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1. 下列各图中,过直线$l$外一点$P$,画$l$的垂线$CD$,三角尺操作正确的是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断用三角尺过直线$l$外一点$P$画$l$的垂线$CD$是否正确，需明确三角尺画垂线的操作规则：将三角尺的一条直角边与已知直线$l$重合，另一条直角边必须经过直线外的点$P$，沿该直角边画出的直线即为$l$的垂线。据此逐一分析选项即可。
【解析】
根据三角尺画垂线的操作要求：
1. 三角尺的一条直角边需与直线$l$重合；
2. 三角尺的另一条直角边要经过直线$l$外的点$P$。
选项A：三角尺的直角边未与直线$l$重合，操作错误；
选项B：三角尺的直角边未与直线$l$重合，操作错误；
选项C：三角尺的另一条直角边未经过点$P$，操作错误；
选项D：三角尺的一条直角边与直线$l$重合，另一条直角边经过点$P$，符合操作要求，操作正确。
【答案】
D
【知识点】
垂线的画法
【点评】
本题考查用三角尺画已知直线垂线的基本作图方法，需牢记操作的两个关键要点，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
要判断用三角尺过直线$l$外一点$P$画$l$的垂线$CD$是否正确，需明确三角尺画垂线的操作规则：将三角尺的一条直角边与已知直线$l$重合，另一条直角边必须经过直线外的点$P$，沿该直角边画出的直线即为$l$的垂线。据此逐一分析选项即可。
【解析】
根据三角尺画垂线的操作要求：
1. 三角尺的一条直角边需与直线$l$重合；
2. 三角尺的另一条直角边要经过直线$l$外的点$P$。
选项A：三角尺的直角边未与直线$l$重合，操作错误；
选项B：三角尺的直角边未与直线$l$重合，操作错误；
选项C：三角尺的另一条直角边未经过点$P$，操作错误；
选项D：三角尺的一条直角边与直线$l$重合，另一条直角边经过点$P$，符合操作要求，操作正确。
【答案】
D
【知识点】
垂线的画法
【点评】
本题考查用三角尺画已知直线垂线的基本作图方法，需牢记操作的两个关键要点，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
2. 如图，$OA ⊥ OB$，若$∠ 1 = 55°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2.A
解析
【分析】首先根据垂直的定义，OA与OB垂直，所以∠AOB是直角，等于90°，而∠AOB由∠1和∠2组成，因此∠1与∠2的和为90°，已知∠1的度数，用90°减去∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】因为OA⊥OB，根据垂直的定义可知∠AOB=90°，又因为∠AOB=∠1+∠2，所以∠2=90°−∠1。将∠1=55°代入，可得∠2=90°−55°=35°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】垂直的定义、角的和差计算
【点评】本题是基础几何题，主要考查垂直的性质和角的和差运算，解题思路清晰，难度较低，适合刚接触几何的学生练习。
【难度系数】0.8
【解析】因为OA⊥OB，根据垂直的定义可知∠AOB=90°，又因为∠AOB=∠1+∠2，所以∠2=90°−∠1。将∠1=55°代入，可得∠2=90°−55°=35°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】垂直的定义、角的和差计算
【点评】本题是基础几何题，主要考查垂直的性质和角的和差运算，解题思路清晰，难度较低，适合刚接触几何的学生练习。
【难度系数】0.8
3. 如图,直线 $AB,CD$ 相交于点 $O,EO ⊥ CD$,垂足为 $O$. 若 $∠ 1=54°$,则 $∠ 2$ 的度数为（
A.$26°$
B.$36°$
C.$44°$
D.$54°$
B
）A.$26°$
B.$36°$
C.$44°$
D.$54°$
答案
3.B
解析
【分析】要计算∠2的度数，首先根据EO⊥CD的垂直关系得到∠EOC为直角（90°），再利用AB是平角（180°）的性质，结合已知∠1=54°，通过平角的和差关系即可求出∠2的度数。
【解析】因为EO⊥CD，根据垂直的定义，可知∠EOC=90°。又因为AB是直线，根据平角的定义，∠AOB=180°，即∠2 + ∠EOC + ∠1 = 180°。将∠1=54°、∠EOC=90°代入式子，计算得：∠2=180° - 90° - 54°=36°，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】垂直的定义、平角的性质、角度计算
