登录
11.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了
9
米。答案
11.9
解析
【分析】
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD均为直角三角形，直角为∠A，已知两个三角形的垂直边AC长度为8米，以及斜边BC、CD的长度，我们可以先利用勾股定理分别求出初始状态下船到岸的水平距离AB，和船移动到D点时到岸的水平距离AD，两者的差值就是船向岸边移动的距离BD。
【解析】
解：由题意可知∠CAB=90°，AC=8米，
在Rt△ABC中，BC=17米，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$（米）
在Rt△ACD中，CD=10米，根据勾股定理：
$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$（米）
则船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，解直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用题，解题核心是准确识别图中的直角三角形，利用勾股定理求出对应水平边长再作差即可，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形可知△CAB和△CAD均为直角三角形，直角为∠A，已知两个三角形的垂直边AC长度为8米，以及斜边BC、CD的长度，我们可以先利用勾股定理分别求出初始状态下船到岸的水平距离AB，和船移动到D点时到岸的水平距离AD，两者的差值就是船向岸边移动的距离BD。
【解析】
解：由题意可知∠CAB=90°，AC=8米，
在Rt△ABC中，BC=17米，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$（米）
在Rt△ACD中，CD=10米，根据勾股定理：
$AD = \sqrt{CD^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$（米）
则船向岸边移动的距离$BD = AB - AD = 15 - 6 = 9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，解直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用题，解题核心是准确识别图中的直角三角形，利用勾股定理求出对应水平边长再作差即可，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
12.如图,在$□ ABCD$中,G是CD上一点,连接BG并延长交AD的延长线于点E,F是AB上一点,AF=CG,连接DF,若$∠ E=30°,∠ C=50°$,则$∠ BFD=$
80°
.答案
12.80°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据平行四边形对角相等的性质，先得出∠A与已知∠C相等，得到∠A的度数；第二步，结合AF=CG的条件，推导得出四边形DFBG是平行四边形，进而得到DF与BE平行的关系，利用平行线的同位角相等，得到∠ADF=∠E；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，计算∠BFD的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=50°，AB//CD，AB=CD，
又
∵AF=CG，
∴AB - AF = CD - CG，即BF=DG，
∵BF//DG且BF=DG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF//BE，
∴∠ADF=∠E=30°，
∵∠BFD是△AFD的外角，
∴∠BFD=∠A + ∠ADF=50°+30°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将平行四边形的性质判定和角的计算结合考查，解题时需要熟练掌握相关定理，准确梳理角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据平行四边形对角相等的性质，先得出∠A与已知∠C相等，得到∠A的度数；第二步，结合AF=CG的条件，推导得出四边形DFBG是平行四边形，进而得到DF与BE平行的关系，利用平行线的同位角相等，得到∠ADF=∠E；第三步，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，计算∠BFD的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=50°，AB//CD，AB=CD，
又
∵AF=CG，
∴AB - AF = CD - CG，即BF=DG，
∵BF//DG且BF=DG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF//BE，
∴∠ADF=∠E=30°，
∵∠BFD是△AFD的外角，
∴∠BFD=∠A + ∠ADF=50°+30°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将平行四边形的性质判定和角的计算结合考查，解题时需要熟练掌握相关定理，准确梳理角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按要求画图.
（1）在图1中，画线段AB，使$AB=\sqrt{34}$；
（2）在图2中，画$△ DEF$，使三边长均为无理数，且一边长为$\sqrt{13}$，各边都不相等.
（1）在图1中，画线段AB，使$AB=\sqrt{34}$；
（2）在图2中，画$△ DEF$，使三边长均为无理数，且一边长为$\sqrt{13}$，各边都不相等.
