8. 下列说法:①两条直线相交,交点叫作垂足;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③在同一平面内,一条直线有且只有一条垂线;④在同一平面内,一条线段有无数条垂线;⑤过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线;⑥若$a ⊥ b$,则$a$是$b$的垂线,$b$不是$a$的垂线.其中正确的有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8.A

【分析】
要判断各说法的正确性，需逐一结合垂线的定义、性质分析：①垂足仅指两条互相垂直直线的交点；②同一平面内垂线的基本性质；③一条直线的垂线数量；④线段的垂线数量；⑤射线/线段所在直线可作垂线；⑥垂线具有相互性。逐个分析后统计正确说法的数量即可。
【解析】
逐一分析各说法：
1. 说法①：只有两条互相垂直的直线相交时，交点才叫垂足，普通相交的交点不是垂足，故①错误；
2. 说法②：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，故②正确；
3. 说法③：同一平面内，一条直线有无数条垂线（过直线上、外不同点均可作垂线），故③错误；
4. 说法④：同一平面内，一条线段有无数条垂线（过线段所在直线上任意点均可作垂线），故④正确；
5. 说法⑤：射线或线段所在的直线是直线，过一点可向该直线作垂线，故⑤错误；
6. 说法⑥：垂线是相互的，若$a⊥b$，则$a$是$b$的垂线，$b$也是$a$的垂线，故⑥错误；
综上，正确的说法是②和④，共2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
垂线的定义、垂线的性质
【点评】
本题考查垂线的基础概念，需准确区分垂足定义、垂线相互性、直线与线段的垂线数量等易混点，逐一分析即可得出结论，属于基础概念题。
【难度系数】
0.6

9. 如图,点$O$在直线$AB$上,$OC⊥ OD$.若$∠ AOC=120°$,则$∠ BOD$的度数为 （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

9.A

【分析】首先，根据点O在直线AB上，可知∠AOB是平角（180°），结合已知∠AOC=120°，可先求出∠BOC的度数；再由OC⊥OD，得到∠COD=90°，利用∠COD=∠BOC+∠BOD的关系，即可计算出∠BOD的度数。
【解析】解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°（平角的定义）。
又
∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOB - ∠AOC=180° - 120°=60°。
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°（垂直的定义）。
又
∵∠COD=∠BOC + ∠BOD，
∴∠BOD=∠COD - ∠BOC=90° - 60°=30°。
故答案选A。
【答案】A
【知识点】平角定义、垂直的性质、角度计算
【点评】本题属于基础的角度计算问题，解题关键是利用平角和垂直的定义，理清各角之间的和差关系，逐步计算所求角度，难度较低。
【难度系数】0.7

10. 如图，$OA ⊥ OB$，$OC ⊥ OD$，若$∠ AOD = 4∠ BOC$，则$∠ BOD$的度数为.

10.126°

【分析】
首先明确围绕点O的四个角构成周角，和为360°，结合垂直关系得到两个直角，从而推导出∠BOC与∠AOD的和为180°；再利用已知的∠AOD和∠BOC的倍数关系，求出∠BOC的度数；最后根据图形中∠BOD的组成，计算出其度数。
【解析】
∵ OA⊥OB，OC⊥OD，
∴ ∠AOB = 90°，∠COD = 90°。
又
∵ 点O处的四个角之和为周角，即∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠AOD = 360°，
代入∠AOB和∠COD的度数，得：90° + ∠BOC + 90° + ∠AOD = 360°，
化简得：∠BOC + ∠AOD = 180°。
已知∠AOD = 4∠BOC，设∠BOC = x，则∠AOD = 4x，
∴ x + 4x = 180°，解得x = 36°，即∠BOC = 36°。
观察图形可知，∠BOD = ∠BOC + ∠COD，
∴ ∠BOD = 36° + 90° = 126°。
【答案】
126°
【知识点】
垂直的性质、周角的定义、角的和差计算
【点评】
本题结合垂直的性质和周角的概念，通过角度间的和差与倍数关系求解，是基础的角度计算问题，关键在于利用周角建立角的数量关系。
【难度系数】
0.5

11. 在直线 AB 上任取一点 O,过点 O 作射线 OC,OD,使 $OC ⊥ OD$,当 $∠ AOC=30°$ 时, $∠ BOD$ 的度数为。

11.60°或120°

【分析】本题需考虑射线OC、OD相对于直线AB的位置，由于OC⊥OD，OD的位置存在两种不同情况，需分类讨论，结合平角和垂线的性质计算∠BOD的度数，避免漏解。
【解析】因为O在直线AB上，所以∠AOB=180°（平角定义），又OC⊥OD，所以∠COD=90°（垂线定义）。分两种情况：
① 当OC、OD在直线AB的同侧时：
已知∠AOC=30°，则∠AOD=∠COD - ∠AOC=90°-30°=60°，
所以∠BOD=∠AOB - ∠AOD=180°-60°=120°；
② 当OC、OD在直线AB的异侧时：
已知∠AOC=30°，则∠AOD=∠AOC + ∠COD=30°+90°=120°，
所以∠BOD=∠AOB - ∠AOD=180°-120°=60°；
综上，∠BOD的度数为60°或120°。
【答案】60°或120°
【知识点】垂线的定义、平角的性质、角的和差
【点评】本题考查垂线与平角的相关计算，核心是运用分类讨论思想，考虑射线OD的不同位置，防止漏解，属于基础易错题。
【难度系数】0.5

12. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O, O M ⊥ A B$ 于点 $O$.
(1) 若 $∠ 1=∠ 2$, 求 $∠ N O D$ 的度数;
(2) 若 $∠ B O C=4 ∠ 1$, 求 $∠ A O C$ 与 $∠ M O D$ 的度数.

