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7. 将一张以AB为一边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（
A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
A
）。A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.10
D.$\frac{35}{4}$
答案
7. A 解析:如图①,由已知可得$△ DFE∽△ ECB$,则$\frac{DF}{EC}=\frac{FE}{CB}=\frac{DE}{EB}$。
设$DF=x,CE=y$,则$\frac{x}{y}=\frac{9}{7}=\frac{6+y}{2+x}$,
解得$\begin{cases} x=\frac{27}{4}, \\ y=\frac{21}{4}。 \end{cases}$
$\therefore DE=CD+CE=6+\frac{21}{4}=\frac{45}{4}$,选项B不符合题意；
$EB=DF+AD=\frac{27}{4}+2=\frac{35}{4}$,选项D不符合题意。
如图②,由已知可得$△ DCF∽△ FEB$,
则$\frac{DC}{FE}=\frac{CF}{EB}=\frac{DF}{FB}$。
设$FC=m,FD=n$,
则$\frac{6}{9}=\frac{m}{n+2}=\frac{n}{m+7}$,
解得$\begin{cases} m=8, \\ n=10。 \end{cases}$
$\therefore FD=10$,选项C不符合题意；
$BF=FC+BC=8+7=15$。
如图③,此时两个直角三角形的斜边长分别为6和7。
综上所述,选A。
解析
【分析】
本题需要结合矩形剪拼的不同情况，利用相似三角形的性质求解。首先明确原图形是矩形，∠A为直角，故AB、AD是原矩形相邻边的一部分，需分三种剪法（对应题目给出的三种辅助图）还原剪掉的两个直角三角形，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解各情况的斜边长度，最后对比选项判断不可能的结果。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 如图①所示，剪掉的两个直角三角形为$△ DFE$和$△ ECB$，且$△ DFE ∽ △ ECB$，对应边成比例：$\frac{DF}{EC}=\frac{FE}{CB}=\frac{DE}{EB}$。
设$DF=x$，$CE=y$，已知$FE=AB=9$，$CB=7$，$DE=CD+CE=6+y$，$EB=AD+DF=2+x$，代入比例得：
$\frac{x}{y}=\frac{9}{7}=\frac{6+y}{2+x}$
解得$\begin{cases} x=\frac{27}{4} \\ y=\frac{21}{4} \end{cases}$
则斜边$DE=6+\frac{21}{4}=\frac{45}{4}$（对应选项B，可能，排除），斜边$EB=2+\frac{27}{4}=\frac{35}{4}$（对应选项D，可能，排除）。
2. 如图②所示，剪掉的两个直角三角形为$△ DCF$和$△ FEB$，且$△ DCF ∽ △ FEB$，对应边成比例：$\frac{DC}{FE}=\frac{CF}{EB}=\frac{DF}{FB}$。
设$FC=m$，$FD=n$，已知$DC=6$，$FE=AB=9$，$EB=AD+DF=2+n$，$FB=FC+BC=m+7$，代入比例得：
$\frac{6}{9}=\frac{m}{n+2}=\frac{n}{m+7}$
解得$\begin{cases} m=8 \\ n=10 \end{cases}$
则斜边$FD=10$（对应选项C，可能，排除），斜边$BF=8+7=15$。
3. 如图③所示，剪掉的两个直角三角形斜边长分别为6和7，均为可能值。
综上，只有$\frac{25}{2}$不可能是剪掉的两个直角三角形的斜边长。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题结合图形剪拼考查相似三角形的应用，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分类讨论还原不同的剪法，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解，易错点是遗漏剪法导致判断错误。
【难度系数】
0.4
本题需要结合矩形剪拼的不同情况，利用相似三角形的性质求解。首先明确原图形是矩形，∠A为直角，故AB、AD是原矩形相邻边的一部分，需分三种剪法（对应题目给出的三种辅助图）还原剪掉的两个直角三角形，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解各情况的斜边长度，最后对比选项判断不可能的结果。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 如图①所示，剪掉的两个直角三角形为$△ DFE$和$△ ECB$，且$△ DFE ∽ △ ECB$，对应边成比例：$\frac{DF}{EC}=\frac{FE}{CB}=\frac{DE}{EB}$。
设$DF=x$，$CE=y$，已知$FE=AB=9$，$CB=7$，$DE=CD+CE=6+y$，$EB=AD+DF=2+x$，代入比例得：
$\frac{x}{y}=\frac{9}{7}=\frac{6+y}{2+x}$
解得$\begin{cases} x=\frac{27}{4} \\ y=\frac{21}{4} \end{cases}$
