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定理：三边
成比例
的两个三角形相似。答案
成比例
解析
【分析】
本题为概念识记类题目，核心考查三角形相似的判定定理。解题时可先回忆所学的三角形相似判定的三类条件：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，对应题目中“三边”的限定条件，即可直接对应到相应的定理内容完成填空。
【解析】
根据三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此横线处应填入“成比例”。
【答案】
成比例
【知识点】
三角形相似的判定定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对核心定理的记忆与掌握程度，是相似三角形模块的常规基础题型，熟练掌握课本基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题为概念识记类题目，核心考查三角形相似的判定定理。解题时可先回忆所学的三角形相似判定的三类条件：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，对应题目中“三边”的限定条件，即可直接对应到相应的定理内容完成填空。
【解析】
根据三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此横线处应填入“成比例”。
【答案】
成比例
【知识点】
三角形相似的判定定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对核心定理的记忆与掌握程度，是相似三角形模块的常规基础题型，熟练掌握课本基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
1. 下列条件能使$△ ABC$与$△ DEF$相似的是（
A.$AB=6, BC=6, AC=9$；
$DE=4, EF=4, DF=6$
B.$AB=4, BC=6, AC=8$；
$DE=5, EF=10, DF=15$
C.$AB=1, BC=\sqrt{2}, AC=2$；
$DE=\sqrt{6}, EF=\sqrt{3}, DF=\sqrt{5}$
D.$AB=1, BC=\sqrt{5}, AC=3$；
$DE=\sqrt{15}, EF=2\sqrt{3}, DF=\sqrt{6}$
A
）。A.$AB=6, BC=6, AC=9$；
$DE=4, EF=4, DF=6$
B.$AB=4, BC=6, AC=8$；
$DE=5, EF=10, DF=15$
C.$AB=1, BC=\sqrt{2}, AC=2$；
$DE=\sqrt{6}, EF=\sqrt{3}, DF=\sqrt{5}$
D.$AB=1, BC=\sqrt{5}, AC=3$；
$DE=\sqrt{15}, EF=2\sqrt{3}, DF=\sqrt{6}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查利用三边对应成比例判定三角形相似，解题思路如下：①先将每个选项中两个三角形的三条边分别按从小到大（或从大到小）的顺序排列，确定对应边；②分别计算三组对应边的比值；③若三组比值都相等，则两个三角形相似，否则不相似，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，对每个选项逐一分析：
A选项：将△ABC的边从小到大排序为：6，6，9；将△DEF的边从小到大排序为：4，4，6。
计算对应边比值：$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，三组比值相等，故△ABC与△DEF相似。
B选项：将△ABC的边从小到大排序为：4，6，8；将△DEF的边从小到大排序为：5，10，15。
计算对应边比值：$\frac{4}{5}=0.8$，$\frac{6}{10}=0.6$，比值不相等，故两个三角形不相似。
C选项：将△ABC的边从小到大排序为：$1$，$\sqrt{2}$，$2$；将△DEF的边从小到大排序为：$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$。
计算对应边比值：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\approx0.632$，比值不相等，故两个三角形不相似。
D选项：将△ABC的边从小到大排序为：$1$，$\sqrt{5}$，$3$；将△DEF的边从小到大排序为：$\sqrt{6}$，$2\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$。
计算对应边比值：$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\approx0.408$，$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\approx0.645$，比值不相等，故两个三角形不相似。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
1. 三边法判定三角形相似 2. 比例化简
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题型，重点考查对三边判定定理的掌握，解题时需先将两个三角形的边按大小顺序对齐，避免对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查利用三边对应成比例判定三角形相似，解题思路如下：①先将每个选项中两个三角形的三条边分别按从小到大（或从大到小）的顺序排列，确定对应边；②分别计算三组对应边的比值；③若三组比值都相等，则两个三角形相似，否则不相似，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，对每个选项逐一分析：
A选项：将△ABC的边从小到大排序为：6，6，9；将△DEF的边从小到大排序为：4，4，6。
计算对应边比值：$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，三组比值相等，故△ABC与△DEF相似。
B选项：将△ABC的边从小到大排序为：4，6，8；将△DEF的边从小到大排序为：5，10，15。
计算对应边比值：$\frac{4}{5}=0.8$，$\frac{6}{10}=0.6$，比值不相等，故两个三角形不相似。
C选项：将△ABC的边从小到大排序为：$1$，$\sqrt{2}$，$2$；将△DEF的边从小到大排序为：$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$。
计算对应边比值：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\approx0.632$，比值不相等，故两个三角形不相似。
D选项：将△ABC的边从小到大排序为：$1$，$\sqrt{5}$，$3$；将△DEF的边从小到大排序为：$\sqrt{6}$，$2\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$。
计算对应边比值：$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\approx0.408$，$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\approx0.645$，比值不相等，故两个三角形不相似。
