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课前预习
| 序号 | 基础知识 |
| ---- | ---- |
| 1 | 利用一元二次方程解决图形和数字问题
（1）等积变形问题的关键是要结合几何图形的面积或体积公式，根据图形变化前后的面（体）积
（2）有关数字问题的应用题关键是能正确地表示多位数、奇偶数以及连续整数的形式。图1 |
| 2 | 动态问题及其他学科问题
解决动态问题是用“静”的方法来处理“动”的问题，首先要分析出动点的运动轨迹，然后再结合具体的几何图形，运用相关知识列出方程求解。 |
困惑疑问：
| 序号 | 基础知识 |
| ---- | ---- |
| 1 | 利用一元二次方程解决图形和数字问题
（1）等积变形问题的关键是要结合几何图形的面积或体积公式，根据图形变化前后的面（体）积
不变
这一特征列出方程；（2）有关数字问题的应用题关键是能正确地表示多位数、奇偶数以及连续整数的形式。图1 |
| 2 | 动态问题及其他学科问题
解决动态问题是用“静”的方法来处理“动”的问题，首先要分析出动点的运动轨迹，然后再结合具体的几何图形，运用相关知识列出方程求解。 |
困惑疑问：
答案
1.（1）不变
解析
【分析】
本题考查一元二次方程解决等积变形问题的核心等量关系。解题时先明确“等积变形”的含义：“等积”即面积或体积相等，“变形”指图形形状发生改变。我们列方程的关键就是找到不变的量作为等量关系，等积变形中变化的是图形形状，不变的是面（体）积，因此据此即可确定填空内容。
【解析】
等积变形问题的本质是图形形状改变，但变化前后的面积、体积大小保持不变，我们就是利用这一不变的等量关系，结合对应几何图形的面（体）积公式列出一元二次方程求解，因此此处应填写“不变”。
【答案】
1.（1）不变
【知识点】
1. 等积变形原理 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对利用一元二次方程解决实际问题中等积变形类问题核心特征的掌握，牢记相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程解决等积变形问题的核心等量关系。解题时先明确“等积变形”的含义：“等积”即面积或体积相等，“变形”指图形形状发生改变。我们列方程的关键就是找到不变的量作为等量关系，等积变形中变化的是图形形状，不变的是面（体）积，因此据此即可确定填空内容。
【解析】
等积变形问题的本质是图形形状改变，但变化前后的面积、体积大小保持不变，我们就是利用这一不变的等量关系，结合对应几何图形的面（体）积公式列出一元二次方程求解，因此此处应填写“不变”。
【答案】
1.（1）不变
【知识点】
1. 等积变形原理 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对利用一元二次方程解决实际问题中等积变形类问题核心特征的掌握，牢记相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
思考(1)动态几何问题是数形结合思想的体现,实质上是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使几何问题
(2)在运用数形结合思想分析和解决动态问题时要注意哪几点？
代数化
。(2)在运用数形结合思想分析和解决动态问题时要注意哪几点？
答案
(1)代数化
(2)第一,要理解几何图形的意义或规则;第二,要恰当设未知数,建立等量关系,以形想数,做到数形转化;第三,要正确确定未知数的范围。
(2)第一,要理解几何图形的意义或规则;第二,要恰当设未知数,建立等量关系,以形想数,做到数形转化;第三,要正确确定未知数的范围。
解析
【分析】
本题考查数形结合思想在动态几何问题中的应用。第(1)问需理解数形结合的核心作用：动态几何的图形运动特征可通过代数变量表示，本质是将几何问题转化为代数问题求解。第(2)问需结合动态几何的解题逻辑梳理注意事项：首先要明确几何本身的规则和性质，这是转化的前提；其次要完成形与数的对应转化，通过设未知数、找等量关系搭建联系；最后要兼顾几何的实际意义，确定未知数的合理范围。
【解析】
(1) 动态几何问题借助数形结合思想，可将图形的位置、长度、运动等几何属性转化为代数的变量、等量关系进行计算求解，实质上是实现几何问题代数化。
(2) 运用数形结合解决动态问题的注意事项可按解题逻辑梳理：
① 首先要明确研究的几何图形的性质、几何运动的规则和约束条件，理解几何本身的意义；
② 其次合理选取未知数，将几何量用代数形式表示，找到对应等量关系，实现形与数的相互转化；
③ 最后要结合几何的实际意义，正确确定未知数的取值范围，保证解符合几何实际。
【答案】
(1)代数化
(2)第一,要理解几何图形的意义或规则;第二,要恰当设未知数,建立等量关系,以形想数,做到数形转化;第三,要正确确定未知数的范围。
【知识点】
1.数形结合思想
2.动态几何问题解法
3.未知数取值范围确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查数形结合思想的应用逻辑，能够帮助学生理清动态几何问题的解题思路，理解代数与几何的内在关联。
