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6. 如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米。
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长。
(2)围成的花圃面积能否为75平方米？如果能，请求出BC的长；如果不能，请说明理由。
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长。
(2)围成的花圃面积能否为75平方米？如果能，请求出BC的长；如果不能，请说明理由。
答案
6.(1)BC的长为4米。
(2)不能围成。理由略。
(2)不能围成。理由略。
解析
【分析】
对于这类靠墙围矩形的实际问题，首先明确未知数的设定：设与墙平行的边BC的长为x米，结合篱笆总长可表示出与墙垂直的边长为$\frac{24-x}{2}$米，同时需注意x的取值范围为$0＜x≤15$（受墙的最大可用长度限制）。
(1) 利用矩形面积=长×宽，结合已知面积40平方米列一元二次方程，求解后根据x的取值范围取舍根即可得到BC的长；
(2) 假设面积能为75平方米，同上述思路列方程，通过判断方程是否有符合取值范围的实数根，即可确定能否围成对应面积的花圃。
【解析】
(1) 设BC的长为$x$米，由题意得$0＜x≤15$，则AB的长为$\frac{24-x}{2}$米。
根据矩形面积公式列方程：
$x·\frac{24-x}{2}=40$
整理得：$x^2-24x+80=0$
因式分解得：$(x-4)(x-20)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=20$
∵ $20＞15$，不符合墙的最大长度限制，故舍去$x_2=20$
∴ $x=4$，即BC的长为4米。
(2) 不能围成，理由如下：
假设围成的花圃面积为75平方米，列方程：
$x·\frac{24-x}{2}=75$
整理得：$x^2-24x+150=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2-4×1×150=576-600=-24＜0$
∴ 该一元二次方程没有实数根，因此无法围成面积为75平方米的花圃。
【答案】
(1) BC的长为4米；
(2) 不能围成。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决面积实际问题的典型题，解题核心是找准等量关系列方程，需特别注意实际问题中未知数的取值范围，对求解出的根要验证是否符合实际条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
对于这类靠墙围矩形的实际问题，首先明确未知数的设定：设与墙平行的边BC的长为x米，结合篱笆总长可表示出与墙垂直的边长为$\frac{24-x}{2}$米，同时需注意x的取值范围为$0＜x≤15$（受墙的最大可用长度限制）。
(1) 利用矩形面积=长×宽，结合已知面积40平方米列一元二次方程，求解后根据x的取值范围取舍根即可得到BC的长；
(2) 假设面积能为75平方米，同上述思路列方程，通过判断方程是否有符合取值范围的实数根，即可确定能否围成对应面积的花圃。
【解析】
(1) 设BC的长为$x$米，由题意得$0＜x≤15$，则AB的长为$\frac{24-x}{2}$米。
根据矩形面积公式列方程：
$x·\frac{24-x}{2}=40$
整理得：$x^2-24x+80=0$
因式分解得：$(x-4)(x-20)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=20$
∵ $20＞15$，不符合墙的最大长度限制，故舍去$x_2=20$
∴ $x=4$，即BC的长为4米。
(2) 不能围成，理由如下：
假设围成的花圃面积为75平方米，列方程：
$x·\frac{24-x}{2}=75$
整理得：$x^2-24x+150=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-24)^2-4×1×150=576-600=-24＜0$
∴ 该一元二次方程没有实数根，因此无法围成面积为75平方米的花圃。
【答案】
(1) BC的长为4米；
(2) 不能围成。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决面积实际问题的典型题，解题核心是找准等量关系列方程，需特别注意实际问题中未知数的取值范围，对求解出的根要验证是否符合实际条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
7.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的宽为x步，由题意可列方程为
$x(60-x)=864$
。答案
7.$x(60-x)=864$
