【例1】从一副扑克牌中任意抽取1张,则下列事件:①这张牌是"A";②这张牌是"红桃";③这张牌是"大王".按其发生的可能性从小到大的顺序排列是(填序号).

例1 ③①②

【分析】要比较事件发生的可能性大小，需计算各事件的概率，概率越小则可能性越小。首先明确一副扑克牌共54张，再分别确定每个事件对应的牌的数量，用数量除以总牌数得到概率，最后比较概率大小，按从小到大排列序号。
【解析】一副扑克牌共有54张。分别计算各事件发生的概率：
1. 事件③（抽到大王）：仅1张大王，概率为$\frac{1}{54}$；
2. 事件①（抽到A）：一副牌有4张A，概率为$\frac{4}{54}$；
3. 事件②（抽到红桃）：一副牌有13张红桃，概率为$\frac{13}{54}$；
因为$\frac{1}{54} ＜ \frac{4}{54} ＜ \frac{13}{54}$，所以事件发生的可能性从小到大的顺序为③①②。
【答案】③①②
【知识点】概率计算、可能性大小比较
【点评】本题考查概率的基本应用，通过计算各事件的概率比较可能性大小，属于基础题型，关键是准确确定各事件对应的牌的数量。
【难度系数】0.3

1. 一个口袋里放有大小完全相同的2个红球、3个白球和5个黑球,最多摸次,就能使摸出的球各种颜色都有.

1. 9

【分析】
本题考查抽屉原理的实际应用，需运用“最不利原则”解题：要保证摸出的球各种颜色都有，需先考虑最不利的情况——把数量最多的两种颜色的球全部摸完，此时再摸1次就一定能摸到第三种颜色的球，从而满足要求。
【解析】
已知口袋中有2个红球、3个白球、5个黑球，数量最多的两种颜色是黑球（5个）和白球（3个）。最不利的情况是先摸完这两种颜色的球，共摸出$5+3=8$个球，此时袋中仅剩红球，再摸1个球必然是红球，因此总共需要摸$8+1=9$次，就能保证摸出的球各种颜色都有。
【答案】
9
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题核心是掌握“最不利原则”的应用，属于基础数学应用题型，需明确“保证所有情况都满足”的解题逻辑。
【难度系数】
0.3

【例2】有4张卡片形状、大小、质地都相同,上面分别画有下列图形:①平行四边形;②菱形;③矩形;④正方形.将卡片背面朝上洗匀,从中抽取一张,正面图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的概率是.

例2 $\frac{3}{4}$

【分析】
要计算抽取的卡片正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率，需先明确两种对称图形的定义，逐一判断4个图形的对称性，再根据概率公式计算。
【解析】
1. 明确对称图形定义：轴对称图形沿一条直线对折后直线两侧部分完全重合；中心对称图形绕中心旋转180°后与自身重合。
2. 判断各图形对称性：①平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；②菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；③矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3. 统计符合条件的图形数量：共3个（②③④），总卡片数为4张。
4. 根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数，即$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形、概率计算
【点评】
本题为基础题，核心考查对称图形的概念和简单概率计算，解题关键是准确判断每个图形的对称性，难度较低，需细心分析。
【难度系数】
0.7

2. 要在一个不透明的袋子中放入若干个只有颜色不同的乒乓球,搅匀后,使得从袋子中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是$\frac{1}{5}$,可以怎样放球? (写一种即可).

2. 放入4个黄色乒乓球,1个白色乒乓球(答案不唯一)

【分析】
要解决这个问题，需利用概率的计算公式：某事件发生的概率 = 该事件对应的情况数 ÷ 所有可能发生的总情况数。题目要求摸出白球的概率为$\frac{1}{5}$，即白球数量与总乒乓球数量的比值为$\frac{1}{5}$，因此只需保证白球数和总球数满足1:5的比例，据此设计符合要求的放球方案即可。
【解析】
根据概率公式，设袋子中白色乒乓球有$x$个，总乒乓球数为$n$个，则摸出白球的概率$P=\frac{x}{n}=\frac{1}{5}$，即$n=5x$（$x$为正整数）。取$x=1$，则总球数$n=5$，非白色乒乓球数量为$5-1=4$个，因此可以放入1个白色乒乓球和4个其他颜色（如黄色）的乒乓球，满足条件。
【答案】
放入4个黄色乒乓球，1个白色乒乓球（答案不唯一）
【知识点】
概率的计算、简单概率应用
【点评】
本题考查概率公式的基础应用，核心是理解概率与事件数量的对应关系，属于基础题，只要掌握概率的定义即可解答，答案不唯一体现了题目的开放性。
【难度系数】
0.8

【例3】一个不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是.

