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1. 解下列不等式(组):
(1) $\frac{2x - 1}{3} - 4 ＞ \frac{x + 4}{2}$；
(2) $\begin{cases} x - 1 ＞ 2x, \\ -\frac{2}{3}(x + 5) - 1 ＜ 3 \end{cases}$。
(1) $\frac{2x - 1}{3} - 4 ＞ \frac{x + 4}{2}$；
(2) $\begin{cases} x - 1 ＞ 2x, \\ -\frac{2}{3}(x + 5) - 1 ＜ 3 \end{cases}$。
答案
1.(1)不等式组的解集为 $x ＞ 38$。
(2)不等式组的解集为 $-11 ＜ x ＜ -1$。
(2)不等式组的解集为 $-11 ＜ x ＜ -1$。
解析
【分析】
(1) 该题是一元一次不等式求解，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次计算即可，去分母时注意每一项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项；
(2) 该题是一元一次不等式组求解，先分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据解集的取值范围找到公共部分，即为不等式组的解集，计算时注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式 $\frac{2x - 1}{3} - 4 ＞ \frac{x + 4}{2}$：
去分母，两边同时乘6，得 $2(2x-1)-24＞3(x+4)$
去括号，得 $4x-2-24＞3x+12$
移项，得 $4x-3x＞12+2+24$
合并同类项，得 $x＞38$
(2) 解不等式组 $\begin{cases} x - 1 ＞ 2x \quad ① \\ -\frac{2}{3}(x + 5) - 1 ＜ 3 \quad ② \end{cases}$：
解不等式①：移项得 $x-2x＞1$，合并同类项得 $-x＞1$，系数化为1得 $x＜-1$
解不等式②：移项得 $-\frac{2}{3}(x+5)＜4$，两边同时乘$-\frac{3}{2}$（不等号方向改变）得 $x+5＞-6$，移项得 $x＞-11$
取两个解集的公共部分，得 $-11＜x＜-1$
【答案】
(1) $x ＞ 38$；
(2) $-11 ＜ x ＜ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式（组）求解的常规题型，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，二是不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，求解不等式组时需准确判断两个解集的公共范围。
【难度系数】
0.8
(1) 该题是一元一次不等式求解，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次计算即可，去分母时注意每一项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项；
(2) 该题是一元一次不等式组求解，先分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据解集的取值范围找到公共部分，即为不等式组的解集，计算时注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式 $\frac{2x - 1}{3} - 4 ＞ \frac{x + 4}{2}$：
去分母，两边同时乘6，得 $2(2x-1)-24＞3(x+4)$
去括号，得 $4x-2-24＞3x+12$
移项，得 $4x-3x＞12+2+24$
合并同类项，得 $x＞38$
(2) 解不等式组 $\begin{cases} x - 1 ＞ 2x \quad ① \\ -\frac{2}{3}(x + 5) - 1 ＜ 3 \quad ② \end{cases}$：
解不等式①：移项得 $x-2x＞1$，合并同类项得 $-x＞1$，系数化为1得 $x＜-1$
解不等式②：移项得 $-\frac{2}{3}(x+5)＜4$，两边同时乘$-\frac{3}{2}$（不等号方向改变）得 $x+5＞-6$，移项得 $x＞-11$
取两个解集的公共部分，得 $-11＜x＜-1$
【答案】
(1) $x ＞ 38$；