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形的面积=长×宽。已知设矩形的宽为x步，根据“长与宽共60步”可先用含x的代数式表示出长，再将长、宽以及已知的面积值代入面积公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$x$步，
由“长与宽共60步”可得，长为$(60-x)$步，
已知矩形面积为864平方步，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$x(60-x)=864$
【答案】
$x(60-x)=864$
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式，列代数式
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查列方程解应用题的基本思路，解题关键是找准题目中的等量关系，正确用未知数表示出未知量后代入等量关系即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形的面积=长×宽。已知设矩形的宽为x步，根据“长与宽共60步”可先用含x的代数式表示出长，再将长、宽以及已知的面积值代入面积公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$x$步，
由“长与宽共60步”可得，长为$(60-x)$步，
已知矩形面积为864平方步，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$x(60-x)=864$
【答案】
$x(60-x)=864$
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式，列代数式
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查列方程解应用题的基本思路，解题关键是找准题目中的等量关系，正确用未知数表示出未知量后代入等量关系即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8.如图,这是一张月历表.在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数(如2,
3,9,10)。
(1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为
(2)在小组活动中,小亮通过计算,得到框出的4个数之和为45。小莹认为小亮一定算错了。小莹的说法正确吗?说明理由。
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105,求这4个数中最小的数。
3,9,10)。
(1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为
$x+8$
(用含x的代数式表示)。(2)在小组活动中,小亮通过计算,得到框出的4个数之和为45。小莹认为小亮一定算错了。小莹的说法正确吗?说明理由。
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105,求这4个数中最小的数。
答案
8.(1)$x+8$
(2)小莹的说法正确,理由如下:
设圈出的4个数中最小的数为m,则其他三个数分别为$m+1,m+7,m+8$,
因为框出的4个数之和为45,
所以$m+m+1+m+7+m+8=45$,
解得$m=\frac{29}{4}$,
因为m为整数,
所以$m=\frac{29}{4}$不符合题意,
所以小亮一定算错了,小莹的说法正确。
(3)7
(2)小莹的说法正确,理由如下:
设圈出的4个数中最小的数为m,则其他三个数分别为$m+1,m+7,m+8$,
因为框出的4个数之和为45,
所以$m+m+1+m+7+m+8=45$,
解得$m=\frac{29}{4}$,
因为m为整数,
所以$m=\frac{29}{4}$不符合题意,
所以小亮一定算错了,小莹的说法正确。
(3)7
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确月历表中2×2方框内4个数字的排列规律：同一行相邻两个数差1，同一列上下两个数差7，因此方框内左上角的数最小，右下角的数最大，最大数比最小数大8。
(1)已知最小数为x，结合上述规律可直接写出最大数的表达式；
(2)要判断小亮的计算是否正确，可设最小数为m，用含m的代数式表示另外三个数，根据四个数的和为45列方程求解，若解得的m不是正整数，则说明计算错误，因为日期一定是正整数；
(3)设最小数为x，最大数为x+8，根据两数乘积为105列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到最小数。
【解析】
(1) 月历中同一行相邻数差1，同一列上下相邻数差7，因此圈出的四个数中，最小数为x时，它右侧的数为$x+1$，它下方的数为$x+7$，右下角最大的数为$x+7+1=x+8$。
(2) 小莹的说法正确，理由如下：