答案
13.解:(1)如图1,线段AB即为所求。
(2)如图2,△DEF即为所求。
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等。
解析
【分析】
（1）要画出长度为$\sqrt{34}$的线段，可结合勾股定理思考：直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，因此需要找到两个正整数的平方和等于34，计算可得$3^2+5^2=9+25=34$，因此只要构造直角边分别为3、5的直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{34}$，对应网格中横向间隔3格、纵向间隔5格的两个格点的连线即可满足要求。
（2）要画出符合要求的三角形，首先构造长度为$\sqrt{13}$的边：同理拆分$13=2^2+3^2$，先确定这条边的两个端点；再寻找第三个格点，使剩下的两条边长为互不相等的无理数，例如可选$\sqrt{5}=√(2^2+1^2)$、$\sqrt{10}=√(3^2+1^2)$，三个长度均为无理数且互不相等，连接三个点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
（1）根据勾股定理：若直角三角形两直角边长为3和5，则斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。在图1网格中选取横向间隔3个单位、纵向间隔5个单位的两个格点，标记为A、B，连接AB，所得线段即为所求。
（2）①先构造长度为$\sqrt{13}$的边：由$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，选取两个格点D、E，使DE长度为$\sqrt{13}$；
②寻找格点F，使$DF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{5}、\sqrt{10}、\sqrt{13}$均为无理数且互不相等，顺次连接D、E、F，所得三角形即为所求。
【答案】
13.解:(1)如图1,线段AB即为所求。
(2)如图2,△DEF即为所求。
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等。
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；网格作图
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查勾股定理在网格场景中的应用，需要学生熟练掌握用勾股定理计算格点间线段长度的方法，同时结合无理数的特征完成作图，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要画出长度为$\sqrt{34}$的线段，可结合勾股定理思考：直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，因此需要找到两个正整数的平方和等于34，计算可得$3^2+5^2=9+25=34$，因此只要构造直角边分别为3、5的直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{34}$，对应网格中横向间隔3格、纵向间隔5格的两个格点的连线即可满足要求。
（2）要画出符合要求的三角形，首先构造长度为$\sqrt{13}$的边：同理拆分$13=2^2+3^2$，先确定这条边的两个端点；再寻找第三个格点，使剩下的两条边长为互不相等的无理数，例如可选$\sqrt{5}=√(2^2+1^2)$、$\sqrt{10}=√(3^2+1^2)$，三个长度均为无理数且互不相等，连接三个点即可得到符合要求的三角形。
【解析】
（1）根据勾股定理：若直角三角形两直角边长为3和5，则斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。在图1网格中选取横向间隔3个单位、纵向间隔5个单位的两个格点，标记为A、B，连接AB，所得线段即为所求。
（2）①先构造长度为$\sqrt{13}$的边：由$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，选取两个格点D、E，使DE长度为$\sqrt{13}$；
②寻找格点F，使$DF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{5}、\sqrt{10}、\sqrt{13}$均为无理数且互不相等，顺次连接D、E、F，所得三角形即为所求。
【答案】
13.解:(1)如图1,线段AB即为所求。
(2)如图2,△DEF即为所求。
三边长均为无理数,DE为$\sqrt{13}$,DF为$\sqrt{5}$,EF为$\sqrt{10}$,各边都不相等。
【知识点】
勾股定理；无理数的概念；网格作图
【点评】
本题属于基础操作类题型，重点考查勾股定理在网格场景中的应用，需要学生熟练掌握用勾股定理计算格点间线段长度的方法，同时结合无理数的特征完成作图，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$,点$B$,点$D$在$y$轴的负半轴上,若将$△ DAB$沿直线$AD$折叠,点$B$恰好落在$x$轴正半轴上的点$C$处.
(1)求$AB$的长.
(2)求点$C$和点$D$的坐标.
(3)$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}$? 若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$AB$的长.
(2)求点$C$和点$D$的坐标.
(3)$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}$? 若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
14.解:(1)令$x=0$,得$y=4$,
∴$B(0,4)$.
∴$OB=4$.
令$y=0$,得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$,解得$x=3$.
∴$A(3,0)$.
∴$OA=3$.
在$\mathrm{Rt}△OAB$中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
(2)$\because AC=AB=5$,
∴$OC=OA+AC=3+5=8$.
∴$C(8,0)$.
设$OD=x$,则$CD=DB=x+4$.
在$\mathrm{Rt}△OCD$中,$DC^2=OD^2+OC^2$,即$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得$x=6$.
∴$D(0,-6)$.
(3)存在.理由如下:
$\because S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△OCD}$,
∴$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×6×8=12$.
∵点$P$在$y$轴上,$S_{△PAB}=12$,
∴$\dfrac{1}{2}BP·OA=12$,即$\dfrac{1}{2}×3BP=12$,
解得$BP=8$.
∴点$P$的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$.
∴$B(0,4)$.
∴$OB=4$.
令$y=0$,得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$,解得$x=3$.
∴$A(3,0)$.
∴$OA=3$.