综上只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
1. 三边法判定三角形相似 2. 比例化简
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题型，重点考查对三边判定定理的掌握，解题时需先将两个三角形的边按大小顺序对齐，避免对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
2.如图所示的两个三角形
相似
。(填“相似”或“不相似”) 答案
2. 相似
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的三边长，可使用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先将两个三角形的边长分别按从小到大的顺序排列，再依次计算对应边的比值，若三组对应边的比值都相等，则两个三角形相似，反之不相似。
【解析】
先将两个三角形的三边按从小到大排序：
第一个三角形三边：5、6、8；
第二个三角形三边：$\frac{25}{3}$、10、$\frac{40}{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{5}{\frac{25}{3}}=5×\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$，
$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$\frac{8}{\frac{40}{3}}=8×\frac{3}{40}=\frac{3}{5}$。
三组对应边的比值均相等，因此两个三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
三角形相似的三边判定，比的化简
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题，解题核心是先将两个三角形的边长按大小排序，找准对应边再计算比值验证，计算时要注意分数除法的运算规则，避免因计算错误或对应边匹配错误影响判断。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的三边长，可使用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先将两个三角形的边长分别按从小到大的顺序排列，再依次计算对应边的比值，若三组对应边的比值都相等，则两个三角形相似，反之不相似。
【解析】
先将两个三角形的三边按从小到大排序：
第一个三角形三边：5、6、8；
第二个三角形三边：$\frac{25}{3}$、10、$\frac{40}{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{5}{\frac{25}{3}}=5×\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$，
$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$\frac{8}{\frac{40}{3}}=8×\frac{3}{40}=\frac{3}{5}$。
三组对应边的比值均相等，因此两个三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
三角形相似的三边判定，比的化简
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题，解题核心是先将两个三角形的边长按大小排序，找准对应边再计算比值验证，计算时要注意分数除法的运算规则，避免因计算错误或对应边匹配错误影响判断。
【难度系数】
0.8
3.在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，在$△ A'B'C'$中，$A'B'=4$，$A'C'=3$。若$BC:B'C'=\_\_\_\_\_\_$，则$△ ABC∽△ A'C'B'$。
答案
3. $2:1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确相似三角形的对应边关系，题目给出△ABC∽△A'C'B'，要根据三边成比例的相似判定条件确定对应边的比例。第一步按相似的顶点对应顺序找准对应边：A对应A'，B对应C'，C对应B'，因此三组对应边分别是AB与A'C'、AC与A'B'、BC与C'B'（即B'C'）；第二步计算已知对应边的比值，即可得到BC与B'C'的比值。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ A'C'B'$
∴ 对应边成比例，即$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}=\frac{BC}{C'B'}$
已知$AB=6$，$A'C'=3$，$AC=8$，$A'B'=4$
计算已知对应边的比值：$\frac{AB}{A'C'}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{8}{4}=2$
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{BC}{C'B'}=2=\frac{2}{1}$
即$BC:B'C'=2:1$
【答案】
$2:1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题主要考查相似三角形三边成比例的判定规则，易错点是混淆相似三角形的对应顶点，导致对应边找错，解题时要严格按照相似符号给出的顶点顺序确定对应边。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确相似三角形的对应边关系，题目给出△ABC∽△A'C'B'，要根据三边成比例的相似判定条件确定对应边的比例。第一步按相似的顶点对应顺序找准对应边：A对应A'，B对应C'，C对应B'，因此三组对应边分别是AB与A'C'、AC与A'B'、BC与C'B'（即B'C'）；第二步计算已知对应边的比值，即可得到BC与B'C'的比值。
【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ A'C'B'$
∴ 对应边成比例，即$\frac{AB}{A'C'}=\frac{AC}{A'B'}=\frac{BC}{C'B'}$
已知$AB=6$，$A'C'=3$，$AC=8$，$A'B'=4$
计算已知对应边的比值：$\frac{AB}{A'C'}=\frac{6}{3}=2$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{8}{4}=2$
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{BC}{C'B'}=2=\frac{2}{1}$
即$BC:B'C'=2:1$
【答案】
$2:1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题主要考查相似三角形三边成比例的判定规则，易错点是混淆相似三角形的对应顶点，导致对应边找错，解题时要严格按照相似符号给出的顶点顺序确定对应边。
【难度系数】
0.7
4.如图,在大小为$4×4$的正方形网格中,是相似三角形的是
①
和③
。(填序号)答案
4. ① ③
