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9.如图，在$□ ABCD$中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，以BC为对角线向外作四边形BECF，使∠BCF=∠AEB，∠CBF=∠DEC。求证：四边形BECF是矩形。
答案
9.证明
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//DC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,
∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC,
∴∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE.
∴CF//BE,BF//CE,
∴四边形BECF是平行四边形;
∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠CBE + ∠BCE = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BCD)=90°,
∴∠BEC=180°-90°=90°,
∴四边形BECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//DC,
∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,
∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC,
∴∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE.
∴CF//BE,BF//CE,
∴四边形BECF是平行四边形;
∵BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠CBE + ∠BCE = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BCD)=90°,
∴∠BEC=180°-90°=90°,
∴四边形BECF是矩形.
10. 如图，在$□ ABCD$中，M是AD边的中点，且$MB=MC$，$∠ BMC=90°$，若$□ ABCD$的周长为30，则AB的长为(
A.15
B.10
C.7.5
D.5
D
)A.15
B.10
C.7.5
D.5
答案
10.D
11. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,E为BC边上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为G,F,则EF+EG的值为(
A.10
B.6
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
(第10题图)
(第11题图)
(第12题图)
C
)A.10
B.6
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
(第10题图)
(第11题图)
(第12题图)
答案
11.C 解析 如图,连结OE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC = 90°, BC = AD = 8, AO = CO=BO=DO=$\frac{1}{2}$AC.
∵AB = 6, AD = BC = 8,
∴AC = $\sqrt{AB^2+BC^2}=10$,
∴OB=OC=5,
∴$S_{△BOC}=S_{△BOE}+S_{△COE}=\frac{1}{2}OB·EG+\frac{1}{2}OC·EF=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×8=12$,
∴$\frac{1}{2}×5×EG+\frac{1}{2}×5×EF=\frac{5}{2}(EG+EF)=12$,
∴$EG+EF=\frac{24}{5}$.故选C.
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$P$为边$AB$上的一个动点，作$PD⊥ BC$于点$D$，$PE⊥ AC$于点$E$，则$DE$的最小值为________.
答案
12.4.8