(2) $-11 ＜ x ＜ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式（组）求解的常规题型，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，二是不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，求解不等式组时需准确判断两个解集的公共范围。
【难度系数】
0.8
2.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x - 2y = m, \quad ① \\ 2x + 3y = 2m + 4 \quad ② \end{cases}$的解满足不等式组$\begin{cases} 3x + y ≤ 0, \\ x + 5y ＞ 0, \end{cases}$求满足条件的$m$的整数值。
答案
$m = -3$ 或 $m = -2$
解析
【分析】
解题核心是得到关于m的不等式组求解。我们可以观察到不等式组中的两个代数式$3x+y$、$x+5y$，恰好可以通过原方程组的两个方程相加、相减直接得到，不需要单独解出x和y；也可以先解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y，再代入不等式组。两种方法都能得到关于m的一元一次不等式组，解出m的取值范围后，找出范围内的整数即可。
【解析】
1. 将方程组两个方程变形凑出不等式左边的代数式：
方程①+方程②，得：
$(x-2y)+(2x+3y)=m+(2m+4)$
化简得：$3x+y=3m+4$
方程②-方程①，得：
$(2x+3y)-(x-2y)=(2m+4)-m$
化简得：$x+5y=m+4$
2. 将上述结果代入不等式组，得到关于m的不等式组：
$\begin{cases}3m+4≤0 \quad ③ \\ m+4＞0 \quad ④\end{cases}$
3. 解不等式③：$3m≤-4$，解得$m≤-\frac{4}{3}$
解不等式④：解得$m＞-4$
因此m的取值范围为$-4 ＜ m ≤ -\frac{4}{3}$
4. 在取值范围内取整数，得$m=-3$或$m=-2$
【答案】
$m = -3$ 或 $m = -2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法、不等式组整数解求解
【点评】
本题是方程组与不等式组的综合应用题，解题时可灵活观察代数式结构简化运算，重点考查运算能力和知识综合运用能力，熟练掌握方程组和不等式组的基本解法是得分的关键。
【难度系数】
0.7
解题核心是得到关于m的不等式组求解。我们可以观察到不等式组中的两个代数式$3x+y$、$x+5y$，恰好可以通过原方程组的两个方程相加、相减直接得到，不需要单独解出x和y；也可以先解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y，再代入不等式组。两种方法都能得到关于m的一元一次不等式组，解出m的取值范围后，找出范围内的整数即可。
【解析】
1. 将方程组两个方程变形凑出不等式左边的代数式：
方程①+方程②，得：
$(x-2y)+(2x+3y)=m+(2m+4)$
化简得：$3x+y=3m+4$
方程②-方程①，得：
$(2x+3y)-(x-2y)=(2m+4)-m$
化简得：$x+5y=m+4$
2. 将上述结果代入不等式组，得到关于m的不等式组：
$\begin{cases}3m+4≤0 \quad ③ \\ m+4＞0 \quad ④\end{cases}$
3. 解不等式③：$3m≤-4$，解得$m≤-\frac{4}{3}$
解不等式④：解得$m＞-4$
因此m的取值范围为$-4 ＜ m ≤ -\frac{4}{3}$
4. 在取值范围内取整数，得$m=-3$或$m=-2$
【答案】
$m = -3$ 或 $m = -2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法、不等式组整数解求解
【点评】
本题是方程组与不等式组的综合应用题，解题时可灵活观察代数式结构简化运算，重点考查运算能力和知识综合运用能力，熟练掌握方程组和不等式组的基本解法是得分的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示,根据图中信息解答下列问题:
(1)关于x的不等式$ax + b ＞ 0$的解集是
(2)关于x的不等式$mx + n ＜ 1$的解集是
(3)当x为何值时,$y_1 ≤ y_2$?
(4)当x为何值时,$0 ＜ y_2 ＜ y_1$?
(1)关于x的不等式$ax + b ＞ 0$的解集是
x ＜ 4
。(2)关于x的不等式$mx + n ＜ 1$的解集是
x ＜ 0
。(3)当x为何值时,$y_1 ≤ y_2$?
(4)当x为何值时,$0 ＜ y_2 ＜ y_1$?
