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4. 为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，某学校计划购买一批新的体育用品。经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店:所有商品按标价的8折出售；
乙商店:一次购买商品总额不超过200元的按原价收费，超过200元的，超过部分打6折。
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付$y_甲$元，去乙商店购买应付$y_乙$元，其函数图象如图所示。
(1)分别求$y_甲,y_乙$与x的函数关系式；
(2)求出点A的坐标；
(3)当一次购买商品总额超过200元时，学校选择去哪个商店购买体育用品更合算？
甲商店:所有商品按标价的8折出售；
乙商店:一次购买商品总额不超过200元的按原价收费，超过200元的，超过部分打6折。
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付$y_甲$元，去乙商店购买应付$y_乙$元，其函数图象如图所示。
(1)分别求$y_甲,y_乙$与x的函数关系式；
(2)求出点A的坐标；
(3)当一次购买商品总额超过200元时，学校选择去哪个商店购买体育用品更合算？
答案
解:(1)根据题意,得 $y_甲 = 0.8x(x≥0)$。当 $0≤x≤200$ 时, $y_乙 = x$。当 $x ＞ 200$ 时, $y_乙 = 200 + (x - 200) × 0.6 = 0.6x + 80$。综上所述, $y_乙$ 与 x 的函数关系式为 $y_乙 =\begin{cases} x,(0≤x≤200) \\ 0.6x + 80。(x ＞ 200) \end{cases}$
(2)当一次性购买商品超过200元时, $y_乙 = 0.6x + 80$。令 $y_乙 = y_甲$,即 $0.6x + 80 = 0.8x$。解得 $x = 400$。当 $x = 400$ 时, $y_甲 = 0.8x = 320$。
∴ 点 $A(400,320)$。
(3)由函数图象可知当 $200 ＜ x ＜ 400$ 时, $y_甲 ＜ y_乙$,
∴ 一次购买商品总额超过200元,不足400元时,选择甲商店更合算。当 $x ＞ 400$ 时, $y_乙 ＜ y_甲$,
∴ 一次购买商品总额超过400元时,选择乙商店更合算。当 $x = 400$ 时, $y_乙 = y_甲$,
∴ 一次购买商品总额为400元时,选择两家商店所需费用相同。
(2)当一次性购买商品超过200元时, $y_乙 = 0.6x + 80$。令 $y_乙 = y_甲$,即 $0.6x + 80 = 0.8x$。解得 $x = 400$。当 $x = 400$ 时, $y_甲 = 0.8x = 320$。
∴ 点 $A(400,320)$。
(3)由函数图象可知当 $200 ＜ x ＜ 400$ 时, $y_甲 ＜ y_乙$,
∴ 一次购买商品总额超过200元,不足400元时,选择甲商店更合算。当 $x ＞ 400$ 时, $y_乙 ＜ y_甲$,
∴ 一次购买商品总额超过400元时,选择乙商店更合算。当 $x = 400$ 时, $y_乙 = y_甲$,
∴ 一次购买商品总额为400元时,选择两家商店所需费用相同。
解析
【分析】
(1) 求函数关系式时，先分析甲商店优惠规则：所有商品8折，应付费用为原价乘0.8，直接写出$y_甲$解析式，注意x取值为非负数。再分析乙商店优惠：分两种情况，购买总额不超过200元无优惠，费用等于原价；超过200元时，200元按原价支付，超出部分打6折，分别计算两种情况的$y_乙$，写成分段函数即可。
(2) 点A是$y_甲$和$y_乙$的交点，即两函数值相等的点，观察图象可知A点对应x大于200，联立$y_甲$和x＞200时的$y_乙$解析式，解方程求出x，再代入解析式求y，即可得到A点坐标。
(3) 判断哪个商店更合算，本质是比较相同x下$y_甲$和$y_乙$的大小，结合第二问求出的交点x=400，分200＜x＜400、x=400、x＞400三种情况讨论，即可得出对应场景下更优惠的商店。
【解析】
(1) 甲商店所有商品打8折，应付费用为原价的80%，因此：
$y_甲 = 0.8x \quad (x≥0)$
乙商店分两种情况计算费用：
① 当$0≤ x≤200$时，无优惠，因此$y_乙 = x$；
② 当$x＞200$时，200元按原价支付，超出200元的部分打6折，因此：
$y_乙 = 200 + 0.6(x-200) = 0.6x + 80$
综上，$y_乙$的函数关系式为：
