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2.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m²的矩形场地,求矩形垂直于墙的一边的长度。若设围成的矩形垂直于墙的一边的长度为x m。根据题意可列方程为
$x(58-2x)=200$
。答案
2.$x(58-2x)=200$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要明确题目的等量关系：矩形场地的面积为200 m²。接下来需要用含x的代数式表示出矩形两条邻边的长度：已知垂直于墙的边长为x m，矩形有2条边垂直于墙，都需要用篱笆搭建，因此这两条边共消耗篱笆2x m；剩余的篱笆全部用于搭建平行于墙的边，因此平行于墙的边长为(58 - 2x)m。最后结合矩形面积公式，将两条边的长度代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设垂直于墙的一边的长度为x m。
∵ 矩形有2条垂直于墙的边，均由篱笆围成
∴ 两条垂直边消耗的篱笆总长度为2x m
∴ 平行于墙的边的长度为(58 - 2x)m
∵ 矩形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，且矩形面积为200 m²
∴ 可列方程：$x(58-2x)=200$
【答案】
$x(58-2x)=200$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何面积类的基础应用题，解题的关键是理清篱笆围合的边对应的长度，准确用含未知数的代数式表示出矩形的两条邻边，再结合面积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先要明确题目的等量关系：矩形场地的面积为200 m²。接下来需要用含x的代数式表示出矩形两条邻边的长度：已知垂直于墙的边长为x m，矩形有2条边垂直于墙，都需要用篱笆搭建，因此这两条边共消耗篱笆2x m；剩余的篱笆全部用于搭建平行于墙的边，因此平行于墙的边长为(58 - 2x)m。最后结合矩形面积公式，将两条边的长度代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设垂直于墙的一边的长度为x m。
∵ 矩形有2条垂直于墙的边，均由篱笆围成
∴ 两条垂直边消耗的篱笆总长度为2x m
∴ 平行于墙的边的长度为(58 - 2x)m
∵ 矩形面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，且矩形面积为200 m²
∴ 可列方程：$x(58-2x)=200$
【答案】
$x(58-2x)=200$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于几何面积类的基础应用题，解题的关键是理清篱笆围合的边对应的长度，准确用含未知数的代数式表示出矩形的两条邻边，再结合面积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
1.如图,在一块长15 m,宽10 m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路,剩余空地种植花苗,设道路的宽为x m,若种植花苗的面积为112 m²,依题意列方程为(
A.$10x + 15×2x = 150 - 112$
B.$10×2x + 15x = 150 - 112$
C.$(10 - 2x)(15 - x) = 112$
D.$(10 - x)(15 - 2x) = 112$
C
)。A.$10x + 15×2x = 150 - 112$
B.$10×2x + 15x = 150 - 112$
C.$(10 - 2x)(15 - x) = 112$
D.$(10 - x)(15 - 2x) = 112$
答案
1.C
解析
【分析】
解决这类道路占用面积的问题，优先采用平移法简化计算：我们可以将三条道路分别向矩形的边缘平移，此时种植花苗的空白区域会拼接成一个完整的新矩形，只需计算新矩形的长和宽，再结合已知的花苗面积即可列出方程。首先判断道路数量和方向：图中是两横一纵的等宽道路，横向道路会占用垂直方向的长度，纵向道路会占用水平方向的长度，注意不要直接加和道路面积，否则会重复计算道路交叉的重叠区域，导致结果错误。
【解析】
我们将两条横向道路向上平移、纵向道路向左平移后，种植花苗的区域拼接为一个新的矩形：
1. 新矩形的长：原矩形长15m减去纵向道路的宽度x，即长为$(15 - x)\,\mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽：原矩形宽10m减去两条横向道路的总宽度$2x$，即宽为$(10 - 2x)\,\mathrm{m}$；
3. 已知种植花苗的面积为$112\,\mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$(10 - 2x)(15 - x) = 112$。
其他选项错误原因：A、B选项计算道路面积时未扣除交叉处重叠的部分，计算错误；D选项混淆了横向、纵向道路的数量，不符合题图特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法简化图形
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题，平移法可以巧妙避开重叠区域的重复计算，降低解题难度，解题时要先明确道路的方向和数量，再对应计算新矩形的长宽。
【难度系数】
0.7
解决这类道路占用面积的问题，优先采用平移法简化计算：我们可以将三条道路分别向矩形的边缘平移，此时种植花苗的空白区域会拼接成一个完整的新矩形，只需计算新矩形的长和宽，再结合已知的花苗面积即可列出方程。首先判断道路数量和方向：图中是两横一纵的等宽道路，横向道路会占用垂直方向的长度，纵向道路会占用水平方向的长度，注意不要直接加和道路面积，否则会重复计算道路交叉的重叠区域，导致结果错误。
