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三、解答题
8.解下列方程：
(1)$4x^2 -8x +1=0$；
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$。
8.解下列方程：
(1)$4x^2 -8x +1=0$；
(2)$(x-2)^2=2x(x-2)$。
答案
解：
(1) 对于方程$4x^2 -8x +1=0$，
移项得：$4x^2 -8x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 -2x = -\frac{1}{4}$，
配方得：$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$，
即$(x-1)^2 = \frac{3}{4}$，
两边开平方：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1 = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$(x-2)^2=2x(x-2)$，
移项得：$(x-2)^2 - 2x(x-2) = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-2 - 2x) = 0$，
整理得：$(x-2)(-x-2) = 0$，
因此$x-2=0$或$-x-2=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$。
(1) 对于方程$4x^2 -8x +1=0$，
移项得：$4x^2 -8x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 -2x = -\frac{1}{4}$，
配方得：$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$，
即$(x-1)^2 = \frac{3}{4}$，
两边开平方：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1 = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$(x-2)^2=2x(x-2)$，
移项得：$(x-2)^2 - 2x(x-2) = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-2 - 2x) = 0$，
整理得：$(x-2)(-x-2) = 0$，
因此$x-2=0$或$-x-2=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法：
(1) 方程$4x^2 -8x +1=0$是一元二次方程的一般形式，无明显可因式分解的特征，可选择配方法求解，步骤为：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，之后在等号两侧加上一次项系数一半的平方完成配方，最后开平方转化为一元一次方程求解即可；
(2) 方程$(x-2)^2=2x(x-2)$两侧都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接两边除以$(x-2)$（会漏根），应先移项，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解，转化为两个一元一次方程分别求解。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2 -8x +1=0$，
移项得：$4x^2 -8x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 -2x = -\frac{1}{4}$，
配方得：$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$，
即$(x-1)^2 = \frac{3}{4}$，
两边开平方：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1 = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$(x-2)^2=2x(x-2)$，
移项得：$(x-2)^2 - 2x(x-2) = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-2 - 2x) = 0$，
整理得：$(x-2)(-x-2) = 0$，
因此$x-2=0$或$-x-2=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
这是一元二次方程解法的基础练习题，需根据方程特点灵活选择解法，解题时要注意避免直接约去含未知数的因式导致漏根，熟练掌握各类解法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法：
(1) 方程$4x^2 -8x +1=0$是一元二次方程的一般形式，无明显可因式分解的特征，可选择配方法求解，步骤为：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，之后在等号两侧加上一次项系数一半的平方完成配方，最后开平方转化为一元一次方程求解即可；
(2) 方程$(x-2)^2=2x(x-2)$两侧都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接两边除以$(x-2)$（会漏根），应先移项，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解，转化为两个一元一次方程分别求解。
【解析】
(1) 对于方程$4x^2 -8x +1=0$，
移项得：$4x^2 -8x = -1$，
二次项系数化为1：$x^2 -2x = -\frac{1}{4}$，
配方得：$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$，
即$(x-1)^2 = \frac{3}{4}$，
两边开平方：$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：$x_1 = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2) 对于方程$(x-2)^2=2x(x-2)$，
移项得：$(x-2)^2 - 2x(x-2) = 0$，
因式分解得：$(x-2)(x-2 - 2x) = 0$，
整理得：$(x-2)(-x-2) = 0$，
因此$x-2=0$或$-x-2=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
这是一元二次方程解法的基础练习题，需根据方程特点灵活选择解法，解题时要注意避免直接约去含未知数的因式导致漏根，熟练掌握各类解法的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.某商店销售一款奥运会文化衫，每件进价为40元。规定销售单价不低于44元，且利润率不超过30％。试销售期间发现，当销售单价为44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件。设每天销售量为y件，销售单价上涨x元。
(1)y与x之间的关系式是。
(2)当销售单价为多少元时，该商店每天可获利2400元？
(1)y与x之间的关系式是。
(2)当销售单价为多少元时，该商店每天可获利2400元？
答案
解：(1) 由题意可得，销售量随x上涨减少10x件，结合售价限制：最高售价为$40×(1+30\%)=52$元，因此$0≤ x≤ 52-44=8$，
$y$与$x$之间的关系式是$\boldsymbol{y=300-10x\ (0≤ x≤ 8)}$。
(2) 根据总利润=单件利润×销售量，列方程：
