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一、选择题
1. 下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是()
A.$2(x^2 + 2x) = 2x^2 - 1$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(x + 1)^2 = 2x + 1$
D.$\frac{1}{x^2} + x + 1 = 0$
1. 下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是()
A.$2(x^2 + 2x) = 2x^2 - 1$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(x + 1)^2 = 2x + 1$
D.$\frac{1}{x^2} + x + 1 = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的3个核心判定条件：1.属于整式方程（分母不含未知数）；2.只含有1个未知数；3.经过去括号、移项、合并同类项化简后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们按照这三个条件逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③化简后未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
选项A：展开左边得$2x^2+4x$，移项合并同类项后得$4x+1=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
选项B：$ax^2+bx+c=0$没有注明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不为2，不一定是一元二次方程，不符合要求。
选项C：展开左边得$x^2+2x+1=2x+1$，移项合并同类项后得$x^2=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
选项D：方程的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点为忽略B选项中二次项系数不为0的前提，或是误将分式方程判定为整式方程，解题时需先化简方程再对照定义判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的3个核心判定条件：1.属于整式方程（分母不含未知数）；2.只含有1个未知数；3.经过去括号、移项、合并同类项化简后，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们按照这三个条件逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③化简后未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，我们逐一分析选项：
选项A：展开左边得$2x^2+4x$，移项合并同类项后得$4x+1=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
选项B：$ax^2+bx+c=0$没有注明$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不为2，不一定是一元二次方程，不符合要求。
选项C：展开左边得$x^2+2x+1=2x+1$，移项合并同类项后得$x^2=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，符合要求。
选项D：方程的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对一元二次方程判定条件的掌握，易错点为忽略B选项中二次项系数不为0的前提，或是误将分式方程判定为整式方程，解题时需先化简方程再对照定义判断。
【难度系数】
0.8
2.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是()
A.$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ -\dfrac{1}{4}$
C.$m ＜ -4$
D.$m ＞ -4$
A.$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ -\dfrac{1}{4}$
C.$m ＜ -4$
D.$m ＞ -4$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需关联一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系：当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。解题时先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，其与根的对应关系为：
1. $\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. $\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. $\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2 - x - m = 0$的$a=1$，$b=-1$，$c=-m$，已知方程有两个不相等的实数根，因此$\Delta＞0$，代入计算：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4×1×(-m) &＞ 0 \\1 +4m &＞0 \\4m &＞ -1 \\m &＞ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别常数项的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需关联一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系：当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。解题时先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，其与根的对应关系为：
