
【难度系数】
0.5