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8. 如图,在四边形ABCD中,E为BC边上一点,连结DE,F为线段DE上一点,使得$△ ADF ∽ △ DEC$,且$∠ AFE=∠ B$。
（1）求证:四边形ABCD是平行四边形。
（2）若$BC=\frac{20}{3},CE=6,EF=3$,求DF的长。
（1）求证:四边形ABCD是平行四边形。
（2）若$BC=\frac{20}{3},CE=6,EF=3$,求DF的长。
答案
8. (1) 因为$△ ADF∽△ DEC$,所以$∠ ADF=∠ DEC$,$∠ AFD=∠ C$,所以$AD// BC$。
因为$∠ AFE=∠ B$,所以$∠ B+∠ C=∠ AFE+∠ AFD=180°$,所以$AB// CD$,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD=BC=\frac{20}{3}$。因为$△ ADF∽△ DEC$,所以$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{CE}$,即$\frac{\frac{20}{3}}{3+DF}=\frac{DF}{6}$,解得$DF=5$或$DF=-8$(舍去)。所以DF的长是5。
因为$∠ AFE=∠ B$,所以$∠ B+∠ C=∠ AFE+∠ AFD=180°$,所以$AB// CD$,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD=BC=\frac{20}{3}$。因为$△ ADF∽△ DEC$,所以$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{CE}$,即$\frac{\frac{20}{3}}{3+DF}=\frac{DF}{6}$,解得$DF=5$或$DF=-8$(舍去)。所以DF的长是5。
解析
【分析】
（1）要证明四边形ABCD是平行四边形，需证两组对边分别平行。首先利用△ADF∽△DEC的性质得对应角相等，推导AD//BC；再结合∠AFE=∠B的条件，通过邻补角关系推导AB//CD，即可得证。
（2）先由平行四边形对边相等得到AD的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，设DF为未知数，结合DE=DF+EF列比例方程，求解后舍去不符合线段长度为正的负解即可。
【解析】
（1）证明：
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$∠ADF=∠DEC$，$∠AFD=∠C$
由$∠ADF=∠DEC$，可得$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
∵$∠AFE+∠AFD=180°$，且已知$∠AFE=∠B$
∴$∠B+∠C=∠AFE+∠AFD=180°$
∴$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）
∵$AD// BC$，$AB// CD$
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AD=BC=\frac{20}{3}$
设$DF=x$，则$DE=DF+EF=x+3$
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{CE}$
代入数据得：$\frac{\frac{20}{3}}{x+3}=\frac{x}{6}$
交叉乘化简得：$x^2+3x-40=0$
解得$x=5$或$x=-8$，线段长度为正，舍去$x=-8$
∴$DF=5$
【答案】
（1）四边形ABCD是平行四边形，证明成立；（2）$\boxed{5}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 平行线的判定
【点评】
本题综合考查相似三角形与平行四边形的相关知识，解题核心是灵活运用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，推导平行线关系或列方程求解，注意求解线段长度时要舍去负的不合理解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形ABCD是平行四边形，需证两组对边分别平行。首先利用△ADF∽△DEC的性质得对应角相等，推导AD//BC；再结合∠AFE=∠B的条件，通过邻补角关系推导AB//CD，即可得证。
（2）先由平行四边形对边相等得到AD的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，设DF为未知数，结合DE=DF+EF列比例方程，求解后舍去不符合线段长度为正的负解即可。
【解析】
（1）证明：
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$∠ADF=∠DEC$，$∠AFD=∠C$
由$∠ADF=∠DEC$，可得$AD// BC$（内错角相等，两直线平行）
∵$∠AFE+∠AFD=180°$，且已知$∠AFE=∠B$
∴$∠B+∠C=∠AFE+∠AFD=180°$
∴$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）
∵$AD// BC$，$AB// CD$
∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴$AD=BC=\frac{20}{3}$
设$DF=x$，则$DE=DF+EF=x+3$
∵$△ ADF ∽ △ DEC$
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DF}{CE}$
代入数据得：$\frac{\frac{20}{3}}{x+3}=\frac{x}{6}$
交叉乘化简得：$x^2+3x-40=0$
解得$x=5$或$x=-8$，线段长度为正，舍去$x=-8$
∴$DF=5$
【答案】
（1）四边形ABCD是平行四边形，证明成立；（2）$\boxed{5}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 平行线的判定
【点评】
本题综合考查相似三角形与平行四边形的相关知识，解题核心是灵活运用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，推导平行线关系或列方程求解，注意求解线段长度时要舍去负的不合理解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点。
（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长。
（2）设AD=a，BC=b，AB=m，当△ADP∽△BPC时，a，b，m满足什么关系？说明理由。
（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长。
（2）设AD=a，BC=b，AB=m，当△ADP∽△BPC时，a，b，m满足什么关系？说明理由。
答案
9. (1) 设$AP=x$。