$y_乙 =\begin{cases} x & (0≤ x≤200) \\ 0.6x + 80 & (x＞200) \end{cases}$
(2) 点A是$y_甲$与$y_乙$的交点，此时两函数值相等，且A点横坐标大于200，联立解析式得：
$0.8x = 0.6x + 80$
解得$x=400$，代入$y=0.8x$得$y=0.8×400=320$，因此点A坐标为$(400,320)$。
(3) 当$x＞200$时，分三种情况讨论：
① 若$y_甲 ＜ y_乙$，即$0.8x ＜ 0.6x + 80$，解得$x＜400$，即$200＜x＜400$时，选甲商店更合算；
② 若$y_甲 = y_乙$，即$0.8x = 0.6x + 80$，解得$x=400$，即$x=400$时，两家商店费用相同；
③ 若$y_甲 ＞ y_乙$，即$0.8x ＞ 0.6x + 80$，解得$x＞400$，即$x＞400$时，选乙商店更合算。
【答案】
(1) $y_甲 = 0.8x(x≥0)$；$y_乙 =\begin{cases} x & (0≤ x≤200) \\ 0.6x + 80 & (x＞200) \end{cases}$
(2) $A(400,320)$
(3) 当$200＜x＜400$时，选择甲商店更合算；当$x=400$时，两家商店费用相同；当$x＞400$时，选择乙商店更合算。
【知识点】
一次函数的应用、分段函数、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景命题，考查了一次函数的实际应用能力，需要学生掌握分段函数的书写方法，能通过联立解析式求函数交点，结合不等式判断不同场景下的最优方案，贴合生活实际，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数关系式时，先分析甲商店优惠规则：所有商品8折，应付费用为原价乘0.8，直接写出$y_甲$解析式，注意x取值为非负数。再分析乙商店优惠：分两种情况，购买总额不超过200元无优惠，费用等于原价；超过200元时，200元按原价支付，超出部分打6折，分别计算两种情况的$y_乙$，写成分段函数即可。
(2) 点A是$y_甲$和$y_乙$的交点，即两函数值相等的点，观察图象可知A点对应x大于200，联立$y_甲$和x＞200时的$y_乙$解析式，解方程求出x，再代入解析式求y，即可得到A点坐标。
(3) 判断哪个商店更合算，本质是比较相同x下$y_甲$和$y_乙$的大小，结合第二问求出的交点x=400，分200＜x＜400、x=400、x＞400三种情况讨论，即可得出对应场景下更优惠的商店。
【解析】
(1) 甲商店所有商品打8折，应付费用为原价的80%，因此：
$y_甲 = 0.8x \quad (x≥0)$
乙商店分两种情况计算费用：
① 当$0≤ x≤200$时，无优惠，因此$y_乙 = x$；
② 当$x＞200$时，200元按原价支付，超出200元的部分打6折，因此：
$y_乙 = 200 + 0.6(x-200) = 0.6x + 80$
综上，$y_乙$的函数关系式为：
$y_乙 =\begin{cases} x & (0≤ x≤200) \\ 0.6x + 80 & (x＞200) \end{cases}$
(2) 点A是$y_甲$与$y_乙$的交点，此时两函数值相等，且A点横坐标大于200，联立解析式得：
$0.8x = 0.6x + 80$
解得$x=400$，代入$y=0.8x$得$y=0.8×400=320$，因此点A坐标为$(400,320)$。
(3) 当$x＞200$时，分三种情况讨论：
① 若$y_甲 ＜ y_乙$，即$0.8x ＜ 0.6x + 80$，解得$x＜400$，即$200＜x＜400$时，选甲商店更合算；
② 若$y_甲 = y_乙$，即$0.8x = 0.6x + 80$，解得$x=400$，即$x=400$时，两家商店费用相同；
③ 若$y_甲 ＞ y_乙$，即$0.8x ＞ 0.6x + 80$，解得$x＞400$，即$x＞400$时，选乙商店更合算。
【答案】
(1) $y_甲 = 0.8x(x≥0)$；$y_乙 =\begin{cases} x & (0≤ x≤200) \\ 0.6x + 80 & (x＞200) \end{cases}$
(2) $A(400,320)$
(3) 当$200＜x＜400$时，选择甲商店更合算；当$x=400$时，两家商店费用相同；当$x＞400$时，选择乙商店更合算。
【知识点】
一次函数的应用、分段函数、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景命题，考查了一次函数的实际应用能力，需要学生掌握分段函数的书写方法，能通过联立解析式求函数交点，结合不等式判断不同场景下的最优方案，贴合生活实际，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_1:y=kx+1$与直线$l_2:y=4x-2$交于点$A(m,2)$。
