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1. (1) 如图①，若$△ ABC ∽ △ DEF$，则$∠ C=$
(2) 如图②，AB与CD相交于点O。若$△ AOC ∽ △ BOD$，则它们的相似比为
50
度，$∠ E=$60
度。(2) 如图②，AB与CD相交于点O。若$△ AOC ∽ △ BOD$，则它们的相似比为
$\frac{1}{2}$
，$AC=$40
，$OB=$50
。答案
1. (1) 50;60 (2) $\frac{1}{2}$;40;50
解析
【分析】
(1) 先利用三角形内角和为180°分别计算两个三角形的未知内角，再结合相似三角形对应角相等的性质，即可得到对应角的度数。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，先确定对应边求出相似比，再利用相似比分别求解AC和OB的长度即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，已知$∠ A=70°$，$∠ B=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-60°=50°$。
在$△ DEF$中，已知$∠ D=70°$，$∠ F=50°$，同理可得：
$∠ E=180°-∠ D-∠ F=180°-70°-50°=60°$。
结合$△ ABC ∽ △ DEF$，对应角相等，验证结果正确。
(2) 已知$△ AOC ∽ △ BOD$，相似比为$△ AOC$与$△ BOD$对应边的比值：
对应边$OC$与$OD$的比值即为相似比，已知$OC=20$，$OD=40$，因此相似比$k=\frac{OC}{OD}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形对应边成比例：
① $\frac{AC}{BD}=k$，已知$BD=80$，则$AC=BD× k=80×\frac{1}{2}=40$；
② $\frac{AO}{OB}=k$，已知$AO=25$，则$OB=AO÷ k=25÷\frac{1}{2}=50$。
【答案】
(1) $50$；$60$ (2) $\frac{1}{2}$；$40$；$50$
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，解题核心是找准相似三角形的对应角和对应边，结合内角和定理与相似的性质代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
(1) 先利用三角形内角和为180°分别计算两个三角形的未知内角，再结合相似三角形对应角相等的性质，即可得到对应角的度数。
(2) 已知两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，先确定对应边求出相似比，再利用相似比分别求解AC和OB的长度即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，已知$∠ A=70°$，$∠ B=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-70°-60°=50°$。
在$△ DEF$中，已知$∠ D=70°$，$∠ F=50°$，同理可得：
$∠ E=180°-∠ D-∠ F=180°-70°-50°=60°$。
结合$△ ABC ∽ △ DEF$，对应角相等，验证结果正确。
(2) 已知$△ AOC ∽ △ BOD$，相似比为$△ AOC$与$△ BOD$对应边的比值：
对应边$OC$与$OD$的比值即为相似比，已知$OC=20$，$OD=40$，因此相似比$k=\frac{OC}{OD}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形对应边成比例：
① $\frac{AC}{BD}=k$，已知$BD=80$，则$AC=BD× k=80×\frac{1}{2}=40$；
② $\frac{AO}{OB}=k$，已知$AO=25$，则$OB=AO÷ k=25÷\frac{1}{2}=50$。
【答案】
(1) $50$；$60$ (2) $\frac{1}{2}$；$40$；$50$
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，解题核心是找准相似三角形的对应角和对应边，结合内角和定理与相似的性质代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
2. 已知$△ ABC$的各边之比为$2:3:4$，与其相似的$△ DEF$的最长边为12 cm，则$△ DEF$的最短边长是
6
cm。答案
2. 6
解析
【分析】
本题可根据相似三角形的性质求解：首先，相似三角形的对应边成比例，因此与△ABC相似的△DEF的三边之比也为2:3:4；其次，找到△DEF最长边对应的比例份数，结合已知最长边的长度求出每份的长度，最后乘最短边对应的份数即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，△ABC的各边之比为2:3:4
∴△DEF的三边之比也为2:3:4
设△DEF的三边长分别为2x cm，3x cm，4x cm，其中最长边为4x cm
由题意得：4x = 12
解得：x = 3
则△DEF的最短边长为2x = 2×3 = 6 cm
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质、比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的核心是抓住相似三角形对应边成比例的特征，通过设份数的方式将比例关系转化为方程求解，思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.85
本题可根据相似三角形的性质求解：首先，相似三角形的对应边成比例，因此与△ABC相似的△DEF的三边之比也为2:3:4；其次，找到△DEF最长边对应的比例份数，结合已知最长边的长度求出每份的长度，最后乘最短边对应的份数即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，△ABC的各边之比为2:3:4
∴△DEF的三边之比也为2:3:4
设△DEF的三边长分别为2x cm，3x cm，4x cm，其中最长边为4x cm
由题意得：4x = 12
解得：x = 3
则△DEF的最短边长为2x = 2×3 = 6 cm
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质、比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的核心是抓住相似三角形对应边成比例的特征，通过设份数的方式将比例关系转化为方程求解，思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.85
3. 如图，已知$△ ABC ∽ △ ADE$。
（1）写出对应边成比例的比例式。
（2）说明$∠ BAD = ∠ CAE$。
（1）写出对应边成比例的比例式。