【解析】
我们将两条横向道路向上平移、纵向道路向左平移后，种植花苗的区域拼接为一个新的矩形：
1. 新矩形的长：原矩形长15m减去纵向道路的宽度x，即长为$(15 - x)\,\mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽：原矩形宽10m减去两条横向道路的总宽度$2x$，即宽为$(10 - 2x)\,\mathrm{m}$；
3. 已知种植花苗的面积为$112\,\mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：$(10 - 2x)(15 - x) = 112$。
其他选项错误原因：A、B选项计算道路面积时未扣除交叉处重叠的部分，计算错误；D选项混淆了横向、纵向道路的数量，不符合题图特征。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，平移法简化图形
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题，平移法可以巧妙避开重叠区域的重复计算，降低解题难度，解题时要先明确道路的方向和数量，再对应计算新矩形的长宽。
【难度系数】
0.7
2.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地。如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为(
A.$x(6+x)=8$
B.$6(1+x)^2=8$
C.$x(6-2x)=8$
D.$x(6-x)=8$
D
)。A.$x(6+x)=8$
B.$6(1+x)^2=8$
C.$x(6-2x)=8$
D.$x(6-x)=8$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先结合图形理解题意：矩形菜地相邻两边靠直角围墙，因此篱笆仅需围剩下的两条相邻边，总长度为6米。已知其中一条边长为x米，可先表示出另一条边的长度，再根据矩形面积=长×宽，结合面积为8平方米的条件即可列出对应方程。
【解析】
因为矩形菜地的两边依靠直角围墙，所以总长6米的篱笆是矩形两条相邻边的长度和。
已知矩形的一边长为x米，则另一相邻边长为$(6 - x)$米。
根据矩形面积公式，菜地面积为两条邻边的乘积，已知面积为8平方米，因此可列方程：
$x(6 - x) = 8$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题的核心是结合场景特点明确篱笆对应的是矩形的两条邻边，避免错误认为篱笆围三条或四条边，再结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形理解题意：矩形菜地相邻两边靠直角围墙，因此篱笆仅需围剩下的两条相邻边，总长度为6米。已知其中一条边长为x米，可先表示出另一条边的长度，再根据矩形面积=长×宽，结合面积为8平方米的条件即可列出对应方程。
【解析】
因为矩形菜地的两边依靠直角围墙，所以总长6米的篱笆是矩形两条相邻边的长度和。
已知矩形的一边长为x米，则另一相邻边长为$(6 - x)$米。
根据矩形面积公式，菜地面积为两条邻边的乘积，已知面积为8平方米，因此可列方程：
$x(6 - x) = 8$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题的核心是结合场景特点明确篱笆对应的是矩形的两条邻边，避免错误认为篱笆围三条或四条边，再结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点$P$沿$AB$边从点$A$出发向终点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动;同时点$Q$沿$BC$边从点$B$出发向终点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动。当$△ PBQ$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$时,点$P$运动的时间是（
A.$2\ \mathrm{s}$
B.$2\ \mathrm{s}$或$6\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$6\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$
A
）。A.$2\ \mathrm{s}$
B.$2\ \mathrm{s}$或$6\ \mathrm{s}$
C.$6\ \mathrm{s}$
D.$6\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$
答案
3.A
解析
【分析】
这是动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：第一步先设点P的运动时间为t秒，根据动点的速度和运动方向，用含t的代数式分别表示出线段BP、BQ的长度；第二步先确定t的取值范围：由于两点中任意一点到达终点就停止运动，分别计算P、Q走完全程的时间，取较小值作为t的最大值；第三步结合△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列一元二次方程；第四步解方程后，结合t的取值范围舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设点P的运动时间为$ t\ \mathrm{s} $。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $，则$ BP = AB - AP = (8 - t)\ \mathrm{cm} $。
先确定t的取值范围：