【点评】本题是基础几何角度计算题，考察垂直、平角的基本定义应用，解题思路直接，属于几何入门常规题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】因为EO⊥CD，根据垂直的定义，可知∠EOC=90°。又因为AB是直线，根据平角的定义，∠AOB=180°，即∠2 + ∠EOC + ∠1 = 180°。将∠1=54°、∠EOC=90°代入式子，计算得：∠2=180° - 90° - 54°=36°，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】垂直的定义、平角的性质、角度计算
【点评】本题是基础几何角度计算题，考察垂直、平角的基本定义应用，解题思路直接，属于几何入门常规题型，难度较低。
【难度系数】0.7
4. 如图，$AB ⊥ CD$，垂足为$O$，$OE$平分$∠ BOC$，则$∠ DOE$的度数为
135
$°$.答案
4.135
解析
【分析】先根据AB⊥CD，利用垂直的定义得出∠BOC为直角，再结合角平分线的性质算出∠BOE的度数，最后根据∠DOE由∠DOB和∠BOE组成，通过角的和差关系计算出∠DOE的度数。
【解析】
∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠BOC=90°，∠DOB=90°（垂直的定义）。
又
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=½∠BOC=½×90°=45°（角平分线的定义）。
∴∠DOE=∠DOB + ∠BOE=90°+45°=135°。
【答案】135
【知识点】垂直的定义、角平分线的性质
【点评】本题是基础几何计算题，主要考查垂直和角平分线的基本性质，解题思路清晰，步骤简单，属于易得分题。
【难度系数】0.3
【解析】
∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠BOC=90°，∠DOB=90°（垂直的定义）。
又
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=½∠BOC=½×90°=45°（角平分线的定义）。
∴∠DOE=∠DOB + ∠BOE=90°+45°=135°。
【答案】135
【知识点】垂直的定义、角平分线的性质
【点评】本题是基础几何计算题，主要考查垂直和角平分线的基本性质，解题思路清晰，步骤简单，属于易得分题。
【难度系数】0.3
5. 如图,分别过点$P$作$AB$的垂线.
答案
5.解:如答图,直线PM就是所要求作的直线AB的垂线。
解析
【分析】
要过点P作直线AB的垂线，需根据点P与直线AB的位置关系（点在直线外、点在直线上），结合“两条直线相交成直角则互相垂直”的垂线定义作图；网格类题目可利用网格的直角特性辅助确定垂直方向，确保所作直线与AB夹角为90°。
【解析】
分四种情况作图：
1. 图①：点P在直线AB外，过P作AB的垂线，垂足M在AB上，使PM⊥AB；
2. 图②：点P在直线AB上，过P作AB的垂线，垂足M在直线AB外，使PM⊥AB；
3. 图③：点P在直线AB外，过P作AB的垂线，垂足M在AB的延长线上，使PM⊥AB；
4. 图④：网格中，利用网格直角，过P作AB的垂线，垂足为M，使PM⊥AB。
【答案】
如答图，直线PM就是所要求作的直线AB的垂线。
【知识点】
垂线的画法、垂直的定义
【点评】
本题考查过点作已知直线垂线的基本作图，需结合点与直线的位置关系，依据垂线定义准确作图，网格类题目可借助网格特性简化垂直判断。
【难度系数】
0.5
要过点P作直线AB的垂线，需根据点P与直线AB的位置关系（点在直线外、点在直线上），结合“两条直线相交成直角则互相垂直”的垂线定义作图；网格类题目可利用网格的直角特性辅助确定垂直方向，确保所作直线与AB夹角为90°。
【解析】
分四种情况作图：
1. 图①：点P在直线AB外，过P作AB的垂线，垂足M在AB上，使PM⊥AB；
2. 图②：点P在直线AB上，过P作AB的垂线，垂足M在直线AB外，使PM⊥AB；
3. 图③：点P在直线AB外，过P作AB的垂线，垂足M在AB的延长线上，使PM⊥AB；
4. 图④：网格中，利用网格直角，过P作AB的垂线，垂足为M，使PM⊥AB。
【答案】
如答图，直线PM就是所要求作的直线AB的垂线。
【知识点】
垂线的画法、垂直的定义
【点评】
本题考查过点作已知直线垂线的基本作图，需结合点与直线的位置关系，依据垂线定义准确作图，网格类题目可借助网格特性简化垂直判断。
【难度系数】
0.5
6. 下列时刻，时针与分针互相垂直的是（
A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
D
）A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
答案
6.D
解析
【分析】要判断时针与分针是否垂直，需先明确钟表上时针和分针的转动速度：分针每分钟转6°（360°÷60），时针每分钟转0.5°（时针每小时转30°，即360°÷12，故每分钟转30°÷60=0.5°）。分别计算每个选项中时针与分针的夹角，若夹角为90°或270°，则二者互相垂直。