1. $\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. $\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. $\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$x^2 - x - m = 0$的$a=1$，$b=-1$，$c=-m$，已知方程有两个不相等的实数根，因此$\Delta＞0$，代入计算：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4×1×(-m) &＞ 0 \\1 +4m &＞0 \\4m &＞ -1 \\m &＞ -\frac{1}{4}\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别常数项的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.75
3.对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），有下列说法：①若$x=0$是方程的一个根，则$c=0$；②若$a-b+c=0$且$4a+2b+c=0$，则$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$；③若方程$a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$存在两个根$x_1=2$，$x_2=5$，则方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两个根为$x_1=1$，$x_2=4$；④若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则$ac+b+1=0$一定成立。其中一定正确的是（）
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
答案
C
解析
【分析】
本题是一元二次方程性质的综合判断题，解题时需逐个验证4个说法是否成立：①利用“方程的根代入方程等式成立”的性质，代入x=0即可判断；②先根据给出的两个代数式对应方程的两个根，再用韦达定理计算两根和与积判断；③利用换元思想，把x-1看作整体，结合已知根求出原方程的根判断；④代入x=c后提取公因式，考虑c=0的特殊情况判断是否一定成立。
【解析】
我们对4个说法逐一验证：
1. 验证①：把$x=0$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得$a×0 + b×0 + c=0$，即$c=0$，故①正确。
2. 验证②：$a-b+c=0$对应$x=-1$代入方程的结果，说明$x=-1$是方程的根；$4a+2b+c=0$对应$x=2$代入方程的结果，说明$x=2$是方程的根。根据韦达定理，两根和$x_1+x_2=-1+2=1$，两根积$x_1x_2=(-1)×2=-2$，故②正确。
3. 验证③：令$t=x-1$，则方程$a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$转化为$at^2+bt+c=0$。已知原方程的根为$x_1=2$、$x_2=5$，对应$t_1=2-1=1$，$t_2=5-1=4$，即$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=1$、$x_2=4$，故③正确。
4. 验证④：把$x=c$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，因此有$c=0$或$ac+b+1=0$。当$c=0$时，$ac+b+1=b+1$不一定为0，故④不一定成立。
综上，①②③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，换元法
【点评】
本题侧重对一元二次方程基础性质的灵活应用，解题时要注意“一定成立”的要求，需排除特殊情况的干扰，掌握代入法、换元法等常用解题方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程性质的综合判断题，解题时需逐个验证4个说法是否成立：①利用“方程的根代入方程等式成立”的性质，代入x=0即可判断；②先根据给出的两个代数式对应方程的两个根，再用韦达定理计算两根和与积判断；③利用换元思想，把x-1看作整体，结合已知根求出原方程的根判断；④代入x=c后提取公因式，考虑c=0的特殊情况判断是否一定成立。
【解析】
我们对4个说法逐一验证：
1. 验证①：把$x=0$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得$a×0 + b×0 + c=0$，即$c=0$，故①正确。
2. 验证②：$a-b+c=0$对应$x=-1$代入方程的结果，说明$x=-1$是方程的根；$4a+2b+c=0$对应$x=2$代入方程的结果，说明$x=2$是方程的根。根据韦达定理，两根和$x_1+x_2=-1+2=1$，两根积$x_1x_2=(-1)×2=-2$，故②正确。
3. 验证③：令$t=x-1$，则方程$a(x-1)^2+b(x-1)+c=0$转化为$at^2+bt+c=0$。已知原方程的根为$x_1=2$、$x_2=5$，对应$t_1=2-1=1$，$t_2=5-1=4$，即$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=1$、$x_2=4$，故③正确。
4. 验证④：把$x=c$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，因此有$c=0$或$ac+b+1=0$。当$c=0$时，$ac+b+1=b+1$不一定为0，故④不一定成立。
综上，①②③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，换元法
【点评】
本题侧重对一元二次方程基础性质的灵活应用，解题时要注意“一定成立”的要求，需排除特殊情况的干扰，掌握代入法、换元法等常用解题方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4.若关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的常数项为0，则m=。
4.若关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的常数项为0，则m=。
答案
解：
∵ 该一元二次方程的常数项为0，
∴ $m^2 - 3m + 2 = 0$，
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=2$。