【难度系数】
0.75
本题考查数形结合思想在动态几何问题中的应用。第(1)问需理解数形结合的核心作用：动态几何的图形运动特征可通过代数变量表示，本质是将几何问题转化为代数问题求解。第(2)问需结合动态几何的解题逻辑梳理注意事项：首先要明确几何本身的规则和性质，这是转化的前提；其次要完成形与数的对应转化，通过设未知数、找等量关系搭建联系；最后要兼顾几何的实际意义，确定未知数的合理范围。
【解析】
(1) 动态几何问题借助数形结合思想，可将图形的位置、长度、运动等几何属性转化为代数的变量、等量关系进行计算求解，实质上是实现几何问题代数化。
(2) 运用数形结合解决动态问题的注意事项可按解题逻辑梳理：
① 首先要明确研究的几何图形的性质、几何运动的规则和约束条件，理解几何本身的意义；
② 其次合理选取未知数，将几何量用代数形式表示，找到对应等量关系，实现形与数的相互转化；
③ 最后要结合几何的实际意义，正确确定未知数的取值范围，保证解符合几何实际。
【答案】
(1)代数化
(2)第一,要理解几何图形的意义或规则;第二,要恰当设未知数,建立等量关系,以形想数,做到数形转化;第三,要正确确定未知数的范围。
【知识点】
1.数形结合思想
2.动态几何问题解法
3.未知数取值范围确定
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查数形结合思想的应用逻辑，能够帮助学生理清动态几何问题的解题思路，理解代数与几何的内在关联。
【难度系数】
0.75
1.一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动了多少？若设梯子底端滑动了x m，依据题意列出的方程为
$(x+6)^2+7^2=10^2$
。答案
1.$(x+6)^2+7^2=10^2$
解析
【分析】
解题时首先要抓住梯子长度始终为10m这个不变量，结合勾股定理分析求解。第一步先计算滑动前梯子底端到墙的水平距离：初始状态下梯子、墙、地面构成直角三角形，斜边为梯子长10m，一条直角边是顶端垂直高度8m，用勾股定理即可算出另一条直角边即底端到墙的水平距离。第二步分析滑动后的各边长度：顶端下滑1m后，新的垂直高度为8-1=7m，底端滑动x m后，新的水平距离为原来的距离加x，此时梯子仍为斜边长度10m，再次用勾股定理就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算滑动前梯子底端与墙的水平距离：
初始状态下，由勾股定理可得，设初始底端距离为a，则$a^2 + 8^2 = 10^2$，解得$a=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$（长度取正值）。
2. 分析滑动后的直角三角形边长：
顶端下滑1m后，顶端距地面的垂直高度变为$8-1=7\ \mathrm{m}$；设底端滑动了$x\ \mathrm{m}$，则此时底端与墙的水平距离为$(6+x)\ \mathrm{m}$，梯子长度不变仍为10m。
3. 列方程：
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程为$(x+6)^2 + 7^2 = 10^2$。
【答案】
$(x+6)^2+7^2=10^2$
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的特点，结合直角三角形的勾股定理找到等量关系即可正确列式。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住梯子长度始终为10m这个不变量，结合勾股定理分析求解。第一步先计算滑动前梯子底端到墙的水平距离：初始状态下梯子、墙、地面构成直角三角形，斜边为梯子长10m，一条直角边是顶端垂直高度8m，用勾股定理即可算出另一条直角边即底端到墙的水平距离。第二步分析滑动后的各边长度：顶端下滑1m后，新的垂直高度为8-1=7m，底端滑动x m后，新的水平距离为原来的距离加x，此时梯子仍为斜边长度10m，再次用勾股定理就能列出对应方程。
【解析】
1. 计算滑动前梯子底端与墙的水平距离：
初始状态下，由勾股定理可得，设初始底端距离为a，则$a^2 + 8^2 = 10^2$，解得$a=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$（长度取正值）。
2. 分析滑动后的直角三角形边长：
顶端下滑1m后，顶端距地面的垂直高度变为$8-1=7\ \mathrm{m}$；设底端滑动了$x\ \mathrm{m}$，则此时底端与墙的水平距离为$(6+x)\ \mathrm{m}$，梯子长度不变仍为10m。
3. 列方程：
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程为$(x+6)^2 + 7^2 = 10^2$。
【答案】
$(x+6)^2+7^2=10^2$
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题核心是抓住梯子长度不变的特点，结合直角三角形的勾股定理找到等量关系即可正确列式。
【难度系数】
0.8