设圈出的4个数中最小的数为$m$，则其余三个数分别为$m+1$、$m+7$、$m+8$。
根据四个数之和为45，列方程：
$m+(m+1)+(m+7)+(m+8)=45$
合并同类项得：$4m+16=45$
解得：$m=\frac{29}{4}$
因为日期必须为正整数，$\frac{29}{4}$不是整数，不符合实际意义，因此小亮的计算错误，小莹的说法正确。
(3) 设这4个数中最小的数为$x$，则最大的数为$x+8$。
根据题意列方程：$x(x+8)=105$
整理得：$x^2+8x-105=0$
因式分解得：$(x+15)(x-7)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-15$
因为日期为正整数，所以$x=-15$不符合题意，舍去。
因此最小的数为7。
【答案】
(1)$x+8$
(2)小莹的说法正确，理由见解析
(3)7
【知识点】
月历数字规律、一元一次方程应用、一元二次方程应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查方程的实际应用，解题的关键是准确把握月历中数字的排列规律，同时要注意日期为正整数这一隐含条件，求解后需检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先明确月历表中2×2方框内4个数字的排列规律：同一行相邻两个数差1，同一列上下两个数差7，因此方框内左上角的数最小，右下角的数最大，最大数比最小数大8。
(1)已知最小数为x，结合上述规律可直接写出最大数的表达式；
(2)要判断小亮的计算是否正确，可设最小数为m，用含m的代数式表示另外三个数，根据四个数的和为45列方程求解，若解得的m不是正整数，则说明计算错误，因为日期一定是正整数；
(3)设最小数为x，最大数为x+8，根据两数乘积为105列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根，即可得到最小数。
【解析】
(1) 月历中同一行相邻数差1，同一列上下相邻数差7，因此圈出的四个数中，最小数为x时，它右侧的数为$x+1$，它下方的数为$x+7$，右下角最大的数为$x+7+1=x+8$。
(2) 小莹的说法正确，理由如下：
设圈出的4个数中最小的数为$m$，则其余三个数分别为$m+1$、$m+7$、$m+8$。
根据四个数之和为45，列方程：
$m+(m+1)+(m+7)+(m+8)=45$
合并同类项得：$4m+16=45$
解得：$m=\frac{29}{4}$
因为日期必须为正整数，$\frac{29}{4}$不是整数，不符合实际意义，因此小亮的计算错误，小莹的说法正确。
(3) 设这4个数中最小的数为$x$，则最大的数为$x+8$。
根据题意列方程：$x(x+8)=105$
整理得：$x^2+8x-105=0$
因式分解得：$(x+15)(x-7)=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-15$
因为日期为正整数，所以$x=-15$不符合题意，舍去。
因此最小的数为7。
【答案】
(1)$x+8$
(2)小莹的说法正确，理由见解析
(3)7
【知识点】
月历数字规律、一元一次方程应用、一元二次方程应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查方程的实际应用，解题的关键是准确把握月历中数字的排列规律，同时要注意日期为正整数这一隐含条件，求解后需检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9.有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽度为2米的纵横小路(阴影部分)，余下的场地建成草坪。
(1)如图①，在矩形场地上修筑两条纵横小路。
①请写出两条小路的面积之和S=
②若$a:b=2:1$，且草坪的总面积为312平方米，求原来矩形场地的长与宽各为多少米。
(2)如图②，在矩形场地上修筑多条纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路(m,n为常数)，若$a=28$，$b=14$，且草坪的总面积为120平方米，求$m+n$的值。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)如图①，在矩形场地上修筑两条纵横小路。
①请写出两条小路的面积之和S=
$(2a+2b-4)$平方米
(用含a,b的代数式表示)；②若$a:b=2:1$，且草坪的总面积为312平方米，求原来矩形场地的长与宽各为多少米。
(2)如图②，在矩形场地上修筑多条纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路(m,n为常数)，若$a=28$，$b=14$，且草坪的总面积为120平方米，求$m+n$的值。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
