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21. (8分)一名同学做一道题:“已知两个多项式$A,B$,计算$2A+B$.”他误将“$2A+B$”看成“$A+2B$”,求得的结果为$9x^2 -2x +7$.已知$B=x^2 +3x -2$,求该题正确的答案.
答案
21. 解:根据题意,得$A=(9x^2-2x+7)-2(x^2+3x-2)$
$=9x^2-2x+7-2x^2-6x+4$
$=(9-2)x^2-(2+6)x+4+7$
$=7x^2-8x+11$，
所以$2A+B=2(7x^2-8x+11)+(x^2+3x-2)$
$=14x^2-16x+22+x^2+3x-2$
$=15x^2-13x+20.$
$=9x^2-2x+7-2x^2-6x+4$
$=(9-2)x^2-(2+6)x+4+7$
$=7x^2-8x+11$，
所以$2A+B=2(7x^2-8x+11)+(x^2+3x-2)$
$=14x^2-16x+22+x^2+3x-2$
$=15x^2-13x+20.$
解析
【分析】
解题时首先要理清已知条件和待求目标：我们已知看错算式后得到的结果$A+2B=9x^2 -2x +7$，也知道$B$的表达式，所以第一步需要先通过这个错误的等式反推出多项式$A$，即$A = $错误结果$-2B$；求出$A$之后，再将$A$和$B$代入正确的算式$2A+B$，按照整式加减的运算规则，先去括号、再合并同类项，就能得到正确答案，计算时要注意去括号时的符号变化和系数分配，避免漏乘。
【解析】
解：根据题意，先求多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(9x^2-2x+7)-2(x^2+3x-2)\\&=9x^2-2x+7-2x^2-6x+4\\&=(9-2)x^2+(-2-6)x+(7+4)\\&=7x^2-8x+11\end{aligned}$
再代入正确算式$2A+B$计算：
$\begin{aligned}2A+B&=2(7x^2-8x+11)+(x^2+3x-2)\\&=14x^2-16x+22+x^2+3x-2\\&=(14+1)x^2+(-16+3)x+(22-2)\\&=15x^2-13x+20\end{aligned}$
【答案】
$15x^2-13x+20$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题关键是利用错误的运算关系反向推导得到未知多项式，再代入正确式子计算，解题过程中容易在去括号时出现符号错误、漏乘系数的问题，需要多加注意。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理清已知条件和待求目标：我们已知看错算式后得到的结果$A+2B=9x^2 -2x +7$，也知道$B$的表达式，所以第一步需要先通过这个错误的等式反推出多项式$A$，即$A = $错误结果$-2B$；求出$A$之后，再将$A$和$B$代入正确的算式$2A+B$，按照整式加减的运算规则，先去括号、再合并同类项，就能得到正确答案，计算时要注意去括号时的符号变化和系数分配，避免漏乘。
【解析】
解：根据题意，先求多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(9x^2-2x+7)-2(x^2+3x-2)\\&=9x^2-2x+7-2x^2-6x+4\\&=(9-2)x^2+(-2-6)x+(7+4)\\&=7x^2-8x+11\end{aligned}$
再代入正确算式$2A+B$计算：
$\begin{aligned}2A+B&=2(7x^2-8x+11)+(x^2+3x-2)\\&=14x^2-16x+22+x^2+3x-2\\&=(14+1)x^2+(-16+3)x+(22-2)\\&=15x^2-13x+20\end{aligned}$
【答案】
$15x^2-13x+20$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题关键是利用错误的运算关系反向推导得到未知多项式，再代入正确式子计算，解题过程中容易在去括号时出现符号错误、漏乘系数的问题，需要多加注意。
【难度系数】
0.7
22. 数学思想数形结合思想（8分）如图66-G-6所示，长为$y$，宽为$x$的大长方形被分割为7个小长方形，除小长方形A，B外，其余5个是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为4.
(1)小长方形的长为
(2)小长方形B的宽为
(3)试说明：小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与$y$的取值无关.
(1)小长方形的长为
$y-12$
（用含$y$的式子表示）；(2)小长方形B的宽为
$x-y+12$
（用含$x,y$的式子表示）；(3)试说明：小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与$y$的取值无关.
答案
22. 解:(1)$y-12$
(2)$x-y+12$
(3)小长方形A的周长为$2(y-12+x-8)=2(x+y-20)=2x+2y-40.$
小长方形B的周长为$2(12+x-y+12)=2(x-y+24)=2x-2y+48$，
所以小长方形A的周长与小长方形B的周长之和为$(2x+2y-40)+(2x-2y+48)=4x+8.$
所以小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与y的取值无关.