点P走完全程AB需要的时间：$ 8÷1=8\ \mathrm{s} $，
点Q走完全程BC需要的时间：$ 6÷2=3\ \mathrm{s} $，
因此$ 0≤ t≤3 $。
因为$ ∠ B=90° $，所以$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× BP× BQ $，已知面积为$ 12\ \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$\frac{1}{2}×(8-t)×2t = 12$
化简得：$ t(8-t)=12 $，整理为标准一元二次方程：
$t^2 -8t +12=0$
因式分解得$ (t-2)(t-6)=0 $，解得$ t_1=2 $，$ t_2=6 $。
由于$ t≤3 $，故$ t=6 $不符合题意，舍去，因此$ t=2\ \mathrm{s} $。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；动点问题计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于常见的几何动点与方程结合的应用题，解题的核心是正确用运动时间表示出相关线段的长度，结合几何公式列方程，尤其要注意根据动点的运动限制对解出的根进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：第一步先设点P的运动时间为t秒，根据动点的速度和运动方向，用含t的代数式分别表示出线段BP、BQ的长度；第二步先确定t的取值范围：由于两点中任意一点到达终点就停止运动，分别计算P、Q走完全程的时间，取较小值作为t的最大值；第三步结合△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列一元二次方程；第四步解方程后，结合t的取值范围舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设点P的运动时间为$ t\ \mathrm{s} $。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $，则$ BP = AB - AP = (8 - t)\ \mathrm{cm} $。
先确定t的取值范围：
点P走完全程AB需要的时间：$ 8÷1=8\ \mathrm{s} $，
点Q走完全程BC需要的时间：$ 6÷2=3\ \mathrm{s} $，
因此$ 0≤ t≤3 $。
因为$ ∠ B=90° $，所以$ S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× BP× BQ $，已知面积为$ 12\ \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$\frac{1}{2}×(8-t)×2t = 12$
化简得：$ t(8-t)=12 $，整理为标准一元二次方程：
$t^2 -8t +12=0$
因式分解得$ (t-2)(t-6)=0 $，解得$ t_1=2 $，$ t_2=6 $。
由于$ t≤3 $，故$ t=6 $不符合题意，舍去，因此$ t=2\ \mathrm{s} $。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；动点问题计算；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于常见的几何动点与方程结合的应用题，解题的核心是正确用运动时间表示出相关线段的长度，结合几何公式列方程，尤其要注意根据动点的运动限制对解出的根进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
4.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'处，则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意列方程为
$5^2+(x-1)^2=x^2$
。答案
4.$5^2+(x-1)^2=x^2$
解析
【分析】
解题时先梳理各量的关联：首先设芦苇长为x尺，结合芦苇高出水面1尺的条件可表示出水深；再根据水池是边长为10尺的正方形，可求出芦苇根部到岸边的水平距离；芦苇被拉到岸边后长度不变，此时水深、水平距离与芦苇长度刚好构成直角三角形，利用勾股定理就能列出对应的方程。
【解析】
设芦苇的长度为x尺：
1. 已知芦苇高出水面部分BC为1尺，因此水深为$(x-1)$尺；
2. 水池水面是边长为10尺的正方形，芦苇生长在水池正中央，因此芦苇根部A到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺；
3. 把芦苇拉向岸边后芦苇长度不变，即直角三角形的斜边长度为x尺，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$5^2 + (x-1)^2 = x^2$。
【答案】
$5^2+(x-1)^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是经典的古代数学应用问题，核心是结合几何图形梳理各边的数量关系，再借助勾股定理建立等量关系列方程，解题的关键是准确表示出直角三角形的三条边长。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理各量的关联：首先设芦苇长为x尺，结合芦苇高出水面1尺的条件可表示出水深；再根据水池是边长为10尺的正方形，可求出芦苇根部到岸边的水平距离；芦苇被拉到岸边后长度不变，此时水深、水平距离与芦苇长度刚好构成直角三角形，利用勾股定理就能列出对应的方程。
【解析】
设芦苇的长度为x尺：
1. 已知芦苇高出水面部分BC为1尺，因此水深为$(x-1)$尺；