在$\mathrm{Rt}△OAB$中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
(2)$\because AC=AB=5$,
∴$OC=OA+AC=3+5=8$.
∴$C(8,0)$.
设$OD=x$,则$CD=DB=x+4$.
在$\mathrm{Rt}△OCD$中,$DC^2=OD^2+OC^2$,即$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得$x=6$.
∴$D(0,-6)$.
(3)存在.理由如下:
$\because S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△OCD}$,
∴$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×6×8=12$.
∵点$P$在$y$轴上,$S_{△PAB}=12$,
∴$\dfrac{1}{2}BP·OA=12$,即$\dfrac{1}{2}×3BP=12$,
解得$BP=8$.
∴点$P$的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$.
解析
【分析】
(1) 要计算AB的长度，首先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，再在直角三角形OAB中利用勾股定理计算即可。
(2) 根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AC=AB，据此算出OC的长度得到点C的坐标；设OD的长度为x，则CD=BD=x+4，在直角三角形OCD中根据勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
(3) 先求出△OCD的面积，再根据面积关系得到△PAB的面积；点P在y轴上，△PAB以BP为底、OA为高，据此列方程求出BP的长度，再分点P在点B上方、下方两种情况讨论，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，
∴$B(0,4)$，$OB=4$；
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，
∴$A(3,0)$，$OA=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 由折叠的性质可知$AC=AB=5$，
∴$OC=OA+AC=3+5=8$，
∴$C(8,0)$。
设$OD=x$，则$CD=DB=OD+OB=x+4$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得$DC^2=OD^2+OC^2$，
代入得：$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开化简得$8x=48$，解得$x=6$，
∵点D在y轴负半轴，
∴$D(0,-6)$。
(3) 存在。
先计算$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×8×6=24$，
由题意得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}×24=12$。
∵点P在y轴上，$△ PAB$的底为BP，高为OA的长度，
∴$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× BP× OA=12$，
代入$OA=3$得：$\dfrac{1}{2}× BP×3=12$，解得$BP=8$。
分两种情况：
①当点P在点B上方时，P的纵坐标为$4+8=12$，即$P(0,12)$；
②当点P在点B下方时，P的纵坐标为$4-8=-4$，即$P(0,-4)$。
【答案】
(1) $AB=5$；
(2) $C(8,0)$，$D(0,-6)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$。
【知识点】
一次函数的图象性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，考查了坐标轴上点的坐标特征、图形折叠的性质、勾股定理和三角形面积的计算，第三问需要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，侧重考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要计算AB的长度，首先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，再在直角三角形OAB中利用勾股定理计算即可。
(2) 根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AC=AB，据此算出OC的长度得到点C的坐标；设OD的长度为x，则CD=BD=x+4，在直角三角形OCD中根据勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
(3) 先求出△OCD的面积，再根据面积关系得到△PAB的面积；点P在y轴上，△PAB以BP为底、OA为高，据此列方程求出BP的长度，再分点P在点B上方、下方两种情况讨论，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，
∴$B(0,4)$，$OB=4$；
令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，
∴$A(3,0)$，$OA=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 由折叠的性质可知$AC=AB=5$，
∴$OC=OA+AC=3+5=8$，
∴$C(8,0)$。
设$OD=x$，则$CD=DB=OD+OB=x+4$，
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得$DC^2=OD^2+OC^2$，
代入得：$(x+4)^2=x^2+8^2$，
展开化简得$8x=48$，解得$x=6$，
∵点D在y轴负半轴，
∴$D(0,-6)$。
(3) 存在。
先计算$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×8×6=24$，
由题意得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}×24=12$。
∵点P在y轴上，$△ PAB$的底为BP，高为OA的长度，
∴$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× BP× OA=12$，
代入$OA=3$得：$\dfrac{1}{2}× BP×3=12$，解得$BP=8$。
分两种情况：
①当点P在点B上方时，P的纵坐标为$4+8=12$，即$P(0,12)$；
②当点P在点B下方时，P的纵坐标为$4-8=-4$，即$P(0,-4)$。
【答案】
(1) $AB=5$；
(2) $C(8,0)$，$D(0,-6)$；
(3) 存在，点P的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$。
【知识点】
一次函数的图象性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，考查了坐标轴上点的坐标特征、图形折叠的性质、勾股定理和三角形面积的计算，第三问需要注意分类讨论点P的位置，避免漏解，侧重考查对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