例3 $\frac{1}{4}$

【分析】
本题是求有放回摸两次小球的特定概率，解题时需先通过列举法找出所有等可能的结果，再确定符合“第一次摸到红球、第二次摸到绿球”条件的结果数量，最后根据概率公式计算即可。由于是放回摸球，第一次摸球后小球放回，第二次摸球的情况与第一次一致，总共有4种等可能结果，符合条件的仅1种，据此计算概率。
【解析】
解：根据题意，所有等可能的结果为：（红，红）、（红，绿）、（绿，红）、（绿，绿），共4种。其中“第一次摸到红球、第二次摸到绿球”的结果只有1种，根据概率公式，所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率、简单事件的概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，通过列举所有等可能结果即可快速求解，重点考查学生对有放回抽样概率的理解，难度较低，适合巩固概率的基本概念。
【难度系数】
0.8

3. 有三张完全一样的卡片,正面分别标有数字-1,1,2,将其背面朝上洗匀,从中随机抽出一张记为点P的横坐标x,放回后洗匀,再从中随机抽出一张记为点P的纵坐标y,则点P(x,y)在第一象限的概率是.

3. $\frac{4}{9}$

【分析】
本题是求点P(x,y)在第一象限的概率，需先确定所有等可能的点的总数，再找出满足第一象限条件的点的数量，最后根据概率公式计算。由于抽取卡片是放回操作，第一次和第二次抽取结果相互独立，总情况数为3×3=9种；第一象限的点需满足横坐标x＞0且纵坐标y＞0，据此筛选符合条件的点，进而计算概率。
【解析】
解：根据题意，所有等可能的点P(x,y)为：(-1,-1)、(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)、(2,2)，共9种。
其中，第一象限的点需满足x＞0且y＞0，符合条件的点有：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)，共4种。
根据概率公式，点P在第一象限的概率为：P = 符合条件的情况数 / 总情况数 = 4/9。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
平面直角坐标系象限判断、列举法求概率、概率公式应用
【点评】
本题考查概率的基础计算，属于初中概率部分的典型基础题，关键是明确放回抽样的总情况数，掌握第一象限点的坐标特征，通过列举法准确筛选符合条件的情况，难度适中，适合巩固概率的基本应用。
【难度系数】
0.7

【例4】现将正面分别标有"1""2""3""4"的四张卡片,洗匀后背面朝上放在桌上,然后随机抽出一张,不放回,再随机抽出一张,两次抽出的卡片上的数字之和是3的倍数的概率是.

例4 $\frac{1}{3}$

【分析】本题是不放回抽取的概率问题，需先计算所有可能的抽取情况总数，再筛选出两次卡片数字之和为3的倍数的情况数，最后利用概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】解：①计算总情况数：不放回抽取两张卡片，第一次有4种抽法，第二次有3种抽法，总情况数为$4×3=12$种；②列举所有情况，筛选符合条件的：两次数字之和为3的倍数的情况有$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,4)$、$(4,2)$，共4种；③计算概率：所求概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】概率计算、不放回抽样
【点评】本题考查简单概率的计算，核心是准确列举所有抽取情况并筛选符合条件的情况，需注意不放回抽样的情况数计算，避免重复或遗漏。
【难度系数】0.6

4. 桌面上放有四张背面完全一样的卡片,每张卡片正面分别标有数字-4,0,3,5.将四张卡片背面朝上,洗匀后随机抽取两张,则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是.

4. $\frac{2}{3}$

【分析】要计算随机抽取两张卡片数字之和为奇数的概率，需先确定所有抽取情况的总数，再根据“奇数+偶数=奇数”的性质，找出数字和为奇数的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】1. 计算总情况数：从4张卡片中随机抽取2张，不考虑顺序，总情况数为组合数$\mathrm{C}_{4}^{2}=\frac{4×3}{2×1}=6$种；
2. 统计奇偶卡片数量：偶数卡片有-4、0共2张，奇数卡片有3、5共2张；
3. 计算符合条件的情况数：两数和为奇数需为一奇一偶，因此符合条件的情况数为$2×2=4$种；
4. 计算概率：所求概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】$\frac{2}{3}$
【知识点】概率计算、组合应用、数的奇偶性
【点评】本题结合数的奇偶性考查概率计算，核心是明确“两数和为奇数则必为一奇一偶”，通过组合数快速统计情况数即可求解，属于基础概率应用题。
【难度系数】0.5