7. 如图,直线 $AB$ 交 $CD$ 于点 $O$,$OE$ 平分$∠ BOD$,$OF$ 平分$∠ COB$,$∠ AOD:∠ BOE=4:1$,则$∠ AOF$ 的度数为（）

A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$

7.B

【分析】
要解决这道题，首先利用角平分线的性质，OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE；再结合已知的角度比例关系设未知数，根据平角为180°求出∠BOE的度数，进而得到∠BOD的度数；接着求出∠COB的度数，利用OF平分∠COB得到∠BOF的度数，最后根据平角的定义计算出∠AOF的度数。
【解析】
设∠BOE = x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE = ∠BOE = x，即∠BOD = 2x。
又
∵∠AOD:∠BOE = 4:1，
∴∠AOD = 4x。
∵AB为直线，∠AOD + ∠BOD = 180°（平角定义），
∴4x + 2x = 180°，
解得x = 30°。
∴∠BOD = 2×30° = 60°，
∴∠COB = 180° - ∠BOD = 180° - 60° = 120°。
∵OF平分∠COB，
∴∠BOF = $\frac{1}{2}$∠COB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
∴∠AOF = 180° - ∠BOF = 180° - 60° = 120°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线、平角性质、角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是利用角平分线的性质和平角的定义，通过设未知数建立方程求解，需熟练掌握角度间的关系推导。
【难度系数】
0.5

8. 如图,若$∠ 1$比$∠ 2$的3倍还多$20^{\circ }$,则$∠ 3$的度数为.

8.140°

【分析】
要解决本题，需利用两条直线相交形成的角的性质：邻补角之和为180°，对顶角相等。首先根据∠1与∠2的邻补关系和数量关系求出∠2的度数，再通过对顶角或邻补关系求出∠3的度数。
【解析】
设∠2的度数为$ x $，由题意得∠1 = $ 3x + 20° $。
因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1 + ∠2 = $ 180° $，代入得：
$ x + (3x + 20°) = 180° $
化简得：$ 4x = 160° $，解得$ x = 40° $，即∠2 = $ 40° $。
又因为∠3与∠1是对顶角，对顶角相等，所以∠3 = ∠1 = $ 3×40° + 20° = 140° $。
【答案】
140°
【知识点】
邻补角、对顶角
【点评】
本题是两条直线相交形成角的基础应用题，考查邻补角和对顶角的性质，结合方程思想即可求解，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7

9. 已知$∠ α$与$∠ β$是对顶角，$∠ α$的余角为$50^{\circ }$，则$∠ β$的补角的度数是.

9.140°

【分析】
要解决这道题，需依次运用余角的定义、对顶角的性质、补角的定义：第一步，根据余角的定义算出∠α的度数；第二步，利用对顶角相等的性质得到∠β的度数；第三步，根据补角的定义计算∠β的补角的度数。
【解析】
解：① 求∠α的度数：因为互为余角的两个角和为90°，已知∠α的余角为50°，所以∠α = 90° - 50° = 40°；
② 求∠β的度数：因为∠α与∠β是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠β = ∠α = 40°；
③ 求∠β的补角：因为互为补角的两个角和为180°，所以∠β的补角 = 180° - ∠β = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
对顶角性质、余角、补角
【点评】
本题考查对顶角、余角、补角的基本概念与性质，属于基础题型，解题关键是熟练掌握相关定义和性质，步骤清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

10. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O,∠ BOD=25°,∠ AOC:∠ AOE=5:11$, 则 $∠ DOE$ 的度数为.

10.100°

【分析】
要解决这道题，首先利用对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据已知的角度比例算出∠AOE的度数，最后结合平角的定义，通过平角180°减去∠AOE和∠BOD的度数，即可得到∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等），
又
∵ ∠BOD = 25°，
∴ ∠AOC = 25°。
已知∠AOC:∠AOE = 5:11，设∠AOC = 5x，∠AOE = 11x，
则5x = 25°，解得x = 5°，
∴ ∠AOE = 11×5° = 55°。
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOE + ∠DOE + ∠BOD = 180°（平角的定义），
∴ ∠DOE = 180° - ∠AOE - ∠BOD = 180° - 55° - 25° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
对顶角相等、平角定义、比例计算
【点评】
本题结合对顶角性质、平角定义和比例关系求解角度，属于基础几何题，解题思路清晰，关键是找准角度间的关系，适合巩固几何基础知识点。
【难度系数】
0.4

11. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O$, O E 平分 $∠ BOD,∠ AOC=74°,∠ DOF=90°$, 求 $∠ EOF$ 的度数.

11. 解:因为$∠BOD$与$∠AOC$是对顶角,$∠AOC=74°$,
所以$∠BOD=∠AOC=74°$.因为 OE 平分$∠BOD$,
所以$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×74°=37°$.
因为$∠DOF=90°$,
所以$∠EOF=∠DOF-∠DOE=90°-37°=53°$.