又∵ 方程为一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$，
∴ $m=2$。
∵ 该一元二次方程的常数项为0，
∴ $m^2 - 3m + 2 = 0$，
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=2$。
又∵ 方程为一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$，
∴ $m=2$。
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心约束条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程的常数项为0，因此常数项对应的代数式等于0。先通过常数项为0列关于m的方程，求解得到m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 该一元二次方程的常数项为0，
∴ $m^2 - 3m + 2 = 0$，
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=2$。
又
∵ 方程为一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$，
∴ $m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；因式分解法解方程；一元二次方程项与系数
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将m=1也作为答案，解题时要注意结合方程定义对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心约束条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程的常数项为0，因此常数项对应的代数式等于0。先通过常数项为0列关于m的方程，求解得到m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 该一元二次方程的常数项为0，
∴ $m^2 - 3m + 2 = 0$，
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$，
解得 $m_1=1$，$m_2=2$。
又
∵ 方程为一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m-1 ≠ 0$，即 $m ≠ 1$，
∴ $m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义；因式分解法解方程；一元二次方程项与系数
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将m=1也作为答案，解题时要注意结合方程定义对求出的参数值进行验证。
【难度系数】
0.7
5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+4k-3=0$。若$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边长$a$为$\sqrt{31}$，且两条直角边的长$b$和$c$恰好是该方程的两个根，则$△ ABC$的周长为________。
答案
$\boldsymbol{7+\sqrt{31}}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：①首先根据b、c是方程的两个根，利用韦达定理写出b+c、bc关于k的表达式；②结合直角三角形勾股定理，斜边a=√31可得b²+c²=31，再通过完全平方公式变形b²+c²=(b+c)²-2bc，代入韦达定理的结果得到关于k的方程并求解；③求出k后要结合边长为正的实际意义验证，排除不符合要求的k值；④最后根据周长公式a+b+c计算结果即可。
【解析】
解：
∵b、c是一元二次方程$x^2-(2k+1)x+4k-3=0$的两个根，
由根与系数的关系可得：
$b+c=2k+1$，$bc=4k-3$，
∵$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边长$a=\sqrt{31}$，
根据勾股定理得：$b^2+c^2=a^2=(\sqrt{31})^2=31$，
又
∵$b^2+c^2=(b+c)^2-2bc$，
将$b+c=2k+1$、$bc=4k-3$代入上式得：
$(2k+1)^2-2(4k-3)=31$，
展开整理得：$4k^2-4k-24=0$，
化简为：$k^2-k-6=0$，
因式分解得：$(k-3)(k+2)=0$，
解得：$k_1=3$，$k_2=-2$。
∵b、c为直角三角形的边长，均为正数，
∴两根之和$b+c＞0$、两根之积$bc＞0$，
当$k=-2$时，$b+c=2×(-2)+1=-3＜0$，$bc=4×(-2)-3=-11＜0$，不符合实际，舍去；
当$k=3$时，$b+c=2×3+1=7＞0$，$bc=4×3-3=9＞0$，符合要求。
∴$△ABC$的周长为$a+b+c=\sqrt{31}+7=7+\sqrt{31}$。
【答案】
$7+\sqrt{31}$
【知识点】
根与系数的关系，勾股定理，一元二次方程求解
【点评】
本题属于代数几何综合题，解题的关键是结合根与系数关系和勾股定理建立关于参数k的方程，要注意求解参数后必须结合边长为正的实际意义验证结果，排除增根。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：①首先根据b、c是方程的两个根，利用韦达定理写出b+c、bc关于k的表达式；②结合直角三角形勾股定理，斜边a=√31可得b²+c²=31，再通过完全平方公式变形b²+c²=(b+c)²-2bc，代入韦达定理的结果得到关于k的方程并求解；③求出k后要结合边长为正的实际意义验证，排除不符合要求的k值；④最后根据周长公式a+b+c计算结果即可。
【解析】
解：
∵b、c是一元二次方程$x^2-(2k+1)x+4k-3=0$的两个根，
由根与系数的关系可得：
$b+c=2k+1$，$bc=4k-3$，
∵$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边长$a=\sqrt{31}$，
根据勾股定理得：$b^2+c^2=a^2=(\sqrt{31})^2=31$，
又
∵$b^2+c^2=(b+c)^2-2bc$，
将$b+c=2k+1$、$bc=4k-3$代入上式得：
$(2k+1)^2-2(4k-3)=31$，
展开整理得：$4k^2-4k-24=0$，
化简为：$k^2-k-6=0$，
因式分解得：$(k-3)(k+2)=0$，
解得：$k_1=3$，$k_2=-2$。
