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【例5】周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游,小颖一家想去丹霞山、坡上草原中的一处旅游,则两家恰好选择同一处景区的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
例5 $\frac{1}{3}$
解析
【分析】首先确定两家各自可选的景区数量，通过乘法原理计算所有可能的选择组合数，再找出两家选择同一景区的组合数，最后依据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果。
【解析】小明一家的选择有3种：丹霞山、老厂竹海、坡上草原；小颖一家的选择有2种：丹霞山、坡上草原。两家选择景区的总情况数为 $3 × 2 = 6$ 种。其中两家恰好选择同一处景区的情况有：都选丹霞山、都选坡上草原，共2种。根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】概率计算、列举法求概率
【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，通过列举所有可能的情况简化计算，属于基础概率题，需准确统计总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】0.5
【解析】小明一家的选择有3种：丹霞山、老厂竹海、坡上草原；小颖一家的选择有2种：丹霞山、坡上草原。两家选择景区的总情况数为 $3 × 2 = 6$ 种。其中两家恰好选择同一处景区的情况有：都选丹霞山、都选坡上草原，共2种。根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】概率计算、列举法求概率
【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，通过列举所有可能的情况简化计算，属于基础概率题，需准确统计总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】0.5
5. 小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
5. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
要计算随机拿出一顶帽子和一条围巾恰好为红色帽子和红色围巾的概率，需先确定所有等可能的搭配情况总数，再找出符合条件的搭配情况数，最后根据概率公式计算。帽子有2种选择，围巾有3种选择，总搭配数为两者的乘积，符合条件的仅1种，据此可求出概率。
【解析】
解：用列举法列出所有等可能的搭配结果：
帽子有红、黑2种，围巾有红、黑、白3种，所有搭配为：（红帽，红围巾）、（红帽，黑围巾）、（红帽，白围巾）、（黑帽，红围巾）、（黑帽，黑围巾）、（黑帽，白围巾），共6种等可能的结果。
其中恰好是红色帽子和红色围巾的结果只有1种。
根据概率公式$ P = \frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数} $，可得所求概率为$ \frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率初步的基础题型，考查学生对概率基本公式的掌握，解题关键是准确列举所有等可能结果并筛选出符合条件的结果，难度较低。
【难度系数】
0.3
要计算随机拿出一顶帽子和一条围巾恰好为红色帽子和红色围巾的概率，需先确定所有等可能的搭配情况总数，再找出符合条件的搭配情况数，最后根据概率公式计算。帽子有2种选择，围巾有3种选择，总搭配数为两者的乘积，符合条件的仅1种，据此可求出概率。
【解析】
解：用列举法列出所有等可能的搭配结果：
帽子有红、黑2种，围巾有红、黑、白3种，所有搭配为：（红帽，红围巾）、（红帽，黑围巾）、（红帽，白围巾）、（黑帽，红围巾）、（黑帽，黑围巾）、（黑帽，白围巾），共6种等可能的结果。
其中恰好是红色帽子和红色围巾的结果只有1种。
根据概率公式$ P = \frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数} $，可得所求概率为$ \frac{1}{6} $。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题是概率初步的基础题型，考查学生对概率基本公式的掌握，解题关键是准确列举所有等可能结果并筛选出符合条件的结果，难度较低。
【难度系数】
0.3
【例6】如图,在矩形游戏板ABCD中,$AB=2$,$BC=4$,E为BC的中点,连接AE、DE.以点E为圆心,BE长为半径画弧,分别与AE、DE交于点F、G.向该矩形游戏板随机扔一枚飞针扔到矩形游戏板外或矩形游戏板分割线上时,需重新扔,则击中图中阴影部分区域的概率为
$\frac{4-π}{8}$
.答案
例6 $\frac{4-π}{8}$
解析
【分析】
要计算飞针击中阴影部分的概率，需利用几何概率公式：概率=阴影部分面积÷矩形总面积。首先计算矩形的面积，再通过图形的对称性，求出两个对称阴影部分的总面积，最后代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算矩形面积：
已知矩形ABCD中，AB=2，BC=4，根据矩形面积公式，得：
