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4.某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少。据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%。设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为
$(1-x)^2=70\%$
。答案
4.$(1-x)^2=70\%$
解析
【分析】
这是典型的连续降低率问题，解题时首先把前年的近视学生人数看作单位“1”，明确每年的人数变化基数：第一年（去年）的近视人数是在前年的基础上降低x，第二年（今年）的近视人数是在去年的基础上再降低x，最后根据“今年的近视学生人数是前年的70%”这一等量关系列方程即可。
【解析】
设前年近视学生人数为单位“1”：
1. 去年的近视学生人数为前年的$(1-x)$，即：$1×(1-x)=1-x$；
2. 今年的近视学生人数为去年的$(1-x)$，即：$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
3. 由题意可知今年近视学生人数是前年的70%，即等于$1×70\%$，因此可列方程：$(1-x)^2=70\%$。
【答案】
$(1-x)^2=70\%$
【知识点】
降低率问题；列一元二次方程
【点评】
本题属于百分率应用的基础题型，解题核心是找准连续两次变化的基数，明确“降低率”的计算逻辑，是一元二次方程实际应用的常考类型。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续降低率问题，解题时首先把前年的近视学生人数看作单位“1”，明确每年的人数变化基数：第一年（去年）的近视人数是在前年的基础上降低x，第二年（今年）的近视人数是在去年的基础上再降低x，最后根据“今年的近视学生人数是前年的70%”这一等量关系列方程即可。
【解析】
设前年近视学生人数为单位“1”：
1. 去年的近视学生人数为前年的$(1-x)$，即：$1×(1-x)=1-x$；
2. 今年的近视学生人数为去年的$(1-x)$，即：$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
3. 由题意可知今年近视学生人数是前年的70%，即等于$1×70\%$，因此可列方程：$(1-x)^2=70\%$。
【答案】
$(1-x)^2=70\%$
【知识点】
降低率问题；列一元二次方程
【点评】
本题属于百分率应用的基础题型，解题核心是找准连续两次变化的基数，明确“降低率”的计算逻辑，是一元二次方程实际应用的常考类型。
【难度系数】
0.8
5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得
$1+x+x^2=43$
。答案
5.$1+x+x^2=43$
解析
【分析】
解题时先明确计数的三类对象：主干、支干、小分支，分步计算每类的数量：①主干只有1个，是固定值；②题目设每个支干长出x个小分支，由“主干长出的支干数目=每个支干长出的小分支数目”可知，支干总共有x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数乘每个支干的小分支数，即$x· x=x^2$个。最后根据三者总数为43的等量关系，将三类数量相加即可列出方程。
【解析】
首先确定各部分的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 已知设每个支干长出x个小分支，因此主干长出的支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$；
根据“主干、支干和小分支的总数是43”的等量关系，将三部分数量相加得方程：
$1 + x + x^2 = 43$
【答案】
$1+x+x^2=43$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清不同层级结构的数量关系，分步计数避免漏算或重复计算，熟练掌握根据等量关系列代数式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确计数的三类对象：主干、支干、小分支，分步计算每类的数量：①主干只有1个，是固定值；②题目设每个支干长出x个小分支，由“主干长出的支干数目=每个支干长出的小分支数目”可知，支干总共有x个；③每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为支干数乘每个支干的小分支数，即$x· x=x^2$个。最后根据三者总数为43的等量关系，将三类数量相加即可列出方程。
【解析】
首先确定各部分的数量：
1. 主干的数量为1；
2. 已知设每个支干长出x个小分支，因此主干长出的支干总数量为x；
3. 每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$；
根据“主干、支干和小分支的总数是43”的等量关系，将三部分数量相加得方程：
$1 + x + x^2 = 43$
【答案】
$1+x+x^2=43$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清不同层级结构的数量关系，分步计数避免漏算或重复计算，熟练掌握根据等量关系列代数式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏。AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播。经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码。求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学。
答案
6.每一轮传播中,1名同学传给4名新同学。
解析
【分析】
这是一道传播类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先设所求的“1名同学每轮传给的新同学数量”为未知数x；第二步分步推导每轮传播后持有密码的人数：初始有6人持有密码，第一轮传播时每人传x人，传播后共6(1+x)人持有密码，减去本轮失去密码的6人，可得第一轮结束后持有密码的人数为6x；第三步推导第二轮传播后的人数：第二轮开始有6x人持有密码，传播后共6x(1+x)人持有密码，再减去本轮失去密码的6人，就等于两轮结束后实际持有的114人；第四步根据等量关系列方程求解，最后检验根是否符合实际意义（传播人数不能为负），舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：设每一轮传播中，1名同学传给$ x $名新同学。
