9.【阅读材料】我们把宽与长的比是黄金比的矩形叫作黄金矩形。黄金矩形给人以协调、匀称的美感，许多建筑都采用了黄金矩形的设计。
【动手操作】综合实践课上，爱好折纸的小新给大家展示折黄金矩形的方法。
第一步:如图①,在矩形纸片的一端折出一个正方形,然后把纸片展平。
第二步:如图②,把这个正方形折成两个全等的矩形,再把纸片展平。
第三步:如图③,把内侧矩形的对角线AB折到AD处,折痕为AP。
第四步:如图④,展平纸片,折出矩形BCDE,则矩形BCDE就是黄金矩形。

通过以上折纸过程,同学们进行了思考和探究,并提出以下问题,请解答:
(1) 如图③,求证:四边形ABPD为菱形。
(2) 按照以上四个步骤折叠得到的矩形BCDE是黄金矩形,请说明理由。

(1) 由题意可得$BP// AD$,所以$∠ BPA=∠ DAP$。由折叠的性质得$AB=AD$,$∠ BAP=∠ DAP$,所以$∠ BPA=∠ BAP$,所以$AB=BP$,所以$AD=BP$。由$AD=BP$,$AD// BP$,$AB=AD$,可证四边形ABPD为菱形。
(2) 如图,设$MN=2a$,由折叠的性质得$MN=MB=BC=2a$,$NA=AC=a$,所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}a$,所以$AD=AB=\sqrt{5}a$,$CD=AD-AC=(\sqrt{5}-1)a$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以矩形BCDE是黄金矩形。

【分析】
(1) 要证明四边形ABPD为菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先根据矩形对边平行的性质可得$BP// AD$，结合折叠的性质得到角相等，推导得出$AB=BP$，结合折叠得到的$AB=AD$，可得$AD$与$BP$平行且相等，先证平行四边形，再结合邻边相等的条件即可判定为菱形。
(2) 要证明矩形BCDE是黄金矩形，需验证其宽与长的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。可设正方形边长为$2a$，根据折叠性质得到各相关边的长度，用勾股定理求出$AB$（即$AD$）的长度，进而求出$CD$的长度，计算$CD$与$BC$的比值，验证其为黄金比即可。
【解析】
(1) 由题意可知矩形纸片上下边平行，因此$BP// AD$，根据平行线内错角相等可得$∠BPA=∠DAP$。
根据折叠的性质：$AB=AD$，$∠BAP=∠DAP$，因此$∠BPA=∠BAP$，由等角对等边得$AB=BP$，故$AD=BP$。
因为$AD// BP$且$AD=BP$，所以四边形ABPD是平行四边形，又因为$AB=AD$，因此平行四边形ABPD为菱形。
(2) 设正方形的边长$MN=2a$，由折叠的性质可得：$MN=MB=BC=2a$，$NA=AC=a$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$。
由折叠性质得$AD=AB=\sqrt{5}a$，因此$CD=AD-AC=\sqrt{5}a-a=(\sqrt{5}-1)a$。
所以矩形BCDE的宽与长的比为$\frac{CD}{BC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，因此矩形BCDE是黄金矩形。
【答案】
(1) 由题意可得$BP// AD$,所以$∠ BPA=∠ DAP$。由折叠的性质得$AB=AD$,$∠ BAP=∠ DAP$,所以$∠ BPA=∠ BAP$,所以$AB=BP$,所以$AD=BP$。由$AD=BP$,$AD// BP$,$AB=AD$,可证四边形ABPD为菱形。
(2) 如图,设$MN=2a$,由折叠的性质得$MN=MB=BC=2a$,$NA=AC=a$,所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5}a$,所以$AD=AB=\sqrt{5}a$,$CD=AD-AC=(\sqrt{5}-1)a$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以矩形BCDE是黄金矩形。
【知识点】
折叠的性质；菱形的判定；黄金矩形的定义
【点评】
本题以折纸操作为背景，将几何判定与计算融入实践场景，既考查了从实际操作中提取几何条件的能力，又要求熟练掌握菱形判定、勾股定理、黄金比的相关知识，综合性较强，能锻炼将实践问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.65