$S_{矩形ABCD}=AB×BC=2×4=8$。
2. 确定图形关键参数：
E为BC中点，故$BE=EC=\frac{BC}{2}=2$，即扇形的半径$r=2$。
在$Rt△ABE$中，$AB=BE=2$，$∠B=90°$，因此$△ABE$是等腰直角三角形，$∠AEB=45°$；同理$∠DEC=45°$，即两个扇形（扇形BEF、扇形CEG）的圆心角均为$45°$。
3. 计算单个阴影部分面积：
单个阴影部分面积=对应直角三角形面积 - 扇形面积。
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×2×2=2$；
扇形面积公式为$S=\frac{nπr²}{360}$（$n$为圆心角度数），代入$n=45°$，$r=2$，得：
$S_{扇形BEF}=\frac{45×π×2²}{360}=\frac{π}{2}$；
因此单个阴影面积为：$2 - \frac{π}{2}$。
4. 计算阴影总面积与概率：
两个阴影部分对称，故$S_{阴影}=2×(2 - \frac{π}{2})=4 - π$；
概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{4 - π}{8}$。
【答案】
$\frac{4 - π}{8}$
【知识点】
几何概率，扇形面积，矩形面积
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查几何概率，利用对称性简化了阴影面积的求解，关键是确定扇形的圆心角和半径，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
要计算飞针击中阴影部分的概率，需利用几何概率公式：概率=阴影部分面积÷矩形总面积。首先计算矩形的面积，再通过图形的对称性，求出两个对称阴影部分的总面积，最后代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算矩形面积：
已知矩形ABCD中，AB=2，BC=4，根据矩形面积公式，得：
$S_{矩形ABCD}=AB×BC=2×4=8$。
2. 确定图形关键参数：
E为BC中点，故$BE=EC=\frac{BC}{2}=2$，即扇形的半径$r=2$。
在$Rt△ABE$中，$AB=BE=2$，$∠B=90°$，因此$△ABE$是等腰直角三角形，$∠AEB=45°$；同理$∠DEC=45°$，即两个扇形（扇形BEF、扇形CEG）的圆心角均为$45°$。
3. 计算单个阴影部分面积：
单个阴影部分面积=对应直角三角形面积 - 扇形面积。
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×2×2=2$；
扇形面积公式为$S=\frac{nπr²}{360}$（$n$为圆心角度数），代入$n=45°$，$r=2$，得：
$S_{扇形BEF}=\frac{45×π×2²}{360}=\frac{π}{2}$；
因此单个阴影面积为：$2 - \frac{π}{2}$。
4. 计算阴影总面积与概率：
两个阴影部分对称，故$S_{阴影}=2×(2 - \frac{π}{2})=4 - π$；
概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{4 - π}{8}$。
【答案】
$\frac{4 - π}{8}$
【知识点】
几何概率，扇形面积，矩形面积
【点评】
本题结合几何图形的面积计算考查几何概率，利用对称性简化了阴影面积的求解，关键是确定扇形的圆心角和半径，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
6. 如图,两个相同的可以自由转动的转盘A和B,转盘A被三等分,分别标有数字2,0,-1;转盘B被四等分,分别标有数字3,2,-2,-3.如果同时转动转盘A,B,转盘停止时,两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x、y当指针指在两个扇形的交线时,需重新转动转盘,那么点(x,y)落在平面直角坐标系的y轴正半轴上的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
6. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
要解决这个概率问题，需遵循“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的思路：首先计算同时转动两个转盘的总等可能情况数，再明确点落在y轴正半轴的坐标条件，最后统计符合条件的情况数，代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算总情况数：转盘A被三等分，有3种等可能结果；转盘B被四等分，有4种等可能结果，因此同时转动两个转盘的总等可能情况数为 $3 × 4 = 12$ 种。
2. 确定符合条件的情况：点$(x,y)$落在y轴正半轴需满足：①横坐标$x=0$（来自转盘A）；②纵坐标$y＞0$（来自转盘B）。转盘A中$x=0$的情况有1种；转盘B中$y＞0$的数字为3、2，共2种情况，因此符合条件的情况数为 $1 × 2 = 2$ 种。
