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5. 如图，已知$△ ABC ∽ △ ADE$。
（1）若$∠ A=70°$，$∠ B=40°$，求$∠ AED$的度数。
（2）若$AE=5$，$AC=9$，$DE=6$，求$BC$的长。
（1）若$∠ A=70°$，$∠ B=40°$，求$∠ AED$的度数。
（2）若$AE=5$，$AC=9$，$DE=6$，求$BC$的长。
答案
5. (1) $∠ AED=70°$ (2) $BC=\frac{54}{5}$
解析
【分析】
（1）解决第一问时，首先回忆相似三角形对应角相等的性质，明确∠AED的对应角是△ABC中的∠C，先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，即可得到∠AED的度数；（2）解决第二问时，依据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，代入已知边长列方程求解即可得到BC的长度。
【解析】
（1）在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°$
∵$△ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形对应角相等
∴$∠ AED = ∠ C = 70°$
（2）
∵$△ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形对应边成比例
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$
将$AE=5$，$AC=9$，$DE=6$代入上式得：
$\frac{5}{9} = \frac{6}{BC}$
交叉相乘得：$5BC = 54$
解得：$BC = \frac{54}{5}$
【答案】
（1）$∠ AED=70°$；（2）$BC=\frac{54}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，比例的运算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，重点考查相似三角形对应角相等、对应边成比例性质的应用，解题的关键是根据相似三角形的顶点顺序准确找到对应角和对应边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问时，首先回忆相似三角形对应角相等的性质，明确∠AED的对应角是△ABC中的∠C，先利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，即可得到∠AED的度数；（2）解决第二问时，依据相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，代入已知边长列方程求解即可得到BC的长度。
【解析】
（1）在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°$
∵$△ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形对应角相等
∴$∠ AED = ∠ C = 70°$
（2）
∵$△ ABC ∽ △ ADE$，相似三角形对应边成比例
∴$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$
将$AE=5$，$AC=9$，$DE=6$代入上式得：
$\frac{5}{9} = \frac{6}{BC}$
交叉相乘得：$5BC = 54$
解得：$BC = \frac{54}{5}$
【答案】
（1）$∠ AED=70°$；（2）$BC=\frac{54}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，比例的运算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，重点考查相似三角形对应角相等、对应边成比例性质的应用，解题的关键是根据相似三角形的顶点顺序准确找到对应角和对应边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
6.（多选题）如图，已知$△ ABC ∽ △ ACD$，若$AB=BC$，则下列结论正确的是（
A.$∠ ABC=∠ ACD$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$
C.$AD=AC$
D.$AC^2=AD· AB$
ABD
）。A.$∠ ABC=∠ ACD$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$
C.$AD=AC$
D.$AC^2=AD· AB$
答案
6. ABD
解析
【分析】
解题时首先根据已知的相似三角形确定对应顶点、对应角和对应边，结合相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，逐一验证每个选项：①先看角的对应关系判断A选项；②再根据对应边的比例式判断B、D选项；③结合已知AB=BC的条件判断是否能推出AD=AC，验证C选项。要注意相似三角形对应关系不要找错，公共角∠A是对应角，剩下的对应顶点为B对应C、C对应D。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ACD$，根据相似三角形的性质分析：
1. 对应角相等：$∠ A=∠ A$，$∠ ABC=∠ ACD$，$∠ ACB=∠ ADC$，因此A选项正确；
2. 对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$：
由$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$可直接得到$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，因此B选项正确；
由$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$AC^2=AD·AB$，因此D选项正确；
3. 题干仅给出$AB=BC$，没有条件可推出$∠ ACD=∠ ADC$，因此无法得到$AD=AC$，C选项错误。
综上，正确选项为ABD。
【答案】ABD
【知识点】相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】本题考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是准确找准相似三角形的对应角和对应边，做多选题时要逐一验证每个选项，避免因对应关系判断错误失分。
【难度系数】0.7
解题时首先根据已知的相似三角形确定对应顶点、对应角和对应边，结合相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，逐一验证每个选项：①先看角的对应关系判断A选项；②再根据对应边的比例式判断B、D选项；③结合已知AB=BC的条件判断是否能推出AD=AC，验证C选项。要注意相似三角形对应关系不要找错，公共角∠A是对应角，剩下的对应顶点为B对应C、C对应D。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ACD$，根据相似三角形的性质分析：