∵b、c为直角三角形的边长，均为正数，
∴两根之和$b+c＞0$、两根之积$bc＞0$，
当$k=-2$时，$b+c=2×(-2)+1=-3＜0$，$bc=4×(-2)-3=-11＜0$，不符合实际，舍去；
当$k=3$时，$b+c=2×3+1=7＞0$，$bc=4×3-3=9＞0$，符合要求。
∴$△ABC$的周长为$a+b+c=\sqrt{31}+7=7+\sqrt{31}$。
【答案】
$7+\sqrt{31}$
【知识点】
根与系数的关系，勾股定理，一元二次方程求解
【点评】
本题属于代数几何综合题，解题的关键是结合根与系数关系和勾股定理建立关于参数k的方程，要注意求解参数后必须结合边长为正的实际意义验证结果，排除增根。
【难度系数】
0.6
6. 提升题 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，例如：$[1.8]=1$，$[-1.4]=-2$，$[-3]=-3$。函数$y=[x](-2≤ x＜3)$的图象如图所示，则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$的解为$x=$。
答案
解：分区间讨论：
1. 当$-2 ≤ x ＜ -1$时，$[x] = -2$，方程化为$-2 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2 = -4$，无实数解；
2. 当$-1 ≤ x ＜ 0$时，$[x] = -1$，方程化为$-1 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2 = -2$，无实数解；
3. 当$0 ≤ x ＜ 1$时，$[x] = 0$，方程化为$0 = \frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，符合取值范围；
4. 当$1 ≤ x ＜ 2$时，$[x] = 1$，方程化为$1 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（舍去负根$x=-\sqrt{2}$），符合取值范围；
5. 当$2 ≤ x ＜ 3$时，$[x] = 2$，方程化为$2 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2=4$，解得$x=2$（舍去负根$x=-2$），符合取值范围。
综上，方程的解为$0$，$\sqrt{2}$，$2$。
1. 当$-2 ≤ x ＜ -1$时，$[x] = -2$，方程化为$-2 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2 = -4$，无实数解；
2. 当$-1 ≤ x ＜ 0$时，$[x] = -1$，方程化为$-1 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2 = -2$，无实数解；
3. 当$0 ≤ x ＜ 1$时，$[x] = 0$，方程化为$0 = \frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，符合取值范围；
4. 当$1 ≤ x ＜ 2$时，$[x] = 1$，方程化为$1 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（舍去负根$x=-\sqrt{2}$），符合取值范围；
5. 当$2 ≤ x ＜ 3$时，$[x] = 2$，方程化为$2 = \frac{1}{2}x^2$，即$x^2=4$，解得$x=2$（舍去负根$x=-2$），符合取值范围。
综上，方程的解为$0$，$\sqrt{2}$，$2$。
解析
【分析】
本题中的$[x]$是取整函数，在不同的x取值区间内$[x]$的取值是固定常数，因此解题核心思路是按照$[x]$的分段区间对x的范围分类讨论：在每个区间内将$[x]$替换为对应的常数，把方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验得到的解是否属于当前讨论的区间，符合要求的才是原方程的解。
【解析】
根据$[x]$的定义，分区间讨论求解：
1. 当$-2 ≤ x ＜ -1$时，$[x] = -2$，代入方程得$-2=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=-4$，平方数非负，无实数解；
2. 当$-1 ≤ x ＜ 0$时，$[x] = -1$，代入方程得$-1=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=-2$，无实数解；
3. 当$0 ≤ x ＜ 1$时，$[x] = 0$，代入方程得$0=\frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，符合$0 ≤ x ＜ 1$的范围，是有效解；
4. 当$1 ≤ x ＜ 2$时，$[x] = 1$，代入方程得$1=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（负根$x=-\sqrt{2}$不在当前区间范围内，舍去），$x=\sqrt{2}$符合$1 ≤ x ＜ 2$的范围，是有效解；
5. 当$2 ≤ x ＜ 3$时，$[x] = 2$，代入方程得$2=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$（负根$x=-2$不在当前区间范围内，舍去），$x=2$符合$2 ≤ x ＜ 3$的范围，是有效解。
【答案】
$0$，$\sqrt{2}$，$2$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题结合取整函数的新定义，重点考察分类讨论的数学思想，解题的关键是根据取整函数的分段特征正确划分x的取值区间，求解后注意验证根是否符合对应区间的要求，避免出现增根或者漏解的问题。
【难度系数】
0.6
本题中的$[x]$是取整函数，在不同的x取值区间内$[x]$的取值是固定常数，因此解题核心思路是按照$[x]$的分段区间对x的范围分类讨论：在每个区间内将$[x]$替换为对应的常数，把方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验得到的解是否属于当前讨论的区间，符合要求的才是原方程的解。
【解析】
根据$[x]$的定义，分区间讨论求解：
1. 当$-2 ≤ x ＜ -1$时，$[x] = -2$，代入方程得$-2=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=-4$，平方数非负，无实数解；