3. 计算概率：概率 = $\frac{符合条件的情况数}{总情况数} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题结合转盘概率与平面直角坐标系知识点，核心是明确y轴正半轴的坐标条件，准确统计等可能情况数，属于基础概率应用题，需注意转盘等分份数对应等可能结果数的规则。
【难度系数】
0.3
要解决这个概率问题，需遵循“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的思路：首先计算同时转动两个转盘的总等可能情况数，再明确点落在y轴正半轴的坐标条件，最后统计符合条件的情况数，代入公式计算概率。
【解析】
1. 计算总情况数：转盘A被三等分，有3种等可能结果；转盘B被四等分，有4种等可能结果，因此同时转动两个转盘的总等可能情况数为 $3 × 4 = 12$ 种。
2. 确定符合条件的情况：点$(x,y)$落在y轴正半轴需满足：①横坐标$x=0$（来自转盘A）；②纵坐标$y＞0$（来自转盘B）。转盘A中$x=0$的情况有1种；转盘B中$y＞0$的数字为3、2，共2种情况，因此符合条件的情况数为 $1 × 2 = 2$ 种。
3. 计算概率：概率 = $\frac{符合条件的情况数}{总情况数} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题结合转盘概率与平面直角坐标系知识点，核心是明确y轴正半轴的坐标条件，准确统计等可能情况数，属于基础概率应用题，需注意转盘等分份数对应等可能结果数的规则。
【难度系数】
0.3
1. 在一个不透明的口袋中,装有除颜色不同,其他完全相同的18个球,若从袋中摸出绿球的概率为$\frac{1}{3}$,则袋中装有绿球的个数为
6
.答案
1. 6
解析
【分析】首先明确概率的计算公式：某事件发生的概率等于该事件对应的数量除以总数量。本题中，摸出绿球的概率 = 绿球个数 ÷ 总球数，已知总球数和摸绿球的概率，因此通过总球数乘以该概率即可求出绿球的个数。
【解析】根据概率公式，绿球个数 = 总球数 × 摸出绿球的概率 = $18 × \frac{1}{3} = 6$。
【答案】6
【知识点】概率的计算
【点评】本题是概率的基础应用题，直接运用概率公式即可求解，考查对基础概率知识点的掌握。
【难度系数】0.9
【解析】根据概率公式，绿球个数 = 总球数 × 摸出绿球的概率 = $18 × \frac{1}{3} = 6$。
【答案】6
【知识点】概率的计算
【点评】本题是概率的基础应用题，直接运用概率公式即可求解，考查对基础概率知识点的掌握。
【难度系数】0.9
2. 一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和1个红球,它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球,不放回,再摸出1个球,则两次摸到的球都是白球的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
2. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是不放回摸球的概率计算问题，解题时需先确定所有等可能的摸球结果总数，再找出两次都摸到白球的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算概率。由于是不放回摸球，第一次摸球后剩余球数减少，需注意总结果数的计算方式。
【解析】
解：将2个白球分别记为白₁、白₂，黑球记为黑，红球记为红。
不放回摸两次球，第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球有3种等可能结果，因此总共有4×3=12种等可能的结果。
其中两次摸到的球都是白球的情况有：（白₁，白₂）、（白₂，白₁），共2种。
根据概率公式，两次摸到都是白球的概率为：$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算，列举法求概率
【点评】
本题考查基础概率的计算，属于初中数学概率模块的常规题型，通过列举所有可能的结果即可快速求解，关键是明确不放回试验中总结果数的计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是不放回摸球的概率计算问题，解题时需先确定所有等可能的摸球结果总数，再找出两次都摸到白球的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算概率。由于是不放回摸球，第一次摸球后剩余球数减少，需注意总结果数的计算方式。
【解析】
解：将2个白球分别记为白₁、白₂，黑球记为黑，红球记为红。
不放回摸两次球，第一次摸球有4种等可能结果，第二次摸球有3种等可能结果，因此总共有4×3=12种等可能的结果。
其中两次摸到的球都是白球的情况有：（白₁，白₂）、（白₂，白₁），共2种。
根据概率公式，两次摸到都是白球的概率为：$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算，列举法求概率
【点评】