答案
解:(1)由题图可知直线 $y_2 = ax + b$ 与 x 轴的交点坐标是(4,0),当 $x ＜ 4$ 时,$y_2 ＞ 0$,
∴ 不等式 $ax + b ＞ 0$ 的解集是$x ＜ 4$。
(2)
∵ 直线 $y_1 = mx + n$ 与 y 轴的交点坐标是(0,1),当 $x ＜ 0$ 时,$y_1 ＜ 1$,
∴ 不等式 $mx + n ＜ 1$ 的解集是 $x ＜ 0$。
(3)由题图可知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当 $x≤2$ 时,$y_1 ≤ y_2$。
(4)由题图可知,当 $2 ＜ x ＜ 4$ 时,$0 ＜ y_2 ＜ y_1$。
∴ 不等式 $ax + b ＞ 0$ 的解集是$x ＜ 4$。
(2)
∵ 直线 $y_1 = mx + n$ 与 y 轴的交点坐标是(0,1),当 $x ＜ 0$ 时,$y_1 ＜ 1$,
∴ 不等式 $mx + n ＜ 1$ 的解集是 $x ＜ 0$。
(3)由题图可知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当 $x≤2$ 时,$y_1 ≤ y_2$。
(4)由题图可知,当 $2 ＜ x ＜ 4$ 时,$0 ＜ y_2 ＜ y_1$。
解析
【分析】
本题考查一次函数图象与一元一次不等式的关系，解题核心是利用数形结合思想，将不等式问题转化为函数图象的位置判断问题：①函数值大于0对应图象在x轴上方的部分，函数值小于0对应图象在x轴下方的部分；②两个函数比较大小，图象在上方的函数值更大，交点处两个函数值相等。解题时先找到直线与坐标轴的交点、两条直线的交点这些关键坐标，再对应判断x的取值范围即可。
【解析】
(1) 观察直线$y_2=ax+b$的图象，它与x轴的交点坐标为$(4,0)$，且$y_2$随x的增大而减小，因此当$x＜4$时，$y_2＞0$，即$ax+b＞0$。
(2) 观察直线$y_1=mx+n$的图象，它与y轴的交点坐标为$(0,1)$，且$y_1$随x的增大而增大，因此当$x＜0$时，$y_1＜1$，即$mx+n＜1$。
(3) 两条直线的交点坐标为$(2,1.8)$，此时$y_1=y_2$；观察图象可知，当$x≤2$时，直线$y_1=mx+n$在直线$y_2=ax+b$的下方（或重合），即$y_1≤y_2$。
(4) 要满足$0＜y_2＜y_1$，需同时满足两个条件：①$y_2＞0$，对应$x＜4$；②$y_2＜y_1$，对应$x＞2$，结合两个条件即可得到对应的x取值范围。
【答案】
(1) $x＜4$
(2) $x＜0$
(3) $x≤2$
(4) $2＜x＜4$
【知识点】
一次函数的图象，一次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，解题的关键是掌握函数值和图象位置的对应关系，通过观察关键交点的坐标快速确定解集，能有效考查学生的读图能力和数形结合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数图象与一元一次不等式的关系，解题核心是利用数形结合思想，将不等式问题转化为函数图象的位置判断问题：①函数值大于0对应图象在x轴上方的部分，函数值小于0对应图象在x轴下方的部分；②两个函数比较大小，图象在上方的函数值更大，交点处两个函数值相等。解题时先找到直线与坐标轴的交点、两条直线的交点这些关键坐标，再对应判断x的取值范围即可。
【解析】
(1) 观察直线$y_2=ax+b$的图象，它与x轴的交点坐标为$(4,0)$，且$y_2$随x的增大而减小，因此当$x＜4$时，$y_2＞0$，即$ax+b＞0$。
(2) 观察直线$y_1=mx+n$的图象，它与y轴的交点坐标为$(0,1)$，且$y_1$随x的增大而增大，因此当$x＜0$时，$y_1＜1$，即$mx+n＜1$。
(3) 两条直线的交点坐标为$(2,1.8)$，此时$y_1=y_2$；观察图象可知，当$x≤2$时，直线$y_1=mx+n$在直线$y_2=ax+b$的下方（或重合），即$y_1≤y_2$。
(4) 要满足$0＜y_2＜y_1$，需同时满足两个条件：①$y_2＞0$，对应$x＜4$；②$y_2＜y_1$，对应$x＞2$，结合两个条件即可得到对应的x取值范围。
【答案】
(1) $x＜4$
(2) $x＜0$
(3) $x≤2$
(4) $2＜x＜4$
【知识点】
一次函数的图象，一次函数与不等式，数形结合思想
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型题型，解题的关键是掌握函数值和图象位置的对应关系，通过观察关键交点的坐标快速确定解集，能有效考查学生的读图能力和数形结合应用能力。
【难度系数】
0.7