(2)$x-y+12$
(3)小长方形A的周长为$2(y-12+x-8)=2(x+y-20)=2x+2y-40.$
小长方形B的周长为$2(12+x-y+12)=2(x-y+24)=2x-2y+48$，
所以小长方形A的周长与小长方形B的周长之和为$(2x+2y-40)+(2x-2y+48)=4x+8.$
所以小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与y的取值无关.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 观察图形可知，右侧3个完全相同的小长方形的宽之和加上1个小长方形的长等于大长方形的长$y$，已知小长方形宽为4，3个宽的和为$3×4=12$，因此小长方形的长=大长方形的长-3个小长方形的宽，即可用含$y$的式子表示。
(2) 观察可知小长方形的长加上小长方形B的宽等于大长方形的宽$x$，因此B的宽=大长方形的宽$x$ - 小长方形的长，代入第(1)问的结果化简即可得到含$x、y$的式子。
(3) 要证明两个长方形周长和与$y$无关，首先分别找出A、B两个长方形的长和宽：A的长为小长方形的长，A的宽为$x$减去2个小长方形的宽；B的长为3个小长方形的宽之和，B的宽为第(2)问的结果。再根据长方形周长公式分别写出两个长方形的周长，相加后合并同类项，若化简结果不含$y$，则说明周长和与$y$的取值无关。
【解析】
(1) 3个完全相同的小长方形的宽之和为$3×4=12$，大长方形的长为$y$，因此小长方形的长为$y-12$。
(2) 大长方形的宽为$x$，小长方形的长为$y-12$，因此小长方形B的宽为$x-(y-12)=x-y+12$。
(3) 小长方形A的长为$y-12$，宽为$x-2×4=x-8$，根据长方形周长公式，A的周长为：
$2[(y-12)+(x-8)]=2(x+y-20)=2x+2y-40$
小长方形B的长为$3×4=12$，宽为$x-y+12$，因此B的周长为：
$2[12+(x-y+12)]=2(x-y+24)=2x-2y+48$
两个长方形的周长之和为：
$(2x+2y-40)+(2x-2y+48)=4x+8$
化简后结果不含$y$，因此小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与$y$的取值无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y-12}$
(2) $\boldsymbol{x-y+12}$
(3) 小长方形A和B的周长之和化简后为$4x+8$，不含$y$，因此和$y$的取值无关。
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形周长计算
【点评】
本题结合数形结合思想，要求学生从图形中提取各边的数量关系，核心考查整式加减的化简应用，掌握“判断代数式与某变量无关只需化简后确认该变量的系数为0”这一技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1) 观察图形可知，右侧3个完全相同的小长方形的宽之和加上1个小长方形的长等于大长方形的长$y$，已知小长方形宽为4，3个宽的和为$3×4=12$，因此小长方形的长=大长方形的长-3个小长方形的宽，即可用含$y$的式子表示。
(2) 观察可知小长方形的长加上小长方形B的宽等于大长方形的宽$x$，因此B的宽=大长方形的宽$x$ - 小长方形的长，代入第(1)问的结果化简即可得到含$x、y$的式子。
(3) 要证明两个长方形周长和与$y$无关，首先分别找出A、B两个长方形的长和宽：A的长为小长方形的长，A的宽为$x$减去2个小长方形的宽；B的长为3个小长方形的宽之和，B的宽为第(2)问的结果。再根据长方形周长公式分别写出两个长方形的周长，相加后合并同类项，若化简结果不含$y$，则说明周长和与$y$的取值无关。
【解析】
(1) 3个完全相同的小长方形的宽之和为$3×4=12$，大长方形的长为$y$，因此小长方形的长为$y-12$。
(2) 大长方形的宽为$x$，小长方形的长为$y-12$，因此小长方形B的宽为$x-(y-12)=x-y+12$。
(3) 小长方形A的长为$y-12$，宽为$x-2×4=x-8$，根据长方形周长公式，A的周长为：
$2[(y-12)+(x-8)]=2(x+y-20)=2x+2y-40$
小长方形B的长为$3×4=12$，宽为$x-y+12$，因此B的周长为：
$2[12+(x-y+12)]=2(x-y+24)=2x-2y+48$
两个长方形的周长之和为：
$(2x+2y-40)+(2x-2y+48)=4x+8$
化简后结果不含$y$，因此小长方形A的周长与小长方形B的周长之和与$y$的取值无关。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y-12}$
(2) $\boldsymbol{x-y+12}$
(3) 小长方形A和B的周长之和化简后为$4x+8$，不含$y$，因此和$y$的取值无关。
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形周长计算
【点评】
本题结合数形结合思想，要求学生从图形中提取各边的数量关系，核心考查整式加减的化简应用，掌握“判断代数式与某变量无关只需化简后确认该变量的系数为0”这一技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