则斜边$DE=6+\frac{21}{4}=\frac{45}{4}$（对应选项B，可能，排除），斜边$EB=2+\frac{27}{4}=\frac{35}{4}$（对应选项D，可能，排除）。
2. 如图②所示，剪掉的两个直角三角形为$△ DCF$和$△ FEB$，且$△ DCF ∽ △ FEB$，对应边成比例：$\frac{DC}{FE}=\frac{CF}{EB}=\frac{DF}{FB}$。
设$FC=m$，$FD=n$，已知$DC=6$，$FE=AB=9$，$EB=AD+DF=2+n$，$FB=FC+BC=m+7$，代入比例得：
$\frac{6}{9}=\frac{m}{n+2}=\frac{n}{m+7}$
解得$\begin{cases} m=8 \\ n=10 \end{cases}$
则斜边$FD=10$（对应选项C，可能，排除），斜边$BF=8+7=15$。
3. 如图③所示，剪掉的两个直角三角形斜边长分别为6和7，均为可能值。
综上，只有$\frac{25}{2}$不可能是剪掉的两个直角三角形的斜边长。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题结合图形剪拼考查相似三角形的应用，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分类讨论还原不同的剪法，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解，易错点是遗漏剪法导致判断错误。
【难度系数】
0.4
8.如图,在边长为1的正方形网格中有点P,A,B,C,则在图中所形成的三角形中,相似的三角形是
$△ APB∽△ CPA$
。答案
8. $△ APB∽△ CPA$
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，优先观察是否存在含公共角的三角形，本题中△APB和△CPA有公共角∠P，符合“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件的使用前提。接下来只需通过勾股定理计算夹公共角的两组边的长度，验证边的比值是否相等即可判断是否相似。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1，根据勾股定理计算相关线段长度：
$PA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$PB=1$，$PC=5$，
∴ $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{PA}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即 $\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC}$。
又
∵ ∠P是△APB和△CPA的公共角，即$∠ APB=∠ CPA$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ APB ∽ △ CPA$。
【答案】
$△ APB ∽ △ CPA$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的基础题型，解题时要善于挖掘公共角这类隐含条件，结合勾股定理准确计算线段长度，再对应相似判定定理验证即可。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，优先观察是否存在含公共角的三角形，本题中△APB和△CPA有公共角∠P，符合“两边成比例且夹角相等”的相似判定条件的使用前提。接下来只需通过勾股定理计算夹公共角的两组边的长度，验证边的比值是否相等即可判断是否相似。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1，根据勾股定理计算相关线段长度：
$PA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$PB=1$，$PC=5$，
∴ $\frac{PB}{PA}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{PA}{PC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即 $\frac{PB}{PA}=\frac{PA}{PC}$。
又
∵ ∠P是△APB和△CPA的公共角，即$∠ APB=∠ CPA$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ APB ∽ △ CPA$。
【答案】
$△ APB ∽ △ CPA$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似三角形判定的基础题型，解题时要善于挖掘公共角这类隐含条件，结合勾股定理准确计算线段长度，再对应相似判定定理验证即可。
【难度系数】
0.7
9.在方格纸(每个小方格的边长为1)中,每个小方格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫作格点三角形。如图,在5×5的方格纸中,作格点△ABC与△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标为
$(5,2)$或$(4,4)$
。答案
9. $(5,2)$或$(4,4)$
解析
【分析】
