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19. 数学思想数形结合思想（6分）已知有理数$a,b,c$在数轴上的对应点的位置如图66-G-5所示，化简：$|a| - |a - b| + |c - b| + |b - c|$. 
答案
19. 解:根据数轴,得$a＜b＜0＜c$，
则$a-b＜0,c-b＞0,b-c＜0.$
所以$|a|=-a$，$|a-b|=b-a$，$|c-b|=c-b$，$|b-c|=c-b.$
所以$|a|-|a-b|+|c-b|+|b-c|=-a-b+a+c-b+c-b=2c-3b.$
则$a-b＜0,c-b＞0,b-c＜0.$
所以$|a|=-a$，$|a-b|=b-a$，$|c-b|=c-b$，$|b-c|=c-b.$
所以$|a|-|a-b|+|c-b|+|b-c|=-a-b+a+c-b+c-b=2c-3b.$
解析
【分析】
解题首先利用数轴的性质：数轴上右侧的数总大于左侧的数，先确定a、b、c的大小与正负关系；再根据绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数，判断每个绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号；最后将化简后的式子代入原式，去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据数轴上点的位置可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，
由此判断各代数式的正负：
$a - b ＜ 0$，$c - b ＞ 0$，$b - c ＜ 0$，
根据绝对值的性质化简各绝对值：
$|a|=-a$，$|a - b|=-(a - b)=b - a$，$|c - b|=c - b$，$|b - c|=-(b - c)=c - b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a| - |a - b| + |c - b| + |b - c|&=-a - (b - a) + (c - b) + (c - b)\\&=-a - b + a + c - b + c - b\\&=2c - 3b\end{aligned}$
【答案】
$2c-3b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是数形结合思想的典型考题，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，再正确应用绝对值性质去绝对值符号，最后通过整式加减运算得到结果，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先利用数轴的性质：数轴上右侧的数总大于左侧的数，先确定a、b、c的大小与正负关系；再根据绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数，判断每个绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号；最后将化简后的式子代入原式，去括号、合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据数轴上点的位置可得：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，
由此判断各代数式的正负：
$a - b ＜ 0$，$c - b ＞ 0$，$b - c ＜ 0$，
根据绝对值的性质化简各绝对值：
$|a|=-a$，$|a - b|=-(a - b)=b - a$，$|c - b|=c - b$，$|b - c|=-(b - c)=c - b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a| - |a - b| + |c - b| + |b - c|&=-a - (b - a) + (c - b) + (c - b)\\&=-a - b + a + c - b + c - b\\&=2c - 3b\end{aligned}$
【答案】
$2c-3b$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是数形结合思想的典型考题，解题核心是先通过数轴确定各数的大小关系，再正确应用绝对值性质去绝对值符号，最后通过整式加减运算得到结果，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
20. (6分)小王师傅是一名出租车司机.一天下午,他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客,并把每名乘客的行程记录如下：
$-2$,$+5$,$-1$,$+8$,$-3$,$-2$,$-4$,$+7$.
(注:向西记作“$-$”,向东记作“$+$”,单位是千米)
请同学们思考并回答下列问题:
(1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发,将最后一名乘客送到目的地时,他此时在出发地A处什么方向? 距A处多远?
(2)公司规定每趟车的起步价是10元,且每趟车3千米以内(含3千米)只收起步价;若超过3千米,除收起步价外,超过的每千米还需收2元钱,小王师傅接送8次乘客共收车费多少元?
$-2$,$+5$,$-1$,$+8$,$-3$,$-2$,$-4$,$+7$.
(注:向西记作“$-$”,向东记作“$+$”,单位是千米)
请同学们思考并回答下列问题:
(1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发,将最后一名乘客送到目的地时,他此时在出发地A处什么方向? 距A处多远?
(2)公司规定每趟车的起步价是10元,且每趟车3千米以内(含3千米)只收起步价;若超过3千米,除收起步价外,超过的每千米还需收2元钱,小王师傅接送8次乘客共收车费多少元?