【解析】
1. 选项A（2时30分）：
分针位置：30分×6°/分=180°；
时针位置：2时×30°/时 + 30分×0.5°/分=60°+15°=75°；
夹角：|180°-75°|=105°≠90°，不垂直。
2. 选项B（12时15分）：
分针位置：15分×6°/分=90°；
时针位置：12时（0时）×30°/时 +15分×0.5°/分=0°+7.5°=7.5°；
夹角：|90°-7.5°|=82.5°≠90°，不垂直。
3. 选项C（6时15分）：
分针位置：15分×6°/分=90°；
时针位置：6时×30°/时 +15分×0.5°/分=180°+7.5°=187.5°；
夹角：|187.5°-90°|=97.5°≠90°，不垂直。
4. 选项D（3时整）：
分针位置：0分×6°/分=0°；
时针位置：3时×30°/时=90°；
夹角：|90°-0°|=90°，互相垂直。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】钟表角度计算，垂直的判定
【点评】本题考查钟表中时针与分针的夹角计算，核心是掌握时针和分针的转动速度，通过计算夹角判断垂直关系，属于基础题型，需熟练掌握钟表角度的计算方法。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 选项A（2时30分）：
分针位置：30分×6°/分=180°；
时针位置：2时×30°/时 + 30分×0.5°/分=60°+15°=75°；
夹角：|180°-75°|=105°≠90°，不垂直。
2. 选项B（12时15分）：
分针位置：15分×6°/分=90°；
时针位置：12时（0时）×30°/时 +15分×0.5°/分=0°+7.5°=7.5°；
夹角：|90°-7.5°|=82.5°≠90°，不垂直。
3. 选项C（6时15分）：
分针位置：15分×6°/分=90°；
时针位置：6时×30°/时 +15分×0.5°/分=180°+7.5°=187.5°；
夹角：|187.5°-90°|=97.5°≠90°，不垂直。
4. 选项D（3时整）：
分针位置：0分×6°/分=0°；
时针位置：3时×30°/时=90°；
夹角：|90°-0°|=90°，互相垂直。
综上，答案为D。
【答案】D
【知识点】钟表角度计算，垂直的判定
【点评】本题考查钟表中时针与分针的夹角计算，核心是掌握时针和分针的转动速度，通过计算夹角判断垂直关系，属于基础题型，需熟练掌握钟表角度的计算方法。
【难度系数】0.6
7. 如图,$E$是直线$CA$上一点,$∠ FEA=40°$,射线$EB$平分$∠ CEF$,$GE ⊥ EF$,则$∠ GEB$的度数为（
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
B
）A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
7.B
解析
【分析】要计算∠GEB的度数，需逐步利用平角、角平分线、垂直的性质：先根据平角定义求出∠CEF，再由角平分线得∠BEF，最后结合垂直的性质，通过两角差算出结果。
【解析】
1. 由平角的定义可知，直线CA上的∠CEA = 180°，已知∠FEA = 40°，因此：
∠CEF = ∠CEA - ∠FEA = 180° - 40° = 140°；
2. 因为EB平分∠CEF，根据角平分线的定义，得：
∠BEF = $\frac{1}{2}$∠CEF = $\frac{1}{2}$×140° = 70°；
3. 又因为GE⊥EF，根据垂直的定义，∠GEF = 90°；
4. 所以∠GEB = ∠GEF - ∠BEF = 90° - 70° = 20°。
【答案】20°
【知识点】角平分线、平角、垂直的性质
【点评】本题是基础几何角度计算题，核心是利用平角、角平分线、垂直的基本性质进行角度运算，步骤清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 由平角的定义可知，直线CA上的∠CEA = 180°，已知∠FEA = 40°，因此：
∠CEF = ∠CEA - ∠FEA = 180° - 40° = 140°；
2. 因为EB平分∠CEF，根据角平分线的定义，得：
∠BEF = $\frac{1}{2}$∠CEF = $\frac{1}{2}$×140° = 70°；
3. 又因为GE⊥EF，根据垂直的定义，∠GEF = 90°；
4. 所以∠GEB = ∠GEF - ∠BEF = 90° - 70° = 20°。
【答案】20°
【知识点】角平分线、平角、垂直的性质
【点评】本题是基础几何角度计算题，核心是利用平角、角平分线、垂直的基本性质进行角度运算，步骤清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