①当$△ DAP∽△ PBC$时,$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$,即$\frac{2}{8-x}=\frac{x}{6}$,解得$x=2$或6。
②当$△ DAP∽△ CBP$时,$\frac{AD}{BC}=\frac{PA}{PB}$,即$\frac{2}{6}=\frac{x}{8-x}$,解得$x=2$。
所以AP的长为2或6。
(2) 设$PA=y$。因为$△ ADP∽△ BPC$,所以$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$,所以$\frac{a}{m-y}=\frac{y}{b}$,整理,得$y^2-my+ab=0$。由题意知该方程有实数根,所以$(-m)^2-4ab≥0$,即$m^2-4ab≥0$。所以当a,b,m满足$m^2-4ab≥0$时,一定存在点P使$△ ADP∽△ BPC$。
①当$△ DAP∽△ PBC$时,$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$,即$\frac{2}{8-x}=\frac{x}{6}$,解得$x=2$或6。
②当$△ DAP∽△ CBP$时,$\frac{AD}{BC}=\frac{PA}{PB}$,即$\frac{2}{6}=\frac{x}{8-x}$,解得$x=2$。
所以AP的长为2或6。
(2) 设$PA=y$。因为$△ ADP∽△ BPC$,所以$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$,所以$\frac{a}{m-y}=\frac{y}{b}$,整理,得$y^2-my+ab=0$。由题意知该方程有实数根,所以$(-m)^2-4ab≥0$,即$m^2-4ab≥0$。所以当a,b,m满足$m^2-4ab≥0$时,一定存在点P使$△ ADP∽△ BPC$。
解析
【分析】
本题是相似三角形的动点问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：两个三角形均为直角三角形，题中未明确相似的对应顶点，因此需分两种情况讨论。先设AP的长度为x，用含x的式子表示出PB的长度，再根据不同相似情况的对应边成比例列方程，求解后检验解是否符合线段长度范围即可。
2. 第(2)问：题中已给出明确的相似对应关系，先设PA=y，用含y的式子表示PB，再根据相似三角形对应边成比例列等式，整理得到关于y的一元二次方程。由于存在点P满足条件，说明该方程有实数根，因此利用一元二次方程根的判别式≥0即可推导出a、b、m的关系。
【解析】
(1) 设$AP=x$，则$PB=AB-AP=8-x$，分两种情况讨论：
① 当$△DAP∽△PBC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$，
代入数值得$\frac{2}{8-x}=\frac{x}{6}$，整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，均符合线段长度要求；
② 当$△DAP∽△CBP$时，对应边成比例：$\frac{AD}{BC}=\frac{PA}{PB}$，
代入数值得$\frac{2}{6}=\frac{x}{8-x}$，解得$x=2$，符合要求。
(2) 设$PA=y$，则$PB=m-y$，
已知$△ADP∽△BPC$，根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$，
代入得$\frac{a}{m-y}=\frac{y}{b}$，整理得$y^2 - my + ab = 0$。
由于存在点P满足条件，说明该关于y的一元二次方程有实数根，
因此判别式$\Delta = (-m)^2 - 4ab ≥ 0$，即$m^2 ≥ 4ab$。
【答案】
(1) $AP$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$；
(2) $a,b,m$满足$\boldsymbol{m^2≥4ab}$时，一定存在点$P$使$△ADP∽△BPC$。
【知识点】
相似三角形的性质；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与方程结合的典型动点问题，解题的关键是明确相似三角形的对应关系，未给出对应顶点时要全面分类避免漏解，第二问将点的存在性问题转化为方程根的存在性问题，体现了数形结合的思想，能较好地考查综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
本题是相似三角形的动点问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：两个三角形均为直角三角形，题中未明确相似的对应顶点，因此需分两种情况讨论。先设AP的长度为x，用含x的式子表示出PB的长度，再根据不同相似情况的对应边成比例列方程，求解后检验解是否符合线段长度范围即可。
2. 第(2)问：题中已给出明确的相似对应关系，先设PA=y，用含y的式子表示PB，再根据相似三角形对应边成比例列等式，整理得到关于y的一元二次方程。由于存在点P满足条件，说明该方程有实数根，因此利用一元二次方程根的判别式≥0即可推导出a、b、m的关系。
【解析】
(1) 设$AP=x$，则$PB=AB-AP=8-x$，分两种情况讨论：
① 当$△DAP∽△PBC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$，
代入数值得$\frac{2}{8-x}=\frac{x}{6}$，整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，均符合线段长度要求；
② 当$△DAP∽△CBP$时，对应边成比例：$\frac{AD}{BC}=\frac{PA}{PB}$，
代入数值得$\frac{2}{6}=\frac{x}{8-x}$，解得$x=2$，符合要求。
(2) 设$PA=y$，则$PB=m-y$，
已知$△ADP∽△BPC$，根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AD}{PB}=\frac{PA}{BC}$，
代入得$\frac{a}{m-y}=\frac{y}{b}$，整理得$y^2 - my + ab = 0$。
由于存在点P满足条件，说明该关于y的一元二次方程有实数根，
因此判别式$\Delta = (-m)^2 - 4ab ≥ 0$，即$m^2 ≥ 4ab$。
【答案】
(1) $AP$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$；
(2) $a,b,m$满足$\boldsymbol{m^2≥4ab}$时，一定存在点$P$使$△ADP∽△BPC$。
【知识点】
相似三角形的性质；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与方程结合的典型动点问题，解题的关键是明确相似三角形的对应关系，未给出对应顶点时要全面分类避免漏解，第二问将点的存在性问题转化为方程根的存在性问题，体现了数形结合的思想，能较好地考查综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
