6. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球,其中1个黄球、1个白球、2个红球.
(1)任意摸出1个球,记下颜色后不放回,再任意摸出1个球,求两次摸出的球恰好都是红球的概率;
(2)现再将n个黄球放入布袋,搅匀后,使任意摸出1个球是黄球的概率为$\frac{3}{4}$,求n的值.

(1) $\frac{1}{6}$. (2) $n=8$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问是不放回摸球的概率问题，需通过列举法（树状图或列表）确定所有等可能的结果数，再找出两次都是红球的结果数，根据概率公式计算；第(2)问是利用概率公式列方程求解，需明确加入n个黄球后黄球总数和总球数，再结合已知概率建立等式。
【解析】
(1) 原来布袋中有1个黄球、1个白球、2个红球，共4个球。不放回摸两次，所有等可能的结果可通过树状图或列表列举，总结果数为 $4 × 3 = 12$ 种；两次摸出的都是红球的情况：第一次摸红球有2种选择，第二次摸剩下的1个红球，共 $2 × 1 = 2$ 种结果。根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
(2) 加入n个黄球后，布袋中黄球总数为 $1 + n$ 个，总球数为 $4 + n$ 个。根据“任意摸出1个球是黄球的概率为 $\frac{3}{4}$”，列方程：
$\frac{1 + n}{4 + n} = \frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4(1 + n) = 3(4 + n)$，展开：$4 + 4n = 12 + 3n$，移项解得：$n = 8$。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}$；(2) $n=8$
【知识点】
概率的计算、概率公式的应用
【点评】
本题考查概率的基本计算，第(1)问需注意不放回试验的结果数计算，第(2)问关键是正确表示加入球后的黄球数和总球数，利用概率公式列方程求解，属于概率基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

7. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查,采用学生抽签方式决定各自的考查内容.规定:每位考生必须在4个物理实验考查内容用A,B,C,D表示和4个化学实验考查内容用E,F,G,H表示中各抽取一个进行实验技能考查.小刚在看不到签的情况下,从中各随机抽取一个.
(1)小刚抽到物理实验A的概率是;
(2)求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率.请用画树状图或列表的方法写出分析过程

(1) $\frac{1}{4}$ (2) 画树状图或列表略,$\frac{1}{16}$.

【分析】
第(1)问：物理实验共4个，随机抽取时每个实验被抽到的可能性相等，总共有4种等可能结果，抽到物理实验A的结果仅1种，直接用概率公式计算即可。第(2)问：要计算同时抽到物理实验B和化学实验F的概率，需先通过列举法（列表或树状图）确定所有等可能的抽取结果总数，再找出符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 物理实验有A、B、C、D共4个，随机抽取一个，所有等可能结果数为4，其中抽到物理实验A的结果数为1，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}$，可得小刚抽到物理实验A的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用列表法呈现所有等可能的抽取结果：
| 物理\化学 | E | F | G | H |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,E) | (A,F) | (A,G) | (A,H) |
| B | (B,E) | (B,F) | (B,G) | (B,H) |
| C | (C,E) | (C,F) | (C,G) | (C,H) |
| D | (D,E) | (D,F) | (D,G) | (D,H) |
由上表可知，所有等可能的结果共$4×4=16$种，其中抽到物理实验B和化学实验F的结果仅1种，因此所求概率为$\frac{1}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{16}$
【知识点】
概率计算、列举法求概率
【点评】
本题为概率基础题型，核心考查概率公式的应用，通过列表法清晰梳理所有等可能结果，只要掌握基础概率知识即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

8. 2026年4月11日,2026江苏省城市足球联赛揭幕战在常州奥体中心体育场举行,对阵双方为常州队和南通队.小明和小张是足球爱好者,他们相约一起去现场看球,现场的观赛区分为A,B,C,D四个区域,购票以后系统随机分配观赛区域.
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为;
(2)求小明和小张在同一区域观看比赛的概率.请用画树状图或列表的方法说明

(1) $\frac{1}{4}$ (2) 画树状图或列表略,小明和小张在同一区域观看比赛的概率为$\frac{1}{4}$.

【分析】
首先，对于第一问，观赛区有A、B、C、D共4个等可能区域，系统随机分配，每个区域被选中的可能性相等，属于简单等可能事件，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可。对于第二问，小明和小张各有4种区域选择，需用列表或树状图列出所有等可能结果，再找出两人在同一区域的结果数，最后根据概率公式计算，避免漏算或错算结果。
【解析】
(1) 观赛区共4个等可能区域，小明被分配到A区的结果仅1种，根据概率公式：
$P(小明在A区)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{1}{4}$。
(2) 用列表法列举所有等可能结果：
| 小明\小张 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
总共有16种等可能结果，其中两人在同一区域的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种，因此：
$P(两人在同一区域)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
概率计算、列举法求概率
【点评】
本题为概率章节基础题型，考查简单事件与两步随机事件的概率计算，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，帮助学生巩固概率核心概念，难度适中，适合基础练习。
【难度系数】
0.7

9. 有五张大小、形状完全相同的卡片,正面分别画有如图所示的图形.将卡片背面朝上放在桌上,从中任意抽取一张,记下图形的名称后不放回,将余下的四张卡片搅匀后,再任意抽取一张.求两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率.

平行四边形 矩形 圆 等腰三角形 直角三角形

两次抽取的卡片上的图形都是中心对称图形的概率为$\frac{3}{10}$.

【分析】首先需根据中心对称图形的定义，判断题目中5个图形里的中心对称图形数量；再结合不放回抽取的特点，计算两次抽取的总情况数和两次都抽到中心对称图形的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】1. 判定中心对称图形：根据中心对称图形的定义，平行四边形、矩形、圆是中心对称图形，共3个；等腰三角形、直角三角形不是中心对称图形，共2个。
2. 计算总情况数：不放回抽取两次，第一次有5种选择，第二次有4种选择，总情况数为$5×4=20$种。
3. 计算符合条件的情况数：两次都抽到中心对称图形，第一次从3个中心对称图形中选1个，第二次从剩下的2个中心对称图形中选1个，情况数为$3×2=6$种。
4. 计算概率：概率=符合条件的情况数÷总情况数=$6÷20=\frac{3}{10}$。
【答案】$\frac{3}{10}$
【知识点】中心对称图形，概率计算
【点评】本题结合图形识别与概率计算，核心是先准确判断中心对称图形的数量，再利用不放回抽样的概率公式求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5