首先确定已知△OAB的顶点坐标、边长及形状：O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)，△OAB是直角三角形，直角边OA=1、OB=2，斜边AB=√5，两直角边比为1:2。要构造与△OAB相似且相似比不为1的格点△ABC，需满足△ABC也为直角三角形，直角边比为1:2，且三边与△OAB三边对应成比例。分两种情况讨论：①直角顶点为A；②直角顶点为B，分别计算符合要求的格点C坐标即可。
【解析】
第一步：计算△OAB的基本参数
由点坐标可得：OA=1，OB=2，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，且$∠ AOB=90°$，两直角边比$OA:OB=1:2$。
第二步：分类讨论构造相似三角形
因为△ABC与△OAB相似且相似比不为1，所以△ABC为直角三角形，直角边比为1:2：
1. 当直角顶点为A时，$∠ BAC=90°$，需满足对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{AC}$，即$AC=2AB=2\sqrt{5}$。结合格点要求计算得C点坐标为(5,2)，验证三边：$AC=2\sqrt{5}$，$BC=5$，$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，满足相似条件。
2. 当直角顶点为B时，$∠ ABC=90°$，需满足对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{BC}$，即$BC=2AB=2\sqrt{5}$。结合格点要求计算得C点坐标为(4,4)，验证三边：$BC=2\sqrt{5}$，$AC=5$，$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，满足相似条件。
【答案】
$(5,2)$或$(4,4)$
【知识点】
三角形相似的判定，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是格点相似三角形的典型构造题，解题核心是先明确已知三角形的边长比例和形状特征，再结合直角的位置分类讨论，注意相似比不为1的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先确定已知△OAB的顶点坐标、边长及形状：O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)，△OAB是直角三角形，直角边OA=1、OB=2，斜边AB=√5，两直角边比为1:2。要构造与△OAB相似且相似比不为1的格点△ABC，需满足△ABC也为直角三角形，直角边比为1:2，且三边与△OAB三边对应成比例。分两种情况讨论：①直角顶点为A；②直角顶点为B，分别计算符合要求的格点C坐标即可。
【解析】
第一步：计算△OAB的基本参数
由点坐标可得：OA=1，OB=2，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，且$∠ AOB=90°$，两直角边比$OA:OB=1:2$。
第二步：分类讨论构造相似三角形
因为△ABC与△OAB相似且相似比不为1，所以△ABC为直角三角形，直角边比为1:2：
1. 当直角顶点为A时，$∠ BAC=90°$，需满足对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{AC}$，即$AC=2AB=2\sqrt{5}$。结合格点要求计算得C点坐标为(5,2)，验证三边：$AC=2\sqrt{5}$，$BC=5$，$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，满足相似条件。
2. 当直角顶点为B时，$∠ ABC=90°$，需满足对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{BC}$，即$BC=2AB=2\sqrt{5}$。结合格点要求计算得C点坐标为(4,4)，验证三边：$BC=2\sqrt{5}$，$AC=5$，$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，满足相似条件。
【答案】
$(5,2)$或$(4,4)$
【知识点】
三角形相似的判定，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题是格点相似三角形的典型构造题，解题核心是先明确已知三角形的边长比例和形状特征，再结合直角的位置分类讨论，注意相似比不为1的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10.如图，D，E，F分别是$△ ABC$的三边BC，CA，AB的中点。
(1)求证:$△ DEF ∽ △ ABC$；
(2)写出图中其他几对相似的三角形。
(1)求证:$△ DEF ∽ △ ABC$；
(2)写出图中其他几对相似的三角形。
答案
10. (1)证明:$\because D,E,F$分别是$△ ABC$的三边的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF∽△ ABC$。
(2) 解: $△ AEF ∽ △ ACB$, $△ BDF ∽ △ BCA$, $△ DCE ∽ △ BCA$, $△ BDF ∽ △ EFD$, $△ BDF ∽ △ FEA$, $△ AEF ∽ △ DFE$, $△ DCE ∽ △ FEA$, $△ DCE ∽ △ EFD$,$△ DCE ∽ △ BDF$。
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF∽△ ABC$。
(2) 解: $△ AEF ∽ △ ACB$, $△ BDF ∽ △ BCA$, $△ DCE ∽ △ BCA$, $△ BDF ∽ △ EFD$, $△ BDF ∽ △ FEA$, $△ AEF ∽ △ DFE$, $△ DCE ∽ △ FEA$, $△ DCE ∽ △ EFD$,$△ DCE ∽ △ BDF$。