9.(1)①$(2a+2b-4)$平方米 ②长为28米,宽为14米。
(2)$m+n=8$或10。
(2)$m+n=8$或10。
解析
【分析】
(1)①先分别计算纵横两条小路的面积：纵向小路面积为2b，横向小路面积为2a，两条小路交叉的2×2正方形区域被重复计算1次，减去重复的面积即可得到小路总面积。
②已知a与b的比例关系，设宽为x，则长为2x，根据“草坪面积=矩形总面积-小路面积”列一元二次方程，求解即可得到矩形的长宽。
(2)m条水平小路总高度为2m，因此草坪部分的总宽度为$b-2m$；n条竖直小路总宽度为2n，因此草坪部分的总长度为$a-2n$，根据草坪面积=草坪部分的长×宽列等式，化简后结合m、n为正整数、草坪长宽均为正数的条件，找出所有符合的m、n值，即可计算$m+n$。
【解析】
(1)①纵向小路面积为$2b$平方米，横向小路面积为$2a$平方米，交叉部分面积为$2×2=4$平方米，因此小路面积之和$S=2a+2b-4$平方米。
②设矩形场地的宽为$x$米，由$a:b=2:1$得长为$2x$米，根据题意列方程：
$2x· x-(2×2x + 2x -4)=312$
整理得$x^2-3x-154=0$，因式分解为$(x-14)(x+11)=0$，解得$x_1=14$，$x_2=-11$（不符合实际，舍去）。
因此宽为14米，长为$2×14=28$米。
(2)由题意得，草坪的长为$(28-2n)$米，宽为$(14-2m)$米，且$28-2n＞0$，$14-2m＞0$，即$n＜14$，$m＜7$，m、n均为正整数，列方程：
$(28-2n)(14-2m)=120$
两边除以4化简得$(14-n)(7-m)=30$。
30的正整数因数对为$(1,30),(2,15),(3,10),(5,6),(6,5),(10,3),(15,2),(30,1)$，结合$7-m＜7$筛选得：
当$7-m=3$时，$m=4$，$14-n=10$，$n=4$，$m+n=8$；
当$7-m=5$时，$m=2$，$14-n=6$，$n=8$，$m+n=10$；
当$7-m=6$时，$m=1$，$14-n=5$，$n=9$，$m+n=10$。
因此$m+n$的值为8或10。
【答案】
(1)①$(2a+2b-4)$平方米；②长为28米，宽为14米；(2)$m+n=8$或$10$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数式表示和方程的实际应用，解题时要注意小路交叉部分面积重复计算的问题，第二问需结合正整数的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)①先分别计算纵横两条小路的面积：纵向小路面积为2b，横向小路面积为2a，两条小路交叉的2×2正方形区域被重复计算1次，减去重复的面积即可得到小路总面积。
②已知a与b的比例关系，设宽为x，则长为2x，根据“草坪面积=矩形总面积-小路面积”列一元二次方程，求解即可得到矩形的长宽。
(2)m条水平小路总高度为2m，因此草坪部分的总宽度为$b-2m$；n条竖直小路总宽度为2n，因此草坪部分的总长度为$a-2n$，根据草坪面积=草坪部分的长×宽列等式，化简后结合m、n为正整数、草坪长宽均为正数的条件，找出所有符合的m、n值，即可计算$m+n$。
【解析】
(1)①纵向小路面积为$2b$平方米，横向小路面积为$2a$平方米，交叉部分面积为$2×2=4$平方米，因此小路面积之和$S=2a+2b-4$平方米。
②设矩形场地的宽为$x$米，由$a:b=2:1$得长为$2x$米，根据题意列方程：
$2x· x-(2×2x + 2x -4)=312$
整理得$x^2-3x-154=0$，因式分解为$(x-14)(x+11)=0$，解得$x_1=14$，$x_2=-11$（不符合实际，舍去）。
因此宽为14米，长为$2×14=28$米。
(2)由题意得，草坪的长为$(28-2n)$米，宽为$(14-2m)$米，且$28-2n＞0$，$14-2m＞0$，即$n＜14$，$m＜7$，m、n均为正整数，列方程：
$(28-2n)(14-2m)=120$
两边除以4化简得$(14-n)(7-m)=30$。
30的正整数因数对为$(1,30),(2,15),(3,10),(5,6),(6,5),(10,3),(15,2),(30,1)$，结合$7-m＜7$筛选得：
当$7-m=3$时，$m=4$，$14-n=10$，$n=4$，$m+n=8$；
当$7-m=5$时，$m=2$，$14-n=6$，$n=8$，$m+n=10$；
当$7-m=6$时，$m=1$，$14-n=5$，$n=9$，$m+n=10$。
因此$m+n$的值为8或10。
【答案】
(1)①$(2a+2b-4)$平方米；②长为28米，宽为14米；(2)$m+n=8$或$10$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数式表示和方程的实际应用，解题时要注意小路交叉部分面积重复计算的问题，第二问需结合正整数的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