$(44+x-40)(300-10x)=2400$
整理得：
$x^2-26x+120=0$
因式分解得：
$(x-6)(x-20)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=20$。
$\because 0≤ x≤ 8$，
$\therefore x=20$不符合题意，舍去。
此时销售单价为$44+6=50$元。
答：当销售单价为50元时，该商店每天可获利2400元。
$y$与$x$之间的关系式是$\boldsymbol{y=300-10x\ (0≤ x≤ 8)}$。
(2) 根据总利润=单件利润×销售量，列方程：
$(44+x-40)(300-10x)=2400$
整理得：
$x^2-26x+120=0$
因式分解得：
$(x-6)(x-20)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=20$。
$\because 0≤ x≤ 8$，
$\therefore x=20$不符合题意，舍去。
此时销售单价为$44+6=50$元。
答：当销售单价为50元时，该商店每天可获利2400元。
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数关系时，先依据“销售单价每涨1元，日销量减少10件”的规律，可得涨x元时日销量减少10x件，结合单价44元时销量300件即可写出关系式；再根据“利润率不超过30%”计算出最高销售单价，进而确定x的取值范围。
(2) 求获利2400元对应的售价，核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列方程，解出方程的根后，结合x的取值范围舍去不符合要求的根，最终计算对应销售单价即可。
【解析】
(1) 由题意，销售单价上涨x元时，日销量减少10x件，已知单价44元时日销量为300件，因此$y=300-10x$；
再计算最高销售单价：$40×(1+30\%)=52$元，因此x的最大值为$52-44=8$，又因为销售单价不低于44元，所以$x≥0$，即$0≤x≤8$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
单件利润为$(44+x-40)$元，销售量为$(300-10x)$件，可得：
$(44+x-40)(300-10x)=2400$
整理得：$x^2-26x+120=0$
因式分解得：$(x-6)(x-20)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=20$
$\because 0≤ x≤ 8$，$\therefore x=20$不符合题意，舍去。
此时销售单价为$44+6=50$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=300-10x\ (0≤ x≤ 8)}$
(2) 当销售单价为50元时，该商店每天可获利2400元。
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清销量、单价、利润之间的数量关系，尤其要注意题目中对销售单价的限制条件，求解方程后要检验根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数关系时，先依据“销售单价每涨1元，日销量减少10件”的规律，可得涨x元时日销量减少10x件，结合单价44元时销量300件即可写出关系式；再根据“利润率不超过30%”计算出最高销售单价，进而确定x的取值范围。
(2) 求获利2400元对应的售价，核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列方程，解出方程的根后，结合x的取值范围舍去不符合要求的根，最终计算对应销售单价即可。
【解析】
(1) 由题意，销售单价上涨x元时，日销量减少10x件，已知单价44元时日销量为300件，因此$y=300-10x$；
再计算最高销售单价：$40×(1+30\%)=52$元，因此x的最大值为$52-44=8$，又因为销售单价不低于44元，所以$x≥0$，即$0≤x≤8$。
(2) 根据总利润的等量关系列方程：
单件利润为$(44+x-40)$元，销售量为$(300-10x)$件，可得：
$(44+x-40)(300-10x)=2400$
整理得：$x^2-26x+120=0$
因式分解得：$(x-6)(x-20)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=20$
$\because 0≤ x≤ 8$，$\therefore x=20$不符合题意，舍去。
此时销售单价为$44+6=50$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=300-10x\ (0≤ x≤ 8)}$
(2) 当销售单价为50元时，该商店每天可获利2400元。
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清销量、单价、利润之间的数量关系，尤其要注意题目中对销售单价的限制条件，求解方程后要检验根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
10. 提升题＞如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm。动点P从点D出发,以1 cm/s的速度沿DA向终点A运动;动点Q从点A出发,以3 cm/s的速度沿AB→BC向终点C运动。若P,Q两点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动。设点P的运动时间为t s。
(1)当点P运动时,AP的长为(用含t的式子表示),t的取值范围是。
(2)当以A,P,Q为顶点的三角形的面积为6 cm²时,求t的值。
(1)当点P运动时,AP的长为(用含t的式子表示),t的取值范围是。
(2)当以A,P,Q为顶点的三角形的面积为6 cm²时,求t的值。
答案
$(8-t)\ \mathrm{cm}$；$0≤ t≤6$
(2) 分两种情况讨论：
① 当点Q在AB上运动时，$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，此时$AQ=3t$，$∠ PAQ=90°$，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AQ· AP=6$，得：
$\dfrac{1}{2}· 3t· (8-t)=6$
整理得$t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=4-2\sqrt{3}$，$t_2=4+2\sqrt{3}$。
$\because 4+2\sqrt{3}＞\dfrac{10}{3}$，不符合$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，舍去，
$\therefore t=4-2\sqrt{3}$符合题意。
② 当点Q在BC上运动时，$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，此时点Q到边AD的距离等于AB的长度10 cm，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AP· 10=6$，得：
$5(8-t)=6$
解得$t=6.8$。
$\because 6.8＞6$，不符合$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，舍去。
综上，$t$的值为$4-2\sqrt{3}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点Q在AB上运动时，$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，此时$AQ=3t$，$∠ PAQ=90°$，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AQ· AP=6$，得：