(1)求$m$的值和直线$l_1$的关系式；
(2)直线$l_1$与$x$轴交于点$B$,点$C$为$x$轴上一点且$OC=2OB$,求$△ ABC$的面积；
(3)结合图象,直接写出不等式$kx+1≥4x-2$的解集。
(1)求$m$的值和直线$l_1$的关系式；
(2)直线$l_1$与$x$轴交于点$B$,点$C$为$x$轴上一点且$OC=2OB$,求$△ ABC$的面积；
(3)结合图象,直接写出不等式$kx+1≥4x-2$的解集。
答案
解:(1)把点 $A(m,2)$ 代入 $y = 4x - 2$,得 $4m - 2 = 2$。解得 $m = 1$。
∴ 点 $A(1,2)$。把点 $A(1,2)$ 代入 $y = kx + 1$,得 $k + 1 = 2$。解得 $k = 1$。
∴ 直线 $l_1$ 的关系式为 $y = x + 1$。
(2)把 $y = 0$ 代入 $y = x + 1$,得 $x + 1 = 0$。解得 $x = -1$。
∴ 点 $B( - 1,0)$。
∴ $OB = 1$。
∵ $OC = 2OB = 2$,
∴ $C( - 2,0)$ 或 $(2,0)$。分两种情况:①当点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 时, $BC = 1$。此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。②当点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$ 时, $BC = 3$。此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。综上所述, $△ABC$ 的面积为 1 或 3。
(3)观察图象得不等式 $kx + 1 ≥ 4x - 2$ 的解集为 $x ≤ 1$。
∴ 点 $A(1,2)$。把点 $A(1,2)$ 代入 $y = kx + 1$,得 $k + 1 = 2$。解得 $k = 1$。
∴ 直线 $l_1$ 的关系式为 $y = x + 1$。
(2)把 $y = 0$ 代入 $y = x + 1$,得 $x + 1 = 0$。解得 $x = -1$。
∴ 点 $B( - 1,0)$。
∴ $OB = 1$。
∵ $OC = 2OB = 2$,
∴ $C( - 2,0)$ 或 $(2,0)$。分两种情况:①当点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 时, $BC = 1$。此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。②当点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$ 时, $BC = 3$。此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。综上所述, $△ABC$ 的面积为 1 或 3。
(3)观察图象得不等式 $kx + 1 ≥ 4x - 2$ 的解集为 $x ≤ 1$。
解析
【分析】
(1) 交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此先将点A(m,2)代入直线l₂的解析式求出m的值，得到点A的完整坐标后，再代入直线l₁的解析式求出k的值，即可得到l₁的函数关系式。
(2) 先令直线l₁的y值为0，求出与x轴交点B的坐标，得到OB的长度，再根据OC=2OB确定OC的长度，由于点C在x轴上，位置可正可负，需分两种情况计算BC的长度；△ABC的底为BC，高为点A到x轴的距离（即点A的纵坐标），代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式kx+1≥4x-2的几何意义是直线l₁的图象位于直线l₂图象上方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两直线交点的横坐标即可直接得到解集。
【解析】
(1) 把点 $A(m,2)$ 代入 $y = 4x - 2$，得 $4m - 2 = 2$，解得 $m = 1$。
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(1,2)$，把点 $A(1,2)$ 代入 $y = kx + 1$，得 $k + 1 = 2$，解得 $k = 1$。
∴ 直线 $l_1$ 的关系式为 $y = x + 1$。
(2) 把 $y = 0$ 代入 $y = x + 1$，得 $x + 1 = 0$，解得 $x = -1$。