12.解:(1)因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.
因为∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,
所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.
(2)因为∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,
所以∠1=30°,所以∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
因为OM⊥AB,所以∠MOA=90°,
所以∠AOC=∠MOA-∠1=90°-30°=60°.

【分析】
要解决这道题，需结合垂线的性质、平角的定义及角的和差关系：
(1) 先由OM⊥AB得出∠AOM=90°，即∠1与∠AOC的和为90°，结合∠1=∠2，可推出∠2与∠AOC的和为90°，再根据平角为180°，计算∠NOD的度数；
(2) 先根据∠BOC=∠AOM+∠1=90°+∠1，结合已知∠BOC=4∠1求出∠1，再利用角的和差关系分别计算∠AOC和∠MOD的度数。
【解析】
(1) 因为OM⊥AB，根据垂线的性质，得∠AOM=90°，即∠1 + ∠AOC = 90°。
又因为∠1=∠2，通过等量代换得∠2 + ∠AOC = 90°。
根据平角的定义，∠NOD = 180° - (∠2 + ∠AOC) = 180° - 90° = 90°。
(2) 因为∠BOC = ∠AOM + ∠1 = 90° + ∠1，且∠BOC=4∠1，所以90° + ∠1 = 4∠1，解得∠1=30°。
根据垂线性质，∠MOA=90°，所以∠AOC = ∠MOA - ∠1 = 90° - 30° = 60°。
根据平角的定义，∠MOD = 180° - ∠1 = 180° - 30° = 150°。
【答案】
(1) ∠NOD=90°；(2) ∠AOC=60°，∠MOD=150°。
【知识点】
垂线的性质、平角的定义、角的和差计算
【点评】
本题为几何基础计算题，核心考查垂线性质、平角定义的应用，解题关键是理清角之间的和差关系，属于常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

13. 如图,$O$是直线$EF$上一点,射线$OA,OB,OC$在直线$EF$的上方,射线$OD$在直线$EF$的下方,且$OF$平分$∠ COD$,$OA⊥ OC$,$OB⊥ OD$.
(1)若$∠ DOF=30°$,求$∠ AOB$的度数;
(2)若$OA$平分$∠ BOE$,求$∠ DOF$的度数.

13.解:(1)因为OF平分∠COD,∠DOF=30°,
所以∠COD=2∠DOF=60°.
因为OB⊥OD,所以∠BOD=90°,
所以∠BOC=90°-60°=30°.
因为OA⊥OC,所以∠AOC=90°,
所以∠AOB=90°-30°=60°.
(2)因为OA平分∠BOE,
所以∠AOB=∠AOE.
因为OA⊥OC,所以∠AOC=90°,
所以∠BOC=90°-∠AOB,∠COF=90°-∠AOE,
所以∠BOC=∠COF.
因为OF平分∠COD,所以∠COF=∠DOF,
所以∠BOC=∠COF=∠DOF.
因为OB⊥OD,所以∠BOD=90°,
所以∠DOF=1/3∠BOD=1/3×90°=30°.

【分析】
第(1)问：先利用角平分线的定义，由OF平分∠COD和已知∠DOF的度数求出∠COD；再根据OB⊥OD得到∠BOD=90°，算出∠BOC；最后结合OA⊥OC得到∠AOC=90°，进而求出∠AOB。第(2)问：先由OA平分∠BOE得∠AOB=∠AOE，结合OA⊥OC通过角的和差推导出∠BOC=∠COF；再利用OF平分∠COD，得到∠BOC=∠COF=∠DOF；最后结合OB⊥OD，将∠BOD分为三个相等的角，求出∠DOF。
【解析】
(1) 因为OF平分∠COD，∠DOF=30°，根据角平分线的定义，所以∠COD=2∠DOF=2×30°=60°。
因为OB⊥OD，根据垂直的定义，所以∠BOD=90°，因此∠BOC=∠BOD - ∠COD=90° - 60°=30°。
又因为OA⊥OC，根据垂直的定义，所以∠AOC=90°，因此∠AOB=∠AOC - ∠BOC=90° - 30°=60°。
(2) 因为OA平分∠BOE，根据角平分线的定义，所以∠AOB=∠AOE。
因为OA⊥OC，根据垂直的定义，所以∠AOC=90°，即∠AOB + ∠BOC=90°，∠AOE + ∠COF=90°，所以∠BOC=90° - ∠AOB，∠COF=90° - ∠AOE，因此∠BOC=∠COF。
又因为OF平分∠COD，根据角平分线的定义，所以∠COF=∠DOF，所以∠BOC=∠COF=∠DOF。
因为OB⊥OD，根据垂直的定义，所以∠BOD=90°，而∠BOD=∠BOC + ∠COF + ∠DOF=3∠DOF，所以∠DOF=1/3∠BOD=1/3×90°=30°。
【答案】
(1) ∠AOB的度数为60°；(2) ∠DOF的度数为30°。
【知识点】
角平分线的性质、垂直的定义、角的和差运算
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，主要考查角平分线和垂直的性质，解题关键是理清各角之间的关系，通过等量代换求解，难度适中。
【难度系数】
0.5