【分析】
本题需利用对顶角的性质、角平分线的定义以及角的和差关系求解。首先根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再由角平分线定义算出∠DOE的度数，最后通过∠DOF与∠DOE的差得到∠EOF的度数。
【解析】
因为直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠BOD=∠AOC=74°。
又因为OE平分∠BOD，根据角平分线的定义，所以∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×74°=37°。
已知∠DOF=90°，根据角的和差关系，∠EOF=∠DOF - ∠DOE=90° - 37°=53°。
【答案】
53°
【知识点】
对顶角相等、角平分线定义、角的和差
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查对顶角、角平分线的性质，解题思路清晰，步骤明确，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.6

12. 如图,直线 $AB,CD$ 交于点 $O$,$OE$ 平分$∠ COB$,$OF$ 平分$∠ EOD.$
(1)试说明:$∠ AOD=2∠ COE;$
(2)若$∠ BOF=15°$,求$∠ AOC$的度数.

12. 解:(1)因为 OE 平分$∠COB$,所以$∠COB=2∠COE$.
因为$∠AOD=∠COB$,所以$∠AOD=2∠COE$.
(2)设$∠AOC=∠BOD=α$,则$∠DOF=α+15°$.
因为 OF 平分$∠EOD$,所以$∠EOF=∠DOF=α+15°$,
所以$∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°$,
所以$∠COB=2∠EOB=2α+60°$.
因为$∠COB+∠BOD=180°$,所以$2α+60°+α=180°$,
所以$α=40°$,即$∠AOC=40°$.

【分析】
要解决这道题，需结合角平分线的定义、对顶角和邻补角的性质推导：(1)先利用角平分线得到∠COB与∠COE的倍数关系，再通过对顶角相等将∠AOD转化为∠COB，即可证明结论；(2)设∠AOC为未知数，根据对顶角、角平分线的性质表示相关角，再利用邻补角和为180°列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE平分∠COB，
∴ 根据角平分线的定义，∠COB = 2∠COE。
又
∵ 直线AB、CD交于点O，∠AOD与∠COB是对顶角，
∴ 根据对顶角相等，∠AOD = ∠COB。
因此，∠AOD = 2∠COE。
(2) 解：
设∠AOC = α，
∵ ∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴ ∠BOD = ∠AOC = α。
已知∠BOF = 15°，
∴ ∠DOF = ∠BOD + ∠BOF = α + 15°。
∵ OF平分∠EOD，
∴ 根据角平分线的定义，∠EOF = ∠DOF = α + 15°。
则∠EOB = ∠EOF + ∠BOF = (α + 15°) + 15° = α + 30°。
∵ OE平分∠COB，
∴ ∠COB = 2∠EOB = 2(α + 30°) = 2α + 60°。
又
∵ ∠COB与∠BOD是邻补角，和为180°，
∴ ∠COB + ∠BOD = 180°，即2α + 60° + α = 180°，
解得：α = 40°，
因此∠AOC = 40°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠AOC = 40°
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，邻补角性质
【点评】
本题综合考查几何中角的基本性质，第二问运用方程思想简化计算，需理清角的数量关系，难度适中，适合巩固角的相关知识点。
【难度系数】
0.6

13. 观察图形，寻找对顶角(不含平角).
(1)如图①，图中共有对对顶角；
(2)如图②，图中共有对对顶角；
(3)如图③，图中共有对对顶角；
(4)若有$n$($n≥2$，且$n$为整数)条直线相交于一点，则可形成对对顶角.(用含$n$的代数式表示)

13. (1)2 (2)6 (3)12 (4)$n(n-1)$

【分析】
要解决本题，需先明确对顶角的定义：两条直线相交于一点时，会形成2对对顶角（不含平角）。解题时先数出每个图中相交于同一点的直线数量，再根据“每两条直线相交形成2对对顶角”的规律计算，最后推导n条直线相交的通用公式。
【解析】
(1) 图①中，有2条直线（AB、CD）相交于点O，2条直线相交形成的对顶角对数为：$2×1=2$对；
(2) 图②中，有3条直线（AB、CD、EF）相交于点O，每两条直线形成2对对顶角，共$\mathrm{C}_3^2=3$组直线，总对数为：$3×2=6$对；
(3) 图③中，有4条直线（AB、CD、EF、GH）相交于点O，共$\mathrm{C}_4^2=6$组直线，总对数为：$6×2=12$对；
(4) 若有$n$（$n≥2$）条直线相交于同一点，从$n$条直线中选2条的组合数为$\frac{n(n-1)}{2}$，每组对应2对对顶角，因此总对数为：$\frac{n(n-1)}{2}×2 = n(n-1)$对。
【答案】
(1)2；(2)6；(3)12；(4)$n(n-1)$
【知识点】
对顶角的概念，直线相交的对顶角规律，找规律
【点评】
本题是规律探究题，核心是理解对顶角的形成与直线相交的关系，通过从特殊到一般的方法推导n条直线相交时对顶角的数量，需要学生掌握组合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.5