答案
20. 解:(1)$-2+5+(-1)+8+(-3)+(-2)+(-4)+7=8＞0$，
故他此时在出发地A处东边,距A处8千米.
(2)只有$+5,+8,-4,+7$四次超过3千米，
分别超过:2千米,5千米,1千米,4千米，
则费用为$8×10+(2+5+1+4)×2$
$=80+12×2$
$=104$(元)，
故小王师傅接送8次乘客共收车费104元.
故他此时在出发地A处东边,距A处8千米.
(2)只有$+5,+8,-4,+7$四次超过3千米，
分别超过:2千米,5千米,1千米,4千米，
则费用为$8×10+(2+5+1+4)×2$
$=80+12×2$
$=104$(元)，
故小王师傅接送8次乘客共收车费104元.
解析
【分析】
(1) 要确定最终位置，利用正负数表示方向的意义，将8次行程的记录直接相加，若结果为正说明在出发地东边，结果为负说明在西边，结果的绝对值就是距离出发地的距离。
(2) 计算总车费需先明确收费规则：8次行程每次都先收10元起步价；再单独计算每次行程的绝对值，超过3千米的部分每千米加收2元，先统计所有超出3千米的总长度，乘2后加上起步价总和即可得到总车费。
【解析】
(1) 计算8次行程的和：
$\begin{aligned}&-2+5+(-1)+8+(-3)+(-2)+(-4)+7\\=&(-2-1-3-2-4)+(5+8+7)\\=&-12+20\\=&8(\mathrm{千米})\end{aligned}$
因为结果为正，且规定向东记作“$+$”，因此此时在出发地A处东边，距A处8千米。
(2) 先计算每次行程的绝对值：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+7|=7$。
其中超过3千米的行程共4次，超出长度分别为$5-3=2$千米，$8-3=5$千米，$4-3=1$千米，$7-3=4$千米。
总车费计算如下：
$\begin{aligned}&8×10+(2+5+1+4)×2\\=&80+12×2\\=&80+24\\=&104(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) 在出发地A处东边，距A处8千米；
(2) 接送8次乘客共收车费104元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了对正负数意义的理解和有理数运算能力，也考查了对分段计费规则的应用，解题时注意区分正负数表示方向的作用和计算行程长度时取绝对值的要求，避免混淆规则出错。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定最终位置，利用正负数表示方向的意义，将8次行程的记录直接相加，若结果为正说明在出发地东边，结果为负说明在西边，结果的绝对值就是距离出发地的距离。
(2) 计算总车费需先明确收费规则：8次行程每次都先收10元起步价；再单独计算每次行程的绝对值，超过3千米的部分每千米加收2元，先统计所有超出3千米的总长度，乘2后加上起步价总和即可得到总车费。
【解析】
(1) 计算8次行程的和：
$\begin{aligned}&-2+5+(-1)+8+(-3)+(-2)+(-4)+7\\=&(-2-1-3-2-4)+(5+8+7)\\=&-12+20\\=&8(\mathrm{千米})\end{aligned}$
因为结果为正，且规定向东记作“$+$”，因此此时在出发地A处东边，距A处8千米。
(2) 先计算每次行程的绝对值：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+7|=7$。
其中超过3千米的行程共4次，超出长度分别为$5-3=2$千米，$8-3=5$千米，$4-3=1$千米，$7-3=4$千米。
总车费计算如下：
$\begin{aligned}&8×10+(2+5+1+4)×2\\=&80+12×2\\=&80+24\\=&104(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) 在出发地A处东边，距A处8千米；
(2) 接送8次乘客共收车费104元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了对正负数意义的理解和有理数运算能力，也考查了对分段计费规则的应用，解题时注意区分正负数表示方向的作用和计算行程长度时取绝对值的要求，避免混淆规则出错。
【难度系数】
0.8