2. 当$-1 ≤ x ＜ 0$时，$[x] = -1$，代入方程得$-1=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=-2$，无实数解；
3. 当$0 ≤ x ＜ 1$时，$[x] = 0$，代入方程得$0=\frac{1}{2}x^2$，解得$x=0$，符合$0 ≤ x ＜ 1$的范围，是有效解；
4. 当$1 ≤ x ＜ 2$时，$[x] = 1$，代入方程得$1=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（负根$x=-\sqrt{2}$不在当前区间范围内，舍去），$x=\sqrt{2}$符合$1 ≤ x ＜ 2$的范围，是有效解；
5. 当$2 ≤ x ＜ 3$时，$[x] = 2$，代入方程得$2=\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$（负根$x=-2$不在当前区间范围内，舍去），$x=2$符合$2 ≤ x ＜ 3$的范围，是有效解。
【答案】
$0$，$\sqrt{2}$，$2$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题结合取整函数的新定义，重点考察分类讨论的数学思想，解题的关键是根据取整函数的分段特征正确划分x的取值区间，求解后注意验证根是否符合对应区间的要求，避免出现增根或者漏解的问题。
【难度系数】
0.6
7.某中学计划在一块长 16 m、宽 6 m 的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，剩余空地修建宽度均为 $ a $ 的小路，如图所示。
(1)如果 $ a=1.5 \, \mathrm{m} $，那么草坪的总面积为 $\_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{m}^2$。
(2)如果草坪的总面积恰好等于小路的总面积，那么此时的路宽 $ a $ 为 $\_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{m}$。
(1)如果 $ a=1.5 \, \mathrm{m} $，那么草坪的总面积为 $\_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{m}^2$。
(2)如果草坪的总面积恰好等于小路的总面积，那么此时的路宽 $ a $ 为 $\_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{m}$。
答案
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时可以采用平移法简化计算：将三块矩形草坪向中间平移，可拼接成一个新的大矩形。首先分析新矩形的长和宽：原空地长16m，水平方向共有4段宽度为a的小路，因此新矩形长为(16-4a)m；原空地宽6m，竖直方向共有2段宽度为a的小路，因此新矩形宽为(6-2a)m，草坪总面积即为新矩形面积。
(1)直接将a=1.5代入面积表达式计算即可；
(2)草坪总面积等于小路总面积，说明草坪面积是原空地总面积的一半，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
首先计算原矩形空地的总面积：$16 × 6 = 96 \, \mathrm{m}^2$
草坪总面积的表达式为：$S=(16-4a)(6-2a)$
(1)当$a=1.5 \, \mathrm{m}$时：
新矩形的长：$16 - 4 × 1.5 = 10 \, \mathrm{m}$
新矩形的宽：$6 - 2 × 1.5 = 3 \, \mathrm{m}$
草坪总面积：$10 × 3 = 30 \, \mathrm{m}^2$
(2)由题意得草坪总面积等于小路总面积，因此草坪面积为原总面积的一半，即$S = 96 ÷ 2 = 48 \, \mathrm{m}^2$，列方程：
$(16-4a)(6-2a) = 48$
化简得：$8(4-a)(3-a) = 48$
两边同时除以8：$(4-a)(3-a) = 6$
展开整理得：$a^2 -7a +6 = 0$
因式分解得：$(a-1)(a-6) = 0$
解得$a_1=1$，$a_2=6$
当$a=6$时，$6-2a = -6 ＜0$，不符合实际意义，舍去
因此$a=1 \, \mathrm{m}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程应用，平移法求面积
【点评】
本题将几何面积计算与方程应用结合，采用平移法可快速简化草坪面积的计算过程，求解方程后要注意结合实际场景检验解的合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
解题时可以采用平移法简化计算：将三块矩形草坪向中间平移，可拼接成一个新的大矩形。首先分析新矩形的长和宽：原空地长16m，水平方向共有4段宽度为a的小路，因此新矩形长为(16-4a)m；原空地宽6m，竖直方向共有2段宽度为a的小路，因此新矩形宽为(6-2a)m，草坪总面积即为新矩形面积。
(1)直接将a=1.5代入面积表达式计算即可；
(2)草坪总面积等于小路总面积，说明草坪面积是原空地总面积的一半，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
首先计算原矩形空地的总面积：$16 × 6 = 96 \, \mathrm{m}^2$
草坪总面积的表达式为：$S=(16-4a)(6-2a)$
(1)当$a=1.5 \, \mathrm{m}$时：
新矩形的长：$16 - 4 × 1.5 = 10 \, \mathrm{m}$
新矩形的宽：$6 - 2 × 1.5 = 3 \, \mathrm{m}$
草坪总面积：$10 × 3 = 30 \, \mathrm{m}^2$
(2)由题意得草坪总面积等于小路总面积，因此草坪面积为原总面积的一半，即$S = 96 ÷ 2 = 48 \, \mathrm{m}^2$，列方程：
$(16-4a)(6-2a) = 48$
化简得：$8(4-a)(3-a) = 48$
两边同时除以8：$(4-a)(3-a) = 6$
展开整理得：$a^2 -7a +6 = 0$
因式分解得：$(a-1)(a-6) = 0$
解得$a_1=1$，$a_2=6$
当$a=6$时，$6-2a = -6 ＜0$，不符合实际意义，舍去
因此$a=1 \, \mathrm{m}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程应用，平移法求面积
【点评】
本题将几何面积计算与方程应用结合，采用平移法可快速简化草坪面积的计算过程，求解方程后要注意结合实际场景检验解的合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