解析
【分析】
(1)要证明△DEF∽△ABC，可借助相似三角形的判定定理推导：已知D、E、F是三角形三边中点，首先回忆三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，由此可推出△DEF的三边与△ABC的三边的比例关系，若三组对应边的比值相等，即可证明两个三角形相似。
(2)找其他相似三角形时，先根据中位线性质，找出每条中位线截原三角形得到的小三角形，这类小三角形都与原三角形相似；再利用相似的传递性，推导这些小三角形之间、以及它们和△DEF的相似关系，按顺序列举即可避免重复或遗漏。
【解析】
(1)证明：
∵D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴DE、DF、EF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，可证得$△ DEF∽△ ABC$。
(2)同理，由中位线性质可得EF//BC、DF//AC、DE//AB，可证得$\bigtriangleup AEF∽ \bigtriangleup ACB$、$\bigtriangleup BDF∽ \bigtriangleup BCA$、$\bigtriangleup DCE∽ \bigtriangleup BCA$；再根据相似的传递性，所有与△ABC相似的三角形之间也互相相似，即可得到剩余的相似三角形对。
【答案】
(1)证明:$\because D,E,F$分别是$△ ABC$的三边的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF∽△ ABC$。
(2) $△ AEF ∽ △ ACB$, $△ BDF ∽ △ BCA$, $△ DCE ∽ △ BCA$, $△ BDF ∽ △ EFD$, $△ BDF ∽ △ FEA$, $△ AEF ∽ △ DFE$, $△ DCE ∽ △ FEA$, $△ DCE ∽ △ EFD$,$△ DCE ∽ △ BDF$。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的传递性
【点评】
本题是相似三角形部分的基础典型题，主要考查三角形中位线的性质和相似三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握中位线的边长关系，找相似三角形时要有序梳理，避免漏写。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△DEF∽△ABC，可借助相似三角形的判定定理推导：已知D、E、F是三角形三边中点，首先回忆三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，由此可推出△DEF的三边与△ABC的三边的比例关系，若三组对应边的比值相等，即可证明两个三角形相似。
(2)找其他相似三角形时，先根据中位线性质，找出每条中位线截原三角形得到的小三角形，这类小三角形都与原三角形相似；再利用相似的传递性，推导这些小三角形之间、以及它们和△DEF的相似关系，按顺序列举即可避免重复或遗漏。
【解析】
(1)证明：
∵D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴DE、DF、EF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，
根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，可证得$△ DEF∽△ ABC$。
(2)同理，由中位线性质可得EF//BC、DF//AC、DE//AB，可证得$\bigtriangleup AEF∽ \bigtriangleup ACB$、$\bigtriangleup BDF∽ \bigtriangleup BCA$、$\bigtriangleup DCE∽ \bigtriangleup BCA$；再根据相似的传递性，所有与△ABC相似的三角形之间也互相相似，即可得到剩余的相似三角形对。
【答案】
(1)证明:$\because D,E,F$分别是$△ ABC$的三边的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}AC,EF=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore △ DEF∽△ ABC$。
(2) $△ AEF ∽ △ ACB$, $△ BDF ∽ △ BCA$, $△ DCE ∽ △ BCA$, $△ BDF ∽ △ EFD$, $△ BDF ∽ △ FEA$, $△ AEF ∽ △ DFE$, $△ DCE ∽ △ FEA$, $△ DCE ∽ △ EFD$,$△ DCE ∽ △ BDF$。
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定，相似三角形的传递性
【点评】
本题是相似三角形部分的基础典型题，主要考查三角形中位线的性质和相似三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握中位线的边长关系，找相似三角形时要有序梳理，避免漏写。
【难度系数】
0.7
11.如图,一个用钢筋做的三角形各边长分别是30 cm,50 cm,70 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角形,现只有长35 cm和70 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法?
