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9.如图,一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点。若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 (
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
第9题图 第10题图
C
)A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
第9题图 第10题图
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先结合凸透镜的特殊光线规律：①平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会经过焦点F，可知图中上方入射光线的折射光线过F点；②经过光心的光线传播方向不改变。再结合平行线的性质：平行入射光线与主光轴互相平行，可先求出折射光线与主光轴的夹角，最后结合已知的∠2的度数，即可求出∠3的大小。
【解析】
1. 平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，已知∠1=150°，则折射光线与该平行入射光线的锐角夹角为：$180° - 150° = 30°$。
2. 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折射光线与主光轴的夹角等于$30°$。
3. 经过光心O的光线传播方向不变，因此该光线与主光轴的夹角等于$∠2=25°$。
4. 观察图形可知，∠3为折射光线和过光心光线的夹角，因此$∠3=30° + 25° = 55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光学规律与几何角度计算，考查跨知识点的综合运用能力，解题的关键是明确凸透镜的两条特殊光线的传播特点，再结合平行线的性质推导角度关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合凸透镜的特殊光线规律：①平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会经过焦点F，可知图中上方入射光线的折射光线过F点；②经过光心的光线传播方向不改变。再结合平行线的性质：平行入射光线与主光轴互相平行，可先求出折射光线与主光轴的夹角，最后结合已知的∠2的度数，即可求出∠3的大小。
【解析】
1. 平行于主光轴的入射光线与主光轴互相平行，已知∠1=150°，则折射光线与该平行入射光线的锐角夹角为：$180° - 150° = 30°$。
2. 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折射光线与主光轴的夹角等于$30°$。
3. 经过光心O的光线传播方向不变，因此该光线与主光轴的夹角等于$∠2=25°$。
4. 观察图形可知，∠3为折射光线和过光心光线的夹角，因此$∠3=30° + 25° = 55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光学规律与几何角度计算，考查跨知识点的综合运用能力，解题的关键是明确凸透镜的两条特殊光线的传播特点，再结合平行线的性质推导角度关系。
【难度系数】
0.7
10. 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美。图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形。已知$∠ 3+∠ 4=180°$，$∠ 2=61°$，$∠ 5=52°$，则$∠ 1$的度数为（
A.$57°$
B.$66°$
C.$63°$
D.$67°$
D
）A.$57°$
B.$66°$
C.$63°$
D.$67°$
答案
10.D
解析
【分析】
首先观察图2可知，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形的五个外角，回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和都等于360°，因此五个角的和为360°。已知∠3+∠4=180°，同时给出了∠2和∠5的度数，将已知条件代入外角和公式，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和为360°，图中∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的5个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
将∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°代入上式，得：
∠1=360°-(∠3+∠4)-∠2-∠5
=360°-180°-61°-52°
=67°
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑窗格图案命题，将数学知识与传统文化融合，考查多边形外角和的应用，解题的关键是识别图中五个角为五边形的外角，直接利用外角和性质计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图2可知，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形的五个外角，回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和都等于360°，因此五个角的和为360°。已知∠3+∠4=180°，同时给出了∠2和∠5的度数，将已知条件代入外角和公式，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和为360°，图中∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的5个外角，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
将∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°代入上式，得：
∠1=360°-(∠3+∠4)-∠2-∠5
=360°-180°-61°-52°
=67°
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑窗格图案命题，将数学知识与传统文化融合，考查多边形外角和的应用，解题的关键是识别图中五个角为五边形的外角，直接利用外角和性质计算即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
11.如图，起重机在工作时，起吊物体前，机械臂AB与操作台BC的夹角$∠ ABC=120°$，支撑臂BD为$∠ ABC$的平分线。物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时$∠ CBD=2∠ ABD$，$∠ BDC$增大了$5°$，则$∠ DCE$的变化情况为 （
A.增大$10°$
B.减小$10°$
C.增大$25°$
D.减小$25°$
C
）A.增大$10°$
B.减小$10°$
C.增大$25°$
D.减小$25°$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先抓住不变量$∠ ABC=120°$，分两种情况分析角度关系：首先根据角平分线定义求出初始状态的$∠ CBD$，再利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）表示出初始的$∠ DCE$；接着根据旋转后$∠ CBD$和$∠ ABD$的数量关系求出旋转后的$∠ CBD$，结合$∠ BDC$的变化量表示出旋转后的$∠ DCE$；最后计算两个状态下$∠ DCE$的差值，即可得到它的变化情况。
【解析】
1. 计算初始状态的角度
已知初始时$∠ ABC=120°$，BD是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
设初始时$∠ BDC=α$，根据三角形外角性质，初始$∠ DCE=∠ CBD+∠ BDC=60°+α$。
2. 计算旋转后的角度
旋转后AB位置不变，因此$∠ ABC$仍为$120°$，
由题意得$∠ CBD=2∠ ABD$，且$∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC=120°$，
代入得$∠ ABD+2∠ ABD=120°$，解得$∠ ABD=40°$，则$∠ CBD=80°$，
又$\because ∠ BDC$增大了$5°$，$\therefore$此时$∠ BDC=α+5°$，
同理可得此时$∠ DCE=∠ CBD+∠ BDC=80°+(α+5°)=85°+α$。
3. 计算变化量
$∠ DCE$的变化量为：$(85°+α)-(60°+α)=25°$，即$∠ DCE$增大了$25°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角性质，角度运算
【点评】
本题结合起重机的实际场景考查角度计算，解题核心是找准不变量，梳理清楚变化前后各角度的数量关系，通过设参数的方式消去未知角度，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住不变量$∠ ABC=120°$，分两种情况分析角度关系：首先根据角平分线定义求出初始状态的$∠ CBD$，再利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）表示出初始的$∠ DCE$；接着根据旋转后$∠ CBD$和$∠ ABD$的数量关系求出旋转后的$∠ CBD$，结合$∠ BDC$的变化量表示出旋转后的$∠ DCE$；最后计算两个状态下$∠ DCE$的差值，即可得到它的变化情况。
【解析】
1. 计算初始状态的角度
已知初始时$∠ ABC=120°$，BD是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
设初始时$∠ BDC=α$，根据三角形外角性质，初始$∠ DCE=∠ CBD+∠ BDC=60°+α$。
2. 计算旋转后的角度
旋转后AB位置不变，因此$∠ ABC$仍为$120°$，
由题意得$∠ CBD=2∠ ABD$，且$∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC=120°$，
代入得$∠ ABD+2∠ ABD=120°$，解得$∠ ABD=40°$，则$∠ CBD=80°$，
又$\because ∠ BDC$增大了$5°$，$\therefore$此时$∠ BDC=α+5°$，
同理可得此时$∠ DCE=∠ CBD+∠ BDC=80°+(α+5°)=85°+α$。
3. 计算变化量
$∠ DCE$的变化量为：$(85°+α)-(60°+α)=25°$，即$∠ DCE$增大了$25°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角性质，角度运算
【点评】
本题结合起重机的实际场景考查角度计算，解题核心是找准不变量，梳理清楚变化前后各角度的数量关系，通过设参数的方式消去未知角度，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
