13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$是$AB$上一点,且$∠ ACD=∠ B$。
(1)试说明$CD⊥ AB$；
(2)在(1)中作$△ ABC$的角平分线$AE$,交$CD$于点$F$,试判断$∠ AEC$和$∠ CFE$的数量关系,并说明理由。

13.（1）因为$∠ACB = 90°$, 所以$∠B + ∠CAB = 90°$。因为$∠ACD = ∠B$,所以$∠ACD + ∠CAB = 90°$,所以$CD⊥AB$。
(2) $∠AEC = ∠CFE$。提示:$∠AEC + ∠CAE = 90°,∠CFE = ∠AFD,∠AFD + ∠EAD = 90°,∠CAE = ∠EAD$。

【分析】
(1) 要证明$CD⊥AB$，即需证明$∠ ADC=90°$。已知$Rt△ ABC$中$∠ ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得$∠ B+∠ CAB=90°$，结合已知$∠ ACD=∠ B$，通过等量代换即可得到$∠ ACD+∠ CAB=90°$，再结合三角形内角和定理即可推出$∠ ADC=90°$，完成垂直的证明。
(2) 判断$∠ AEC$和$∠ CFE$的数量关系时，首先根据角平分线定义得$∠ CAE=∠ EAD$。结合(1)的垂直结论，在$Rt△ ACE$中可得$∠ AEC+∠ CAE=90°$，在$Rt△ AFD$中可得$∠ AFD+∠ EAD=90°$，根据等角的余角相等得$∠ AEC=∠ AFD$，再结合对顶角相等的性质，即可推出两角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ CAB = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
又$\because ∠ ACD = ∠ B$（已知），
$\therefore ∠ ACD + ∠ CAB = 90°$（等量代换），
$\therefore ∠ ADC = 180° - (∠ ACD + ∠ CAB) = 90°$，
$\therefore CD⊥ AB$。
(2) $∠ AEC = ∠ CFE$，理由如下：
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ CAE = ∠ EAD$（角平分线的定义）。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ AEC + ∠ CAE = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
由(1)知$CD⊥ AB$，即$∠ ADF=90°$，
$\therefore ∠ AFD + ∠ EAD = 90°$（直角三角形两锐角互余），
$\therefore ∠ AEC = ∠ AFD$（等角的余角相等）。
又$\because ∠ CFE = ∠ AFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEC = ∠ CFE$（等量代换）。
【答案】
(1) $CD⊥ AB$，证明成立；
(2) $∠ AEC = ∠ CFE$。
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量代换推导角的关系，解题时要熟练掌握直角三角形、角平分线、对顶角的相关性质，这类题目是后续复杂几何证明的基础，需要熟练掌握推导逻辑。
【难度系数】
0.7