（2）说明$∠ BAD = ∠ CAE$。
答案
3. (1) $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
(2) 因为$△ ABC∽△ ADE$,所以$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAD=∠ CAE$。
(2) 因为$△ ABC∽△ ADE$,所以$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAD=∠ CAE$。
解析
【分析】
（1）解第一问首先要明确相似三角形的对应顶点，由△ABC∽△ADE可知对应顶点为A对应A、B对应D、C对应E，再结合相似三角形对应边成比例的性质即可写出比例式。
（2）解第二问先利用相似三角形对应角相等的性质得到∠BAC=∠DAE，观察两个角的组成可发现二者都包含公共角∠DAC，对等式两边同时减去这个公共角，即可推导出∠BAD=∠CAE。
【解析】
（1）已知△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应边成比例的性质，对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE，因此比例式为：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
（2）证明：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE（相似三角形对应角相等），
等式两边同时减去公共角∠DAC，可得：
∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD=∠CAE。
【答案】
(1) $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
(2) 因为$△ ABC∽△ ADE$,所以$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAD=∠ CAE$
【知识点】
相似三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应关系，第二问通过角的等量转化即可得出结论，是巩固相似三角形基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
（1）解第一问首先要明确相似三角形的对应顶点，由△ABC∽△ADE可知对应顶点为A对应A、B对应D、C对应E，再结合相似三角形对应边成比例的性质即可写出比例式。
（2）解第二问先利用相似三角形对应角相等的性质得到∠BAC=∠DAE，观察两个角的组成可发现二者都包含公共角∠DAC，对等式两边同时减去这个公共角，即可推导出∠BAD=∠CAE。
【解析】
（1）已知△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应边成比例的性质，对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE，因此比例式为：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
（2）证明：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE（相似三角形对应角相等），
等式两边同时减去公共角∠DAC，可得：
∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即∠BAD=∠CAE。
【答案】
(1) $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
(2) 因为$△ ABC∽△ ADE$,所以$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAD=∠ CAE$
【知识点】
相似三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应关系，第二问通过角的等量转化即可得出结论，是巩固相似三角形基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，D，E分别是$△ ABC$中AB，AC上的点。已知$△ ADE ∽ △ ABC$，$AD=\frac{1}{3}BD$，$DE=2\ \mathrm{cm}$。求BC的长。
答案
4. $BC=8\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题已知两个三角形相似，要求对应边BC的长度，解题思路如下：首先根据AD和BD的数量关系，求出AD与AB的比值，即两个相似三角形的相似比；再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$AD=\frac{1}{3}BD$，
∴$BD=3AD$，
∴$AB=AD+BD=AD+3AD=4AD$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$。
∵$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
将$DE=2\ \mathrm{cm}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$代入上式：
$\frac{2}{BC}=\frac{1}{4}$，
解得$BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先根据已知线段关系求出相似比，再利用相似三角形对应边成比例列等式求解，计算难度较低，掌握相似三角形的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题已知两个三角形相似，要求对应边BC的长度，解题思路如下：首先根据AD和BD的数量关系，求出AD与AB的比值，即两个相似三角形的相似比；再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵$AD=\frac{1}{3}BD$，
∴$BD=3AD$，
∴$AB=AD+BD=AD+3AD=4AD$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$。
∵$△ ADE ∽ △ ABC$，
∴根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
将$DE=2\ \mathrm{cm}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$代入上式：
$\frac{2}{BC}=\frac{1}{4}$，
解得$BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先根据已知线段关系求出相似比，再利用相似三角形对应边成比例列等式求解，计算难度较低，掌握相似三角形的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