1. 对应角相等：$∠ A=∠ A$，$∠ ABC=∠ ACD$，$∠ ACB=∠ ADC$，因此A选项正确；
2. 对应边成比例：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$：
由$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$可直接得到$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，因此B选项正确；
由$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$AC^2=AD·AB$，因此D选项正确；
3. 题干仅给出$AB=BC$，没有条件可推出$∠ ACD=∠ ADC$，因此无法得到$AD=AC$，C选项错误。
综上，正确选项为ABD。
【答案】ABD
【知识点】相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】本题考查相似三角形性质的基础应用，解题的核心是准确找准相似三角形的对应角和对应边，做多选题时要逐一验证每个选项，避免因对应关系判断错误失分。
【难度系数】0.7
7. 已知:如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=Rt∠$,$∠ A=30°$,$CD⊥ AB$于点D。求证:$△ ADC∽△ CDB$。
答案
7. 根据相似三角形的定义判定。
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，可先从相似三角形的定义入手，即需证明两个三角形的对应角相等、对应边成比例。首先观察△ADC和△CDB，二者均为直角三角形，可先利用直角三角形两锐角互余的性质计算各内角度数，验证对应角相等；再结合含30°角的直角三角形的边长关系，推导对应边的比值相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 证明对应角相等：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，
∴ $∠B=90°-∠A=60°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ADC=∠CDB=90°$。
在$Rt△ADC$中，$∠ACD=90°-∠A=60°$；
在$Rt△CDB$中，$∠BCD=90°-∠B=30°$。
∴ $∠A=∠BCD=30°$，$∠ACD=∠B=60°$，$∠ADC=∠CDB=90°$，两三角形对应角相等。
2. 证明对应边成比例：
设$BD=x$，在$Rt△CDB$中，$∠BCD=30°$，则$BC=2BD=2x$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
在$Rt△ABC$中，$∠A=30°$，则$AB=2BC=4x$，
∴ $AD=AB-BD=4x-x=3x$，
同理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4x)^2-(2x)^2}=2\sqrt{3}x$。
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{3x}{\sqrt{3}x}=\sqrt{3}$，$\frac{CD}{DB}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$，$\frac{AC}{CB}=\frac{2\sqrt{3}x}{2x}=\sqrt{3}$，即两三角形对应边成比例。
根据相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似，可得$△ADC∽△CDB$。
【答案】
已证得$△ADC∽△CDB$。
【知识点】
相似三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的基础证明题，解题核心是熟练运用直角三角形的角度和边长性质，分别验证对应角相等、对应边成比例，符合相似三角形的定义即可完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明两个三角形相似，可先从相似三角形的定义入手，即需证明两个三角形的对应角相等、对应边成比例。首先观察△ADC和△CDB，二者均为直角三角形，可先利用直角三角形两锐角互余的性质计算各内角度数，验证对应角相等；再结合含30°角的直角三角形的边长关系，推导对应边的比值相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 证明对应角相等：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，
∴ $∠B=90°-∠A=60°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ADC=∠CDB=90°$。
在$Rt△ADC$中，$∠ACD=90°-∠A=60°$；
在$Rt△CDB$中，$∠BCD=90°-∠B=30°$。
∴ $∠A=∠BCD=30°$，$∠ACD=∠B=60°$，$∠ADC=∠CDB=90°$，两三角形对应角相等。
2. 证明对应边成比例：
设$BD=x$，在$Rt△CDB$中，$∠BCD=30°$，则$BC=2BD=2x$，
由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$。
在$Rt△ABC$中，$∠A=30°$，则$AB=2BC=4x$，
∴ $AD=AB-BD=4x-x=3x$，
同理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4x)^2-(2x)^2}=2\sqrt{3}x$。
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{3x}{\sqrt{3}x}=\sqrt{3}$，$\frac{CD}{DB}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$，$\frac{AC}{CB}=\frac{2\sqrt{3}x}{2x}=\sqrt{3}$，即两三角形对应边成比例。
根据相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似，可得$△ADC∽△CDB$。
【答案】
已证得$△ADC∽△CDB$。
【知识点】
相似三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的基础证明题，解题核心是熟练运用直角三角形的角度和边长性质，分别验证对应角相等、对应边成比例，符合相似三角形的定义即可完成证明。
【难度系数】
0.8
