11. (2026·无锡模拟)问题情境:镜子可以帮助我们正衣冠、正仪表、端正品行.现需要购买一面长方形的平面镜,垂直于地面安装在教室墙上,使镜子可以照全每个同学的全身像.已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度,仅考虑镜子的长度来节约购买成本.
(1)【探究一】
人照镜子利用的物理知识是光的反射定律,其成像特点:像与物大小相等且它们到平面镜的距离相等,像与物关于镜面对称.如图①,线段AB表示人的身高,其中点A表示头顶,点B表示脚底,点C表示眼睛(位于AB上),MN表示平面镜,线段A'B'表示AB在镜中的虚像.设人的身高AB为$x$,能看到全身像的最短镜子长度EF为$y$,求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)【探究二】
如图②,现购买了一面90 cm长的镜子并安装在墙上.小亮身高为180 cm,他正立在镜子前某处,眼睛C却只能看到部分人像,看到部分人像的长度为70 cm.可见,要想看到自己的全身像,仅仅考虑最短镜长还不够,还要考虑安装的位置.若小亮保持正立姿势,镜子竖直下移至合适位置,眼睛便能看到全身像,求下移的距离.
(3)【探究三】
通过测量与统计,全班同学身高最矮为$h_1$ cm,最高为$h_2$ cm.忽略个体差异,统一记每人眼睛到头顶的距离为$h_3$ cm.在确保全班每个同学保持正立姿势的情况下,求全班都能看到全身像的最短镜长.(用含$h_1$、$h_2$、$h_3$的代数式表示)

11. (1)
∵ 像与物大小相等且它们到平面镜的距离相等,像与物关于镜面对称,
∴ B'N=BN,AB=A'B'.
∵ FN//BC,则B'F/FC = B'N/NB = 1,
∴ CF=FB'.
∵ EF//A'B',
∴ △CEF∽△CA'B',则 EF/A'B' = CF/CB' = 1/2.
∵ AB=x,EF=y,
∴ y/x = 1/2,则 y=1/2 x,即 y 与 x 之间的函数表达式为 y=1/2 x.
(2) 由成像原理作出看到部分人像的长度为 70 cm 的图形,如图①,即 A'C'=70 cm,过点 C' 作 BB' 的平行线分别交 PN,AB 于点 M',M,
∵ CM//QM',MM'=M'C',
∴ C'Q/QC = C'M'/M'M = 1,即 C'Q=QC.
∵ P'Q//A'C',
∴ △CP'Q∽△CA'C',则 P'Q/A'C' = CQ/CC' = 1/2,
∴ P'Q=1/2 A'C' = 1/2 ×70=35(cm).
由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置,眼睛能看到全身像的图形,如图②,由(1)可知,AB=A'B'=180 cm,
∵ P'Q'=PQ=90 cm,
∴ QQ'=P'Q'-P'Q=90-35=55(cm),即下移的距离为 55 cm.
(3) 根据题意得最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得高于的高度为 FN,如图③,由(1)同理得 FN=(h₁-h₃)/2,最高的同学的身高决定镜子的上沿不得低于的高度为 EN,如图④,由(1)同理得 EN=h₂ - h₃/2 = (2h₂-h₃)/2,
∴ 最短的镜子长为 EN-FN=(2h₂-h₁)/2.