∴ 点 $B$ 的坐标为 $(-1,0)$，$OB = 1$。
∵ $OC = 2OB = 2$，
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 或 $(2,0)$，分两种情况讨论：
①当点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 时，$BC = |-1 - (-2)| = 1$，此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
②当点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$ 时，$BC = |2 - (-1)| = 3$，此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
综上所述，$△ABC$ 的面积为 1 或 3。
(3) 观察图象可得，不等式 $kx + 1 ≥ 4x - 2$ 的解集为 $x ≤ 1$。
【答案】
(1) $m=1$，$y=x+1$；
(2) $1$ 或 $3$；
(3) $x≤1$
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数几何应用，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常考综合题，解题时需注意第二问中点C的位置存在两种情况，要运用分类讨论思想避免漏解，第三问结合函数图象解不等式更直观简便，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此先将点A(m,2)代入直线l₂的解析式求出m的值，得到点A的完整坐标后，再代入直线l₁的解析式求出k的值，即可得到l₁的函数关系式。
(2) 先令直线l₁的y值为0，求出与x轴交点B的坐标，得到OB的长度，再根据OC=2OB确定OC的长度，由于点C在x轴上，位置可正可负，需分两种情况计算BC的长度；△ABC的底为BC，高为点A到x轴的距离（即点A的纵坐标），代入三角形面积公式计算即可。
(3) 不等式kx+1≥4x-2的几何意义是直线l₁的图象位于直线l₂图象上方（含交点）时对应的x的取值范围，结合两直线交点的横坐标即可直接得到解集。
【解析】
(1) 把点 $A(m,2)$ 代入 $y = 4x - 2$，得 $4m - 2 = 2$，解得 $m = 1$。
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(1,2)$，把点 $A(1,2)$ 代入 $y = kx + 1$，得 $k + 1 = 2$，解得 $k = 1$。
∴ 直线 $l_1$ 的关系式为 $y = x + 1$。
(2) 把 $y = 0$ 代入 $y = x + 1$，得 $x + 1 = 0$，解得 $x = -1$。
∴ 点 $B$ 的坐标为 $(-1,0)$，$OB = 1$。
∵ $OC = 2OB = 2$，
∴ 点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 或 $(2,0)$，分两种情况讨论：
①当点 $C$ 的坐标为 $(-2,0)$ 时，$BC = |-1 - (-2)| = 1$，此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 1 × 2 = 1$。
②当点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$ 时，$BC = |2 - (-1)| = 3$，此时 $S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · y_A = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
综上所述，$△ABC$ 的面积为 1 或 3。
(3) 观察图象可得，不等式 $kx + 1 ≥ 4x - 2$ 的解集为 $x ≤ 1$。
【答案】
(1) $m=1$，$y=x+1$；
(2) $1$ 或 $3$；
(3) $x≤1$
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数几何应用，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常考综合题，解题时需注意第二问中点C的位置存在两种情况，要运用分类讨论思想避免漏解，第三问结合函数图象解不等式更直观简便，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