本题考查基础概率的计算，属于初中数学概率模块的常规题型，通过列举所有可能的结果即可快速求解，关键是明确不放回试验中总结果数的计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 如图,O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,随机在正六边形内取一点P不取在线段上,那么点P取在阴影部分的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决该几何概率问题，需利用正六边形的性质分析阴影部分与正六边形的面积关系：正六边形对边平行且相等，对角线FD上的点O使得阴影部分（△AFO与△CDO）的面积和等于△AFD的面积；再结合正六边形的面积公式，确定△AFD面积占正六边形总面积的比例，即可得到概率。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为$a$，正六边形的面积为：
$S_{正六边形} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
连接AF、FD、AD，△AFD中，底$AD=2a$，F到AD的距离为正六边形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此△AFD的面积为：
$S_{△ AFD} = \frac{1}{2} × AD × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 2a × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$
由于点O在FD上，△AFO与△CDO的面积之和恒等于△AFD的面积（等积变换：O在FD上时，两阴影三角形面积和与△AFD面积相等），因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ AFD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
则点P取在阴影部分的概率为：
$P = \frac{S_{阴影}}{S_{正六边形}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正六边形的性质、几何概率
【点评】
本题结合正六边形的对称性与面积关系，利用几何概率的计算方法，核心是发现阴影部分面积等于△AFD的面积，而△AFD面积为正六边形的1/3，体现了几何图形性质在概率问题中的应用。
【难度系数】
0.4
要解决该几何概率问题，需利用正六边形的性质分析阴影部分与正六边形的面积关系：正六边形对边平行且相等，对角线FD上的点O使得阴影部分（△AFO与△CDO）的面积和等于△AFD的面积；再结合正六边形的面积公式，确定△AFD面积占正六边形总面积的比例，即可得到概率。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为$a$，正六边形的面积为：
$S_{正六边形} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
连接AF、FD、AD，△AFD中，底$AD=2a$，F到AD的距离为正六边形的高$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，因此△AFD的面积为：
$S_{△ AFD} = \frac{1}{2} × AD × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 2a × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$
由于点O在FD上，△AFO与△CDO的面积之和恒等于△AFD的面积（等积变换：O在FD上时，两阴影三角形面积和与△AFD面积相等），因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ AFD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
则点P取在阴影部分的概率为：
$P = \frac{S_{阴影}}{S_{正六边形}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正六边形的性质、几何概率
【点评】
本题结合正六边形的对称性与面积关系，利用几何概率的计算方法，核心是发现阴影部分面积等于△AFD的面积，而△AFD面积为正六边形的1/3，体现了几何图形性质在概率问题中的应用。
【难度系数】
0.4
4. 如图,在半径为30 cm的圆盘上,$\overset{\frown}{AB}$的长为$20π$ cm.若旋转圆盘中心的指针指针指在分割线上时,需重新旋转,则指针指向Ⅰ处的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
4. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算指针指向Ⅰ处的概率，由于圆盘均匀，指针指向某区域的概率等于该区域对应的圆心角与整个圆周角的比值。首先利用弧长公式求出弧AB对应的圆心角，而Ⅰ区域的圆心角等于弧AB对应的圆心角，再通过圆心角的比例即可得到概率。
【解析】
1. 已知圆盘半径$ r=30\ \mathrm{cm} $，弧$\overset{\frown}{AB}$的长$ l=20π\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $（$ n $为弧对应的圆心角度数），代入数据计算圆心角：
$ n = \frac{180l}{π r} = \frac{180 × 20π}{π × 30} = 120° $