第一轮传播结束后，持有密码的人数为：$ 6(1+x)-6=6x $
第二轮传播结束后，持有密码的人数为：$ 6x(1+x)-6 $
根据题意列方程：
$6x(1+x)-6=114$
整理得：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4)=0$
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=-5 $
因为传播人数不能为负数，所以$ x=-5 $不符合实际意义，舍去。
【答案】
每一轮传播中，1名同学传给4名新同学。
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题核心是准确梳理每一轮传播前后的人数变化规律，找到正确的等量关系列方程，同时要注意对求解得到的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
这是一道传播类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步先设所求的“1名同学每轮传给的新同学数量”为未知数x；第二步分步推导每轮传播后持有密码的人数：初始有6人持有密码，第一轮传播时每人传x人，传播后共6(1+x)人持有密码，减去本轮失去密码的6人，可得第一轮结束后持有密码的人数为6x；第三步推导第二轮传播后的人数：第二轮开始有6x人持有密码，传播后共6x(1+x)人持有密码，再减去本轮失去密码的6人，就等于两轮结束后实际持有的114人；第四步根据等量关系列方程求解，最后检验根是否符合实际意义（传播人数不能为负），舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：设每一轮传播中，1名同学传给$ x $名新同学。
第一轮传播结束后，持有密码的人数为：$ 6(1+x)-6=6x $
第二轮传播结束后，持有密码的人数为：$ 6x(1+x)-6 $
根据题意列方程：
$6x(1+x)-6=114$
整理得：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4)=0$
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=-5 $
因为传播人数不能为负数，所以$ x=-5 $不符合实际意义，舍去。
【答案】
每一轮传播中，1名同学传给4名新同学。
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题核心是准确梳理每一轮传播前后的人数变化规律，找到正确的等量关系列方程，同时要注意对求解得到的根进行实际意义的检验，舍去不符合题意的根。
【难度系数】
0.7
7.化学是一门以实验为基础的学科。小亮在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验。回到班上后，第一节课小亮手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验；第二节课小亮因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学。这样全班43名同学恰好都会做这个实验了。其中x的值为
6
。答案
7.6
解析
【分析】
解题时先分步梳理每阶段会做实验的人数：初始仅小亮1人会做实验；第一节课小亮教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课小亮请假，只有第一节课新学会的x名同学作为传染源，每人再教会x名同学，因此第二节课新学会的人数为x·x=x²；最终全班43人都学会，根据“初始会的人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数”列一元二次方程求解即可，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + x + x^2 = 43$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-7$
由于人数不能为负数，因此$x=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程实际应用题，解题核心是准确梳理每一轮传播的传染源数量和新增人数，求出方程的根后要结合实际场景判断根的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时先分步梳理每阶段会做实验的人数：初始仅小亮1人会做实验；第一节课小亮教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课小亮请假，只有第一节课新学会的x名同学作为传染源，每人再教会x名同学，因此第二节课新学会的人数为x·x=x²；最终全班43人都学会，根据“初始会的人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数”列一元二次方程求解即可，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + x + x^2 = 43$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：
$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-7$
由于人数不能为负数，因此$x=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类一元二次方程实际应用题，解题核心是准确梳理每一轮传播的传染源数量和新增人数，求出方程的根后要结合实际场景判断根的合理性。
【难度系数】
0.7