$\dfrac{1}{2}· 3t· (8-t)=6$
整理得$t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=4-2\sqrt{3}$，$t_2=4+2\sqrt{3}$。
$\because 4+2\sqrt{3}＞\dfrac{10}{3}$，不符合$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，舍去，
$\therefore t=4-2\sqrt{3}$符合题意。
② 当点Q在BC上运动时，$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，此时点Q到边AD的距离等于AB的长度10 cm，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AP· 10=6$，得：
$5(8-t)=6$
解得$t=6.8$。
$\because 6.8＞6$，不符合$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，舍去。
综上，$t$的值为$4-2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 先分析动点P的运动规律：P从D出发沿DA向A运动，速度为1cm/s，运动t秒后DP的长度为t cm，已知AD总长8cm，因此AP的长度可由AD减去DP得到。再确定t的取值范围：分别计算两个动点到达终点的时间，P到A点需要8÷1=8s，Q从A到C的总路程为AB+BC=18cm，速度3cm/s，需要18÷3=6s，因为一个动点到达终点后运动停止，所以t的最大值为6，结合运动初始t≥0，即可得到取值范围。
(2) 求△APQ面积为6时的t值，需按Q的位置分两类讨论：①Q在AB上运动时，∠PAQ为直角，△APQ是直角三角形，两条直角边分别为AP和AQ，结合面积公式列方程求解，再验证解是否在该段的时间范围内，不符合的舍去；②Q在BC上运动时，Q到AD的距离等于AB的长度10cm，△APQ的底为AP、高为10cm，同样按面积公式列方程求解，验证解是否符合该段时间范围，舍去不符合的解，最终得到正确的t值。
【解析】
(1)
∵动点P的速度为1 cm/s，运动t s后DP=t cm，AD=8 cm
∴AP=AD-DP=(8-t) cm
P到达终点A的时间为8÷1=8 s，Q到达终点C的总路程为10+8=18 cm，所需时间为18÷3=6 s，运动先在6s时停止，因此t的取值范围是0≤t≤6。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点Q在AB上运动时，0≤t≤$\dfrac{10}{3}$，此时AQ=3t，∠PAQ=90°，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AQ· AP=6$，代入得：
$\dfrac{1}{2}· 3t· (8-t)=6$
整理得$t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=4-2\sqrt{3}$，$t_2=4+2\sqrt{3}$。
∵$4+2\sqrt{3}＞\dfrac{10}{3}$，不符合$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，舍去，
∴$t=4-2\sqrt{3}$符合题意。
② 当点Q在BC上运动时，$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，此时点Q到边AD的距离等于AB的长度10 cm，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AP· 10=6$，代入AP=8-t得：
$5(8-t)=6$
解得$t=6.8$。
∵$6.8＞6$，不符合$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，舍去。
综上，$t$的值为$4-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $(8-t)\ \mathrm{cm}$；$0≤ t≤6$
(2) $t=4-2\sqrt{3}$
【知识点】
动点问题、一元二次方程的应用、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点分段求解问题，解题核心是根据动点的不同位置分类建立方程，同时要注意结合时间的取值范围对解进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 先分析动点P的运动规律：P从D出发沿DA向A运动，速度为1cm/s，运动t秒后DP的长度为t cm，已知AD总长8cm，因此AP的长度可由AD减去DP得到。再确定t的取值范围：分别计算两个动点到达终点的时间，P到A点需要8÷1=8s，Q从A到C的总路程为AB+BC=18cm，速度3cm/s，需要18÷3=6s，因为一个动点到达终点后运动停止，所以t的最大值为6，结合运动初始t≥0，即可得到取值范围。
(2) 求△APQ面积为6时的t值，需按Q的位置分两类讨论：①Q在AB上运动时，∠PAQ为直角，△APQ是直角三角形，两条直角边分别为AP和AQ，结合面积公式列方程求解，再验证解是否在该段的时间范围内，不符合的舍去；②Q在BC上运动时，Q到AD的距离等于AB的长度10cm，△APQ的底为AP、高为10cm，同样按面积公式列方程求解，验证解是否符合该段时间范围，舍去不符合的解，最终得到正确的t值。
【解析】
(1)
∵动点P的速度为1 cm/s，运动t s后DP=t cm，AD=8 cm
∴AP=AD-DP=(8-t) cm
P到达终点A的时间为8÷1=8 s，Q到达终点C的总路程为10+8=18 cm，所需时间为18÷3=6 s，运动先在6s时停止，因此t的取值范围是0≤t≤6。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点Q在AB上运动时，0≤t≤$\dfrac{10}{3}$，此时AQ=3t，∠PAQ=90°，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AQ· AP=6$，代入得：
$\dfrac{1}{2}· 3t· (8-t)=6$
整理得$t^2-8t+4=0$，
解得$t_1=4-2\sqrt{3}$，$t_2=4+2\sqrt{3}$。
∵$4+2\sqrt{3}＞\dfrac{10}{3}$，不符合$0≤ t≤ \dfrac{10}{3}$，舍去，
∴$t=4-2\sqrt{3}$符合题意。
② 当点Q在BC上运动时，$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，此时点Q到边AD的距离等于AB的长度10 cm，
由$S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}· AP· 10=6$，代入AP=8-t得：
$5(8-t)=6$
解得$t=6.8$。
∵$6.8＞6$，不符合$\dfrac{10}{3}＜ t≤6$，舍去。
综上，$t$的值为$4-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $(8-t)\ \mathrm{cm}$；$0≤ t≤6$
(2) $t=4-2\sqrt{3}$
【知识点】
动点问题、一元二次方程的应用、三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点分段求解问题，解题核心是根据动点的不同位置分类建立方程，同时要注意结合时间的取值范围对解进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