2. 水池水面是边长为10尺的正方形，芦苇生长在水池正中央，因此芦苇根部A到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺；
3. 把芦苇拉向岸边后芦苇长度不变，即直角三角形的斜边长度为x尺，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$5^2 + (x-1)^2 = x^2$。
【答案】
$5^2+(x-1)^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是经典的古代数学应用问题，核心是结合几何图形梳理各边的数量关系，再借助勾股定理建立等量关系列方程，解题的关键是准确表示出直角三角形的三条边长。
【难度系数】
0.7
5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形有
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理。
（1）第5个图案中黑色三角形有
15
个；（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理。
答案
5.解:(1)15
(2)不能 理由:第n个图案中黑色三角形的个数为$1+2+3+\dots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$,令$\frac{1}{2}n(n+1)=50$,解得$n=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}$,不是整数,不合题意。
(2)不能 理由:第n个图案中黑色三角形的个数为$1+2+3+\dots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$,令$\frac{1}{2}n(n+1)=50$,解得$n=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}$,不是整数,不合题意。
解析
【分析】
解题时先探究图案的变化规律：观察可知第①个图案黑色三角形个数为1，第②个为1+2，第③个为1+2+3，可推出第n个图案的黑色三角形个数是前n个正整数的和，可用求和公式表示。（1）将n=5代入规律式计算即可得结果；（2）先写出第n个的表达式，令其等于50得到一元二次方程，求解后判断根是否为正整数，若不是则说明不能，符合实际问题中n需为正整数的要求。
【解析】
（1）观察图案规律：
第①个图案黑色三角形个数：$1=1$
第②个图案黑色三角形个数：$3=1+2$
第③个图案黑色三角形个数：$6=1+2+3$
以此类推，第$k$个图案黑色三角形个数为$1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$
当$k=5$时，个数为$\frac{5×(5+1)}{2}=15$
（2）第n个图案黑色三角形个数为$\frac{n(n+1)}{2}$，令$\frac{n(n+1)}{2}=50$
整理得：$n^2 +n -100=0$
由求根公式得$n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-100)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}$
∵n代表图案序号，必须为正整数，而$\sqrt{401}$不是整数，因此所得的根不是正整数，不符合题意
∴第n个图案中黑色三角形的个数不能是50。
【答案】
（1）$\boxed{15}$；（2）不能，理由见解析。
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程求解；方程解的合理性检验
【点评】
本题将图形规律探究和一元二次方程的应用结合，既考查了归纳总结的逻辑思维能力，又考查了一元二次方程的解法以及实际问题中解的取舍原则，是规律类问题结合方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先探究图案的变化规律：观察可知第①个图案黑色三角形个数为1，第②个为1+2，第③个为1+2+3，可推出第n个图案的黑色三角形个数是前n个正整数的和，可用求和公式表示。（1）将n=5代入规律式计算即可得结果；（2）先写出第n个的表达式，令其等于50得到一元二次方程，求解后判断根是否为正整数，若不是则说明不能，符合实际问题中n需为正整数的要求。
【解析】
（1）观察图案规律：
第①个图案黑色三角形个数：$1=1$
第②个图案黑色三角形个数：$3=1+2$
第③个图案黑色三角形个数：$6=1+2+3$
以此类推，第$k$个图案黑色三角形个数为$1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$
当$k=5$时，个数为$\frac{5×(5+1)}{2}=15$
（2）第n个图案黑色三角形个数为$\frac{n(n+1)}{2}$，令$\frac{n(n+1)}{2}=50$
整理得：$n^2 +n -100=0$
由求根公式得$n=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-100)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{401}}{2}$
∵n代表图案序号，必须为正整数，而$\sqrt{401}$不是整数，因此所得的根不是正整数，不符合题意
∴第n个图案中黑色三角形的个数不能是50。
【答案】
（1）$\boxed{15}$；（2）不能，理由见解析。
【知识点】
图形规律探究；一元二次方程求解；方程解的合理性检验
【点评】
本题将图形规律探究和一元二次方程的应用结合，既考查了归纳总结的逻辑思维能力，又考查了一元二次方程的解法以及实际问题中解的取舍原则，是规律类问题结合方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
