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10.某地有四个汽车停车场，分别位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点处。现在要建立一个汽车维修站，请你利用“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，在四边形ABCD的内部找一点O，使点O到A，B，C，D四点的距离之和最小，并说明理由。
答案
10.连接AC、BD，它们的交点O即为所求。理由略。
解析
【分析】
我们需要找到使点O到A、B、C、D四点距离之和OA+OB+OC+OD最小的位置，可先将距离和拆分为(OA+OC)和(OB+OD)两部分分别分析。根据“三角形任意两边之和大于第三边”，若点O不在线段AC上，OA、OC与AC会构成三角形，此时OA+OC＞AC，只有当O在AC上时OA+OC=AC，值最小；同理OB+OD的最小值也仅当O在线段BD上时取得。因此同时满足在线段AC、BD上的点，就是两线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
解：连接对角线AC、BD，两条线段的交点即为所求的点O。
理由如下：
在四边形ABCD内部任取一个与点O不重合的点P，连接PA、PB、PC、PD。
在△PAC中，由三角形任意两边之和大于第三边，可得$PA+PC＞AC$，而$AC=OA+OC$，因此$PA+PC＞OA+OC$；
在△PBD中，同理可得$PB+PD＞BD=OB+OD$；
将两个不等式相加，可得$PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD$，因此点O到四个顶点的距离之和最小。
【答案】
连接AC、BD，它们的交点O即为所求维修站的位置。
【知识点】
三角形三边关系；最短路径选址
【点评】
本题将实际选址问题转化为几何最值问题，通过拆分距离和结合三角形三边关系验证最优解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何模型的应用能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
我们需要找到使点O到A、B、C、D四点距离之和OA+OB+OC+OD最小的位置，可先将距离和拆分为(OA+OC)和(OB+OD)两部分分别分析。根据“三角形任意两边之和大于第三边”，若点O不在线段AC上，OA、OC与AC会构成三角形，此时OA+OC＞AC，只有当O在AC上时OA+OC=AC，值最小；同理OB+OD的最小值也仅当O在线段BD上时取得。因此同时满足在线段AC、BD上的点，就是两线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
解：连接对角线AC、BD，两条线段的交点即为所求的点O。
理由如下：
在四边形ABCD内部任取一个与点O不重合的点P，连接PA、PB、PC、PD。
在△PAC中，由三角形任意两边之和大于第三边，可得$PA+PC＞AC$，而$AC=OA+OC$，因此$PA+PC＞OA+OC$；
在△PBD中，同理可得$PB+PD＞BD=OB+OD$；
将两个不等式相加，可得$PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD$，因此点O到四个顶点的距离之和最小。
【答案】
连接AC、BD，它们的交点O即为所求维修站的位置。
【知识点】
三角形三边关系；最短路径选址
【点评】
本题将实际选址问题转化为几何最值问题，通过拆分距离和结合三角形三边关系验证最优解，能够锻炼学生将实际问题转化为几何模型的应用能力，以及逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 在$△ ABC$中，$∠ B$，$∠ C$的平分线相交于点$P$，设$∠ A=x°$，用含$x$的代数式表示$∠ BPC$的度数，下列正确的是（
A.$90°+\frac{1}{2}x°$
B.$90°-\frac{1}{2}x°$
C.$90°+2x°$
D.$90°+x°$
A
）A.$90°+\frac{1}{2}x°$
B.$90°-\frac{1}{2}x°$
C.$90°+2x°$
D.$90°+x°$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先结合三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的度数和，再根据角平分线的定义得到△BPC中两个底角的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数，进而选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=x°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - x°$
∵BP是∠B的平分线，CP是∠C的平分线
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - x°) = 90° - \frac{1}{2}x°$
在△BPC中，再次利用三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}x°) = 90° + \frac{1}{2}x°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心考查内角和定理与角平分线性质的结合应用，推导得出的“三角形两内角平分线的夹角等于90°加第三个角度数的一半”可作为常用结论，能提升同类型题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先结合三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的度数和，再根据角平分线的定义得到△BPC中两个底角的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数，进而选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=x°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - x°$
∵BP是∠B的平分线，CP是∠C的平分线
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - x°) = 90° - \frac{1}{2}x°$
在△BPC中，再次利用三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}x°) = 90° + \frac{1}{2}x°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心考查内角和定理与角平分线性质的结合应用，推导得出的“三角形两内角平分线的夹角等于90°加第三个角度数的一半”可作为常用结论，能提升同类型题的解题效率。
【难度系数】
0.8
12. 如图，$AD = AE$，$BD = CE$，$∠ 1 = ∠ 2 = 110°$，$∠ BAE = 60°$，则$∠ CAE =$ 
20°
。答案
12.20°
解析
【分析】
解题思路可分三步推进：第一步，利用邻补角的性质求出等腰$△ ADE$的底角度数，进一步算出顶角$∠ DAE$的度数；第二步，结合已知$∠ BAE$的度数，求出$∠ BAD$的度数；第三步，根据已知边、角相等的条件，用SAS判定$△ ABD$和$△ ACE$全等，再依据全等三角形对应角相等的性质，即可得到$∠ CAE$的度数。
【解析】
1. 求$∠ ADE$的度数：
$\because ∠ 1=110°$，$∠ 1$与$∠ ADE$互为邻补角，和为$180°$
$\therefore ∠ ADE=180°-110°=70°$
2. 求$∠ DAE$的度数：
$\because AD=AE$，$△ ADE$为等腰三角形
$\therefore ∠ AED=∠ ADE=70°$
$\therefore ∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=180°-70°-70°=40°$
3. 求$∠ BAD$的度数：
已知$∠ BAE=60°$
$\therefore ∠ BAD=∠ BAE-∠ DAE=60°-40°=20°$
4. 证明$△ ABD≌△ ACE$：
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AD=AE（已知）\\∠ 1=∠ 2（已知）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$
5. 由全等三角形对应角相等，得$∠ CAE=∠ BAD=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、邻补角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过等腰三角形性质求出中间角$∠ DAE$，再借助全等三角形完成角的等量转换，解题时注意理清角之间的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推进：第一步，利用邻补角的性质求出等腰$△ ADE$的底角度数，进一步算出顶角$∠ DAE$的度数；第二步，结合已知$∠ BAE$的度数，求出$∠ BAD$的度数；第三步，根据已知边、角相等的条件，用SAS判定$△ ABD$和$△ ACE$全等，再依据全等三角形对应角相等的性质，即可得到$∠ CAE$的度数。
【解析】
1. 求$∠ ADE$的度数：
$\because ∠ 1=110°$，$∠ 1$与$∠ ADE$互为邻补角，和为$180°$
$\therefore ∠ ADE=180°-110°=70°$
2. 求$∠ DAE$的度数：
$\because AD=AE$，$△ ADE$为等腰三角形
$\therefore ∠ AED=∠ ADE=70°$
$\therefore ∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=180°-70°-70°=40°$
3. 求$∠ BAD$的度数：
已知$∠ BAE=60°$
$\therefore ∠ BAD=∠ BAE-∠ DAE=60°-40°=20°$
4. 证明$△ ABD≌△ ACE$：
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AD=AE（已知）\\∠ 1=∠ 2（已知）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$
5. 由全等三角形对应角相等，得$∠ CAE=∠ BAD=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、邻补角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过等腰三角形性质求出中间角$∠ DAE$，再借助全等三角形完成角的等量转换，解题时注意理清角之间的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