2. 整个圆盘对应的圆心角为$ 360° $，因此指针指向Ⅰ处的概率为Ⅰ区域圆心角与$ 360° $的比值：
$ P = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率、弧长公式
【点评】
本题结合几何概率与弧长公式，考查学生对几何概率的理解及弧长公式的应用，属于基础的概率计算题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算指针指向Ⅰ处的概率，由于圆盘均匀，指针指向某区域的概率等于该区域对应的圆心角与整个圆周角的比值。首先利用弧长公式求出弧AB对应的圆心角，而Ⅰ区域的圆心角等于弧AB对应的圆心角，再通过圆心角的比例即可得到概率。
【解析】
1. 已知圆盘半径$ r=30\ \mathrm{cm} $，弧$\overset{\frown}{AB}$的长$ l=20π\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $（$ n $为弧对应的圆心角度数），代入数据计算圆心角：
$ n = \frac{180l}{π r} = \frac{180 × 20π}{π × 30} = 120° $
2. 整个圆盘对应的圆心角为$ 360° $，因此指针指向Ⅰ处的概率为Ⅰ区域圆心角与$ 360° $的比值：
$ P = \frac{120°}{360°} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率、弧长公式
【点评】
本题结合几何概率与弧长公式，考查学生对几何概率的理解及弧长公式的应用，属于基础的概率计算题目，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图1,第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.现假设可在如图2所示的弦图区域内随机取点不取在线段上.若在正方形ABCD中,$AB=5$,$AF=4$,则这个点落在阴影部分的概率为
$\frac{24}{25}$
.答案
5. $\frac{24}{25}$
解析
【分析】
要计算随机取点落在阴影部分的概率，需明确概率公式为“阴影部分面积÷正方形总面积”。首先根据正方形边长求出总面积，再利用直角三角形的勾股定理求出直角边长度，进而算出阴影部分（四个直角三角形）的总面积，最后代入公式求解。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的总面积：已知正方形边长AB=5，根据正方形面积公式，总面积$S_{总}=AB^2=5^2=25$。
2. 求直角三角形ABF的另一条直角边：在$Rt△ ABF$中，斜边$AB=5$，直角边$AF=4$，由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^2 - AF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
3. 计算阴影部分面积：阴影部分是4个全等的直角三角形，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×AF×BF=\frac{1}{2}×4×3=6$，因此阴影总面积$S_{阴}=4×6=24$。
4. 计算概率：根据几何概率公式，所求概率$P=\frac{S_{阴}}{S_{总}}=\frac{24}{25}$。
【答案】
$\frac{24}{25}$
【知识点】
几何概率、勾股定理、正方形面积
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，考查几何概率的计算，核心是利用勾股定理求出直角三角形边长，进而计算阴影面积，属于基础几何应用题型，需掌握几何概率的求解逻辑。
【难度系数】
0.3
要计算随机取点落在阴影部分的概率，需明确概率公式为“阴影部分面积÷正方形总面积”。首先根据正方形边长求出总面积，再利用直角三角形的勾股定理求出直角边长度，进而算出阴影部分（四个直角三角形）的总面积，最后代入公式求解。
【解析】
1. 计算正方形ABCD的总面积：已知正方形边长AB=5，根据正方形面积公式，总面积$S_{总}=AB^2=5^2=25$。
2. 求直角三角形ABF的另一条直角边：在$Rt△ ABF$中，斜边$AB=5$，直角边$AF=4$，由勾股定理得$BF=\sqrt{AB^2 - AF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
3. 计算阴影部分面积：阴影部分是4个全等的直角三角形，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×AF×BF=\frac{1}{2}×4×3=6$，因此阴影总面积$S_{阴}=4×6=24$。
4. 计算概率：根据几何概率公式，所求概率$P=\frac{S_{阴}}{S_{总}}=\frac{24}{25}$。
【答案】
$\frac{24}{25}$
【知识点】
几何概率、勾股定理、正方形面积
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，考查几何概率的计算，核心是利用勾股定理求出直角三角形边长，进而计算阴影面积，属于基础几何应用题型，需掌握几何概率的求解逻辑。
【难度系数】
0.3
