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7. 请用两种方法证明:四边形的外角和为$360°$。
已知:如图,四边形ABCD中,$∠1,∠2,∠3,∠4$是它的外角。
求证:$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
已知:如图,四边形ABCD中,$∠1,∠2,∠3,∠4$是它的外角。
求证:$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
答案
7.证明:法一$:\because ∠1+∠BAD=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°, \therefore ∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°$。$\because ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°, \therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
法二:如图,连接BD
,$\because ∠1=∠ABD+∠ADB,$
∠3=∠CBD+∠CDB,
$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4=180°×2=360°$。
解析
【分析】
本题可从两种不同思路推导：
思路1：利用邻补角的性质，先求出4个外角与对应4个内角的总和，再减去四边形内角和，即可得到外角和。
思路2：通过作辅助线连接BD，将四边形拆分为两个三角形，利用三角形外角性质将外角转化为三角形内角，再结合三角形内角和定理求和。
【解析】
方法一：
根据邻补角的定义，每个外角与相邻内角的和为180°，因此：
∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDA=180°，
将四个等式左右两边分别相加，得：
∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°，
又根据四边形内角和定理，四边形内角和为360°，即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
代入上式计算得：∠1+∠2+∠3+∠4=720°-360°=360°。
方法二：
连接BD后，∠1是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角和，因此∠1=∠ABD+∠ADB；
同理∠3是△BCD的外角，因此∠3=∠CBD+∠CDB；
将四个外角相加得：
∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4，
整理后可拆分为△ABD和△BCD的内角和，每个三角形内角和为180°，因此总和为180°×2=360°。
【答案】
证明:法一$:\because ∠1+∠BAD=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°, \therefore ∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°$。$\because ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°, \therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
法二:如图,连接BD,
$\because ∠1=∠ABD+∠ADB,$
∠3=∠CBD+∠CDB,
$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4=180°×2=360°$。
【知识点】
邻补角性质；四边形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题考查四边形外角和的推导，两种证明方法分别从内外角互补关系、图形转化为三角形的角度切入，渗透了转化的数学思想，能帮助理解多边形内外角的内在联系。
【难度系数】
0.7
本题可从两种不同思路推导：
思路1：利用邻补角的性质，先求出4个外角与对应4个内角的总和，再减去四边形内角和，即可得到外角和。
思路2：通过作辅助线连接BD，将四边形拆分为两个三角形，利用三角形外角性质将外角转化为三角形内角，再结合三角形内角和定理求和。
【解析】
方法一：
根据邻补角的定义，每个外角与相邻内角的和为180°，因此：
∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDA=180°，
将四个等式左右两边分别相加，得：
∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°，
又根据四边形内角和定理，四边形内角和为360°，即∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
代入上式计算得：∠1+∠2+∠3+∠4=720°-360°=360°。
方法二：
连接BD后，∠1是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角和，因此∠1=∠ABD+∠ADB；
同理∠3是△BCD的外角，因此∠3=∠CBD+∠CDB；
将四个外角相加得：
∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4，
整理后可拆分为△ABD和△BCD的内角和，每个三角形内角和为180°，因此总和为180°×2=360°。
【答案】
证明:法一$:\because ∠1+∠BAD=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°, \therefore ∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°$。$\because ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°, \therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
法二:如图,连接BD
,$\because ∠1=∠ABD+∠ADB,$
∠3=∠CBD+∠CDB,
$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4=180°×2=360°$。
【知识点】
邻补角性质；四边形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题考查四边形外角和的推导，两种证明方法分别从内外角互补关系、图形转化为三角形的角度切入，渗透了转化的数学思想，能帮助理解多边形内外角的内在联系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，点$D$是边$AB$上一点，点$E$是边$AC$的中点，过点$C$作$CF// AB$，交$DE$的延长线于点$F$。
(1)求证：$△ ADE≌△ CFE$；
(2)若$AB＝5$，$CF＝3$，求$BD$的长。
(1)求证：$△ ADE≌△ CFE$；
(2)若$AB＝5$，$CF＝3$，求$BD$的长。
答案
8.(1)证明:$\because$ 点 E 是边 AC 的中点,$\therefore AE=CE$。$\because CF // AB, \therefore ∠A = ∠FCE, ∠ADE=∠F$。
在$△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $∠A = ∠FCE, ∠ADE=∠F,AE=CE$,
$\therefore △ ADE ≌ △ CFE(\mathrm{AAS})$。
(2)解:$\because △ ADE ≌ △ CFE,CF=3$,
$\therefore AD=CF=3$。
$\because AB=5, \therefore BD=AB-AD=5-3=2$。
在$△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中, $∠A = ∠FCE, ∠ADE=∠F,AE=CE$,
$\therefore △ ADE ≌ △ CFE(\mathrm{AAS})$。
(2)解:$\because △ ADE ≌ △ CFE,CF=3$,
$\therefore AD=CF=3$。
$\because AB=5, \therefore BD=AB-AD=5-3=2$。
解析
【分析】
(1)要证明△ADE≌△CFE，先梳理已知条件：首先点E是AC中点，可得AE=CE；其次CF//AB，根据平行线的内错角相等的性质，可得∠A=∠FCE、∠ADE=∠F，三组对应相等的条件符合AAS全等判定定理，即可完成证明。
(2)求BD的长度，已知AB总长，只需算出AD的长度即可。根据全等三角形对应边相等的性质，可得AD=CF，代入已知数值，用AB减去AD就能求出BD的长。
【解析】
(1)证明:
∵ 点 E 是边 AC 的中点,
∴ AE=CE。
∵ CF // AB,
∴ ∠A = ∠FCE, ∠ADE=∠F。
在△ ADE 和 △ CFE 中,
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠FCE \\∠ADE=∠F \\AE=CE\end{array} $
∴ △ ADE ≌ △ CFE(AAS)。
(2)解:
∵ △ ADE ≌ △ CFE,CF=3,
∴ AD=CF=3。
∵ AB=5,
∴ BD=AB-AD=5-3=2。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)BD的长为2
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，解题关键是结合平行线的性质找到全等所需的等角条件，再利用全等的性质得到对应边的等量关系即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ADE≌△CFE，先梳理已知条件：首先点E是AC中点，可得AE=CE；其次CF//AB，根据平行线的内错角相等的性质，可得∠A=∠FCE、∠ADE=∠F，三组对应相等的条件符合AAS全等判定定理，即可完成证明。
(2)求BD的长度，已知AB总长，只需算出AD的长度即可。根据全等三角形对应边相等的性质，可得AD=CF，代入已知数值，用AB减去AD就能求出BD的长。
【解析】
(1)证明:
∵ 点 E 是边 AC 的中点,
∴ AE=CE。
∵ CF // AB,
∴ ∠A = ∠FCE, ∠ADE=∠F。
在△ ADE 和 △ CFE 中,
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠FCE \\∠ADE=∠F \\AE=CE\end{array} $
∴ △ ADE ≌ △ CFE(AAS)。
(2)解:
∵ △ ADE ≌ △ CFE,CF=3,
∴ AD=CF=3。
∵ AB=5,
∴ BD=AB-AD=5-3=2。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)BD的长为2
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，解题关键是结合平行线的性质找到全等所需的等角条件，再利用全等的性质得到对应边的等量关系即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
