1. (2026·淮安模拟)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格,图中的点A,B,C,D均在格点上.
(1)在图①中,$\frac{PD}{PA}=$;
(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.
①如图②,在线段AB上找一点P,使$\frac{AP}{BP}=\frac{3}{2}$;
②如图③,在线段BC上找一点P,使$△ APB ∽ △ DPC$.

1. (1) $\frac{1}{3}$
解析:由题图得AB=3,CD=1,
∵AB//CD,
∴△ABP∽△DCP,
∴$\frac{PD}{PA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{3}$.
(2)① ，点P即为所作.
② ，点P即为所作.

2. 图①、图②、图③分别是$6×6$的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点$A,B,C,D,E,P,Q,M,N$均在格点上，请在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中，画线段$AB$的中点$F$；
(2)在图②中，画线段$CE$上的点$G$，使得$S_{△ CDG}:S_{△ DEG}=2:3$；
(3)在图③中，找出所有格点$R$，使$△ PQR$被线段$MN$分成两部分图形的面积比为$1:3$.

2. (1) 左图，点F即为所作.
(2) 右图，点G即为所作.理由如下:
∵$CH// DE$,$\frac{CH}{DE}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{CG}{GE}=\frac{CH}{DE}=\frac{2}{3}$,
∴$S_{△ CDG}:S_{△ DEG}=2:3$.
(3) ，点R和$R'$即为所作.理由如下:根据(2)的结论,可知,只要MN经过$△PQR$的中位线,根据R在网格上,找到符合题意的点R即可.

3. 如图,在$6×10$的方格纸$ABCD$中有一个格点$△ EFG$,请按要求画线段.仅用没有刻度的直尺找出$EF$上一点$M$,$EG$上一点$N$,连接$MN$,使$△ EMN$和$△ EFG$的相似比为$2:5$.(保留作图痕迹)

3. ，取格点O,J,K,连接OJ交EF于点M,连接OK交EG于点N,连接MN,则MN即为所作.
解析:
∵$EO// JF$,
∴$△MOE∽△MJF$,
∴$\frac{OE}{JF}=\frac{ME}{MF}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{ME}{EF}=\frac{2}{5}$,同理$\frac{EN}{NG}=\frac{OE}{KG}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{EN}{EG}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{EM}{EF}=\frac{EN}{EG}$.
又
∵$∠E=∠E$,
∴$△EMN∽△EFG$,相似比为$\frac{EM}{EF}=\frac{2}{5}$.

4. 如图,在$\odot O$中,AB为弦,AM为$\odot O$的切线,A为切点,请仅用无刻度的直尺,分别在AM上取一点C,在$\odot O$上取两点E,D,使得$△ ACE ∽ △ DCA.$

4. ，$△ACE$与$△DCA$即为所作.(答案不唯一)
理由如下:过点A作$\odot O$的直径,交$\odot O$于点D,连接DC交$\odot O$于点E.
∵AM为$\odot O$的切线,AD是直径,
∴$AD⊥AM$,$∠AED=90°$,
∴$∠DAC=90°$,$∠AEC=90°$,
∴$∠DAC=∠AEC$.又$∠ACE=∠DCA$,
∴$△ACE∽△DCA$.

5. (南京中考)如图,在$□ ABCD$中,E是AD上一点,延长CE到点F,使$∠ FBC= ∠ DCE$.
(1)求证:$∠ D= ∠ F$;
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使$△ BPC ∽ △ CDP$(保留作图的痕迹,不写作法).

5. (1) 设BF交AD于G,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴$AD// BC$,
∴$∠FBC=∠FGE$.又
∵$∠FBC=∠DCE$,
∴$∠FGE=∠DCE$.又
∵$∠GEF=∠DEC$,
∴$∠D=∠F$.
(2) ，点P即为所求.
解析:分别作BC和BF的垂直平分线,它们相交于点O,然后以O为圆心,OC为半径作$△BCF$的外接圆$\odot O$,$\odot O$交AD于P,连接BP,CP,则根据圆周角定理得到$∠F=∠BPC$.又
∵$∠F=∠D$,
∴$∠D=∠BPC$.接着可证明$∠PCD=∠APB=∠PBC$,于是可判断$△BPC∽△CDP$.