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，可采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法。首先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算四个三角形的三边长，再化简各三角形的三边比值，比值完全相等的两个三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各三角形的三边长：
1. 图①的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边化简比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
2. 图②的三边长：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{5}:3$；
3. 图③的三边长：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边化简比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
4. 图④的三边长：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，$5$，三边比为$\sqrt{10}:\sqrt{17}:5$。
对比可知①和③的三边对应成比例，因此①和③是相似三角形。
【答案】
①；③
【知识点】
勾股定理；相似三角形判定
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，核心是通过勾股定理计算三角形边长，再结合相似三角形的判定条件验证边长比例，解题时要注意准确计算边长、正确化简比值。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，可采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法。首先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别计算四个三角形的三边长，再化简各三角形的三边比值，比值完全相等的两个三角形即为相似三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，结合勾股定理计算各三角形的三边长：
1. 图①的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边化简比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
2. 图②的三边长：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{5}:3$；
3. 图③的三边长：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边化简比为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
4. 图④的三边长：$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，$5$，三边比为$\sqrt{10}:\sqrt{17}:5$。
对比可知①和③的三边对应成比例，因此①和③是相似三角形。
【答案】
①；③
【知识点】
勾股定理；相似三角形判定
【点评】
本题是网格类几何的常见题型，核心是通过勾股定理计算三角形边长，再结合相似三角形的判定条件验证边长比例，解题时要注意准确计算边长、正确化简比值。
【难度系数】
0.7
5.如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
(1)求证：$∠ BAD=∠ CAE$；
(2)若$AB=6$，$BD=3$，$AC=4$，求$CE$的长。
(1)求证：$∠ BAD=∠ CAE$；
(2)若$AB=6$，$BD=3$，$AC=4$，求$CE$的长。
答案
5. (1)证明: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ ABC∽△ ADE$。
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$。
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2)解: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}, \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ CAE$,
$\therefore △ BAD∽△ CAE$。$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$。
$\because AB=6,BD=3,AC=4$,
$\therefore \frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$。$\therefore CE=2$。
$\therefore △ ABC∽△ ADE$。
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$。
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2)解: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}, \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ CAE$,
$\therefore △ BAD∽△ CAE$。$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$。
$\because AB=6,BD=3,AC=4$,
$\therefore \frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$。$\therefore CE=2$。
解析
【分析】
(1) 要证∠BAD=∠CAE，首先根据已知的三组对应边成比例，可利用“三边成比例的两个三角形相似”先证明△ABC∽△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE，再让两个角同时减去公共角∠DAC，即可推出待证的角相等。
(2) 要求CE的长，已知AB、BD、AC的长度，可结合(1)中得到的∠BAD=∠CAE，先通过已知的边的比例关系推导△BAD和△CAE的对应边成比例，再利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△BAD∽△CAE，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入数值即可求出CE的长度。
【解析】
(1) 证明: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ ABC∽△ ADE$（三边成比例的两个三角形相似）。
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$（相似三角形对应角相等）。