答案
11. 解:有两种不同的截法。
分三种情况进行讨论：
①设35 cm长的钢筋作为最长边,其他两边长分别为$x$ cm和$y$ cm,由$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$,解得$x=15,y=25$,且$15+25=40,40＜70$,符合题意；
②设35 cm长的钢筋作为次长边,其他两边长分别为$a$ cm和$b$ cm,由$\frac{a}{30}=\frac{35}{50}=\frac{b}{70}$,解得$a=21,b=49$,且$21+49=70$,符合题意；
③设35 cm长的钢筋作为最短边,经计算不合题意。
故有两种不同的截法。
分三种情况进行讨论：
①设35 cm长的钢筋作为最长边,其他两边长分别为$x$ cm和$y$ cm,由$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{35}{70}$,解得$x=15,y=25$,且$15+25=40,40＜70$,符合题意；
②设35 cm长的钢筋作为次长边,其他两边长分别为$a$ cm和$b$ cm,由$\frac{a}{30}=\frac{35}{50}=\frac{b}{70}$,解得$a=21,b=49$,且$21+49=70$,符合题意；
③设35 cm长的钢筋作为最短边,经计算不合题意。
故有两种不同的截法。
解析
【分析】
要制作与原三角形相似的钢筋三角形，首先需确定用作完整边的钢筋：若选择70cm的钢筋作为一边，另两边需从35cm的钢筋上截取，两段长度之和最大为35cm，小于70cm，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能选择35cm的钢筋作为一边，将70cm的钢筋截为两段。接下来根据35cm的边与原三角形30cm、50cm、70cm的边分别对应相似的三种情况，结合相似三角形对应边成比例计算另两边的长度，再验证两段长度之和是否≤70cm，符合要求的即为可行截法。
【解析】
首先排除70cm钢筋作为完整边的情况：若以70cm为一边，另两边需从35cm钢筋截取，两段之和最大为35cm＜70cm，不符合三角形三边关系，因此只能以35cm钢筋为一边，将70cm钢筋截为两段，分三种情况讨论：
① 当35cm长的钢筋对应原三角形最长边70cm时，相似比为$\frac{35}{70}=\frac{1}{2}$，设另两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，可得：
$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{1}{2}$，解得$x=15$，$y=25$，此时$15+25=40＜70$，符合要求；
② 当35cm长的钢筋对应原三角形次长边50cm时，相似比为$\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$，设另两边长分别为$a$ cm、$b$ cm，可得：
$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{7}{10}$，解得$a=21$，$b=49$，此时$21+49=70$，符合要求；
③ 当35cm长的钢筋对应原三角形最短边30cm时，相似比为$\frac{35}{30}=\frac{7}{6}$，此时另外两边长度约为58.3cm、81.7cm，两段之和远大于70cm，不符合要求，舍去。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
相似三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题需要先通过三角形三边关系排除不可能的情况，再结合相似三角形对应边成比例的性质分情况讨论计算，最后验证结果是否符合实际截取要求，能有效考查学生逻辑严谨性和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要制作与原三角形相似的钢筋三角形，首先需确定用作完整边的钢筋：若选择70cm的钢筋作为一边，另两边需从35cm的钢筋上截取，两段长度之和最大为35cm，小于70cm，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，因此只能选择35cm的钢筋作为一边，将70cm的钢筋截为两段。接下来根据35cm的边与原三角形30cm、50cm、70cm的边分别对应相似的三种情况，结合相似三角形对应边成比例计算另两边的长度，再验证两段长度之和是否≤70cm，符合要求的即为可行截法。
【解析】
首先排除70cm钢筋作为完整边的情况：若以70cm为一边，另两边需从35cm钢筋截取，两段之和最大为35cm＜70cm，不符合三角形三边关系，因此只能以35cm钢筋为一边，将70cm钢筋截为两段，分三种情况讨论：
① 当35cm长的钢筋对应原三角形最长边70cm时，相似比为$\frac{35}{70}=\frac{1}{2}$，设另两边长分别为$x$ cm、$y$ cm，可得：
$\frac{x}{30}=\frac{y}{50}=\frac{1}{2}$，解得$x=15$，$y=25$，此时$15+25=40＜70$，符合要求；
② 当35cm长的钢筋对应原三角形次长边50cm时，相似比为$\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$，设另两边长分别为$a$ cm、$b$ cm，可得：
$\frac{a}{30}=\frac{b}{70}=\frac{7}{10}$，解得$a=21$，$b=49$，此时$21+49=70$，符合要求；
③ 当35cm长的钢筋对应原三角形最短边30cm时，相似比为$\frac{35}{30}=\frac{7}{6}$，此时另外两边长度约为58.3cm、81.7cm，两段之和远大于70cm，不符合要求，舍去。
综上，共有2种不同的截法。
【答案】
有2种不同的截法。
【知识点】
相似三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题需要先通过三角形三边关系排除不可能的情况，再结合相似三角形对应边成比例的性质分情况讨论计算，最后验证结果是否符合实际截取要求，能有效考查学生逻辑严谨性和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