8.某超市经销的洗衣液中,甲、乙两个品牌比较畅销,其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶,乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元。在销售中,该超市发现,若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售,则每天固定售出100瓶,而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时,每天可售出140瓶,且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时,每天就会少售出2瓶。当乙品牌洗衣液每瓶的售价为多少元时,两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4 700元？
答案
8.当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时,两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从“总利润=甲品牌利润+乙品牌利润”的等量关系入手思考：①先计算甲品牌的固定利润，因为甲的售价、销量固定，可直接用“单瓶利润×销量”算出；②乙品牌的利润随售价变化，我们设乙品牌售价为x元/瓶，先确定乙的单瓶利润，再根据“售价每涨1元少卖2瓶”的规则表示出乙的日销量，两者相乘得到乙的利润；③最后根据总利润为4700元列方程求解，还要注意检验解是否符合实际销售场景。
【解析】
解：设当乙品牌洗衣液每瓶的售价为x元时，两种品牌每天的销售利润之和为4700元。
1. 计算甲品牌的日利润：
甲的单瓶利润为 $45 - 30 = 15$ 元，日销量固定为100瓶，因此甲的日利润为 $15 × 100 = 1500$ 元。
2. 表示乙品牌的相关量：
乙的进价为 $30 + 10 = 40$ 元/瓶，单瓶利润为 $(x - 40)$ 元；
乙的日销量：售价为x元时，比50元上涨了 $(x - 50)$ 元，因此少售出 $2(x - 50)$ 瓶，日销量为 $140 - 2(x - 50) = 240 - 2x$ 瓶。
3. 列方程并求解：
根据总利润为4700元，列方程：
$1500 + (x - 40)(240 - 2x) = 4700$
移项整理得：
$(x - 40)(240 - 2x) = 3200$
展开左边并整理为标准一元二次方程：
$x^2 - 160x + 6400 = 0$
因式分解得：
$(x - 80)^2 = 0$
解得 $x = 80$。
4. 检验：当x=80时，乙的日销量为 $240 - 2 × 80 = 80$ 瓶，销量为正，符合实际意义。
【答案】
当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时,两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，解题核心是准确梳理单价、销量、利润三者的变动关系，根据等量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以从“总利润=甲品牌利润+乙品牌利润”的等量关系入手思考：①先计算甲品牌的固定利润，因为甲的售价、销量固定，可直接用“单瓶利润×销量”算出；②乙品牌的利润随售价变化，我们设乙品牌售价为x元/瓶，先确定乙的单瓶利润，再根据“售价每涨1元少卖2瓶”的规则表示出乙的日销量，两者相乘得到乙的利润；③最后根据总利润为4700元列方程求解，还要注意检验解是否符合实际销售场景。
【解析】
解：设当乙品牌洗衣液每瓶的售价为x元时，两种品牌每天的销售利润之和为4700元。
1. 计算甲品牌的日利润：
甲的单瓶利润为 $45 - 30 = 15$ 元，日销量固定为100瓶，因此甲的日利润为 $15 × 100 = 1500$ 元。
2. 表示乙品牌的相关量：
乙的进价为 $30 + 10 = 40$ 元/瓶，单瓶利润为 $(x - 40)$ 元；
乙的日销量：售价为x元时，比50元上涨了 $(x - 50)$ 元，因此少售出 $2(x - 50)$ 瓶，日销量为 $140 - 2(x - 50) = 240 - 2x$ 瓶。
3. 列方程并求解：
根据总利润为4700元，列方程：
$1500 + (x - 40)(240 - 2x) = 4700$
移项整理得：
$(x - 40)(240 - 2x) = 3200$
展开左边并整理为标准一元二次方程：
$x^2 - 160x + 6400 = 0$
因式分解得：
$(x - 80)^2 = 0$
解得 $x = 80$。
4. 检验：当x=80时，乙的日销量为 $240 - 2 × 80 = 80$ 瓶，销量为正，符合实际意义。
【答案】
当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时,两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，解题核心是准确梳理单价、销量、利润三者的变动关系，根据等量关系列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
9.某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套。
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套。已知当售价为100元时，日均销量为40套。
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠。
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠。
（1）在普通顾客销售模式中，设售价降低$x$元（$x≥0$，且$x$为整数），用含$x$的代数式表示：实际售价为
（2）在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价。
（3）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的$\frac{1}{5}$，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套。已知当售价为100元时，日均销量为40套。
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠。
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠。
（1）在普通顾客销售模式中，设售价降低$x$元（$x≥0$，且$x$为整数），用含$x$的代数式表示：实际售价为
$(100-x)$
元；日均销量为$(5x+40)$
套。（2）在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价。