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2) 解: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$, 根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ CAE$,
$\therefore △ BAD∽△ CAE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$（相似三角形对应边成比例）。
$\because AB=6,BD=3,AC=4$,
代入得$\frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$，解得$CE=2$。
【答案】
(1) $∠ BAD=∠ CAE$，证明成立；
(2) $CE=2$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题型，重点考查相似三角形判定和性质的综合应用，解题的关键是逐步推导两组相似三角形，通过角的关系和边的比例关系完成证明和计算，熟练掌握相似的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠BAD=∠CAE，首先根据已知的三组对应边成比例，可利用“三边成比例的两个三角形相似”先证明△ABC∽△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE，再让两个角同时减去公共角∠DAC，即可推出待证的角相等。
(2) 要求CE的长，已知AB、BD、AC的长度，可结合(1)中得到的∠BAD=∠CAE，先通过已知的边的比例关系推导△BAD和△CAE的对应边成比例，再利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△BAD∽△CAE，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入数值即可求出CE的长度。
【解析】
(1) 证明: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
$\therefore △ ABC∽△ ADE$（三边成比例的两个三角形相似）。
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$（相似三角形对应角相等）。
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
即$∠ BAD=∠ CAE$。
(2) 解: $\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$, 根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
由(1)知$∠ BAD=∠ CAE$,
$\therefore △ BAD∽△ CAE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$（相似三角形对应边成比例）。
$\because AB=6,BD=3,AC=4$,
代入得$\frac{6}{4}=\frac{3}{CE}$，解得$CE=2$。
【答案】
(1) $∠ BAD=∠ CAE$，证明成立；
(2) $CE=2$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题型，重点考查相似三角形判定和性质的综合应用，解题的关键是逐步推导两组相似三角形，通过角的关系和边的比例关系完成证明和计算，熟练掌握相似的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$4×4$的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与$△ ABC$相似的三角形所在的网格图是(
B
)。答案
6. B
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△ABC相似，我们可以根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解题。首先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，求出三边的长度比，再分别计算四个选项中三角形的三边比，对比后比值相同的即为相似的三角形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
分别计算各选项三角形的三边比：
A选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，比值为$\sqrt{5}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与△ABC的比不相等，两三角形不相似；
B选项：三边长为2，4，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的比相等，两三角形相似；
C选项：三边长为2，3，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:3:\sqrt{13}$，与△ABC的比不相等，两三角形不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，4，比值与△ABC的比不相等，两三角形不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题考查网格背景下三角形相似的判定，解题核心是先求出已知三角形的三边比，再逐一验证选项，需要熟练运用勾股定理计算格点线段长度，掌握相似三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
要判断哪个三角形与△ABC相似，我们可以根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理来解题。首先利用勾股定理计算出△ABC的三边长，求出三边的长度比，再分别计算四个选项中三角形的三边比，对比后比值相同的即为相似的三角形。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
分别计算各选项三角形的三边比：
A选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，比值为$\sqrt{5}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与△ABC的比不相等，两三角形不相似；
B选项：三边长为2，4，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的比相等，两三角形相似；
C选项：三边长为2，3，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，比值为$2:3:\sqrt{13}$，与△ABC的比不相等，两三角形不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，4，比值与△ABC的比不相等，两三角形不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题考查网格背景下三角形相似的判定，解题核心是先求出已知三角形的三边比，再逐一验证选项，需要熟练运用勾股定理计算格点线段长度，掌握相似三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