（3）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的$\frac{1}{5}$，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
9.(1)$(100-x)$ $(5x+40)$
(2)68元
(3)80元
(2)68元
(3)80元
解析
【分析】
（1）第一问求实际售价和日均销量：实际售价=原售价-降低的金额，直接代入数据即可；日均销量的变化规律为每降低2元多售10套，先计算降价x元时增加的销量，再加基础销量40套即可得到总销量。
（2）第二问为销售利润问题，核心等量关系是：单套利润×日均销量=总利润。先根据等量关系列一元二次方程求解，再结合“尽可能让利于顾客”的要求，选择降价幅度更大的解，对应得到最终售价。
（3）第三问先设普通顾客售价降低x元，分别表示出普通顾客售价、银卡/金卡会员的售价、三类顾客的销量；再根据“银卡总利润+金卡总利润=560元”列方程，求解后根据x为整数、售价不低于进价的实际要求取舍解，即可得到普通顾客的售价。
【解析】
（1）实际售价：原售价100元降低x元，因此实际售价为$\boldsymbol{(100-x)}$元；
日均销量：每降2元多售10套，降价x元时增加的销量为$\frac{x}{2}×10=5x$套，原有销量40套，因此日均销量为$40+5x=\boldsymbol{(5x+40)}$套。
（2）根据题意，单套利润为$(100-x-50)$元，销量为$(5x+40)$套，总利润为3600元，列方程：
$(100-x-50)(5x+40)=3600$
整理得：$(50-x)(5x+40)=3600$
展开化简：$x^2-42x+320=0$
因式分解：$(x-10)(x-32)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=32$
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择降价更多的$x=32$
此时售价为$100-32=68$元。
（3）设当日普通顾客售价降低x元，则普通顾客售价为$(100-x)$元，
普通顾客销量为$(5x+40)$套，银卡、金卡会员销量均为$\frac{1}{5}(5x+40)=x+8$套，
银卡会员单套利润：$0.8(100-x)-50=30-0.8x$元，
金卡会员单套利润：$0.7(100-x)-50=20-0.7x$元，
根据会员总利润560元列方程：
$(30-0.8x)(x+8)+(20-0.7x)(x+8)=560$
提取公因式化简得：$(50-1.5x)(x+8)=560$
整理得：$3x^2-76x+320=0$
因式分解：$(3x-16)(x-20)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=\frac{16}{3}$（x为整数，舍去）
此时普通顾客售价为$100-20=80$元，验证：银卡售价64元、金卡售价56元均高于进价50元，符合实际要求。
【答案】
(1)$(100-x)$；$(5x+40)$
(2)68元
(3)80元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景出题，需要准确梳理不同销售模式下售价、销量、利润的对应关系，列方程求解后要注意结合实际意义对解进行取舍，贴合实际应用的考察方向。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求实际售价和日均销量：实际售价=原售价-降低的金额，直接代入数据即可；日均销量的变化规律为每降低2元多售10套，先计算降价x元时增加的销量，再加基础销量40套即可得到总销量。
（2）第二问为销售利润问题，核心等量关系是：单套利润×日均销量=总利润。先根据等量关系列一元二次方程求解，再结合“尽可能让利于顾客”的要求，选择降价幅度更大的解，对应得到最终售价。
（3）第三问先设普通顾客售价降低x元，分别表示出普通顾客售价、银卡/金卡会员的售价、三类顾客的销量；再根据“银卡总利润+金卡总利润=560元”列方程，求解后根据x为整数、售价不低于进价的实际要求取舍解，即可得到普通顾客的售价。
【解析】
（1）实际售价：原售价100元降低x元，因此实际售价为$\boldsymbol{(100-x)}$元；
日均销量：每降2元多售10套，降价x元时增加的销量为$\frac{x}{2}×10=5x$套，原有销量40套，因此日均销量为$40+5x=\boldsymbol{(5x+40)}$套。
（2）根据题意，单套利润为$(100-x-50)$元，销量为$(5x+40)$套，总利润为3600元，列方程：
$(100-x-50)(5x+40)=3600$
整理得：$(50-x)(5x+40)=3600$
展开化简：$x^2-42x+320=0$
因式分解：$(x-10)(x-32)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=32$
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择降价更多的$x=32$
此时售价为$100-32=68$元。
（3）设当日普通顾客售价降低x元，则普通顾客售价为$(100-x)$元，
普通顾客销量为$(5x+40)$套，银卡、金卡会员销量均为$\frac{1}{5}(5x+40)=x+8$套，
银卡会员单套利润：$0.8(100-x)-50=30-0.8x$元，
金卡会员单套利润：$0.7(100-x)-50=20-0.7x$元，
根据会员总利润560元列方程：
$(30-0.8x)(x+8)+(20-0.7x)(x+8)=560$
提取公因式化简得：$(50-1.5x)(x+8)=560$
整理得：$3x^2-76x+320=0$
因式分解：$(3x-16)(x-20)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=\frac{16}{3}$（x为整数，舍去）
此时普通顾客售价为$100-20=80$元，验证：银卡售价64元、金卡售价56元均高于进价50元，符合实际要求。
【答案】
(1)$(100-x)$；$(5x+40)$
(2)68元
(3)80元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景出题，需要准确梳理不同销售模式下售价、销量、利润的对应关系，列方程求解后要注意结合实际意义对解进行取舍，贴合实际应用的考察方向。
【难度系数】
0.6
