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★例4 下列式子中，合并同类项正确的是（
A.$2x^2 + 3x^2 = 5x^2$
B.$x^2 - 3x^2 = 2x^2$
C.$4xy - 3xy = 1$
D.$2x^3 + 3x^3 = 5x^6$
A
）A.$2x^2 + 3x^2 = 5x^2$
B.$x^2 - 3x^2 = 2x^2$
C.$4xy - 3xy = 1$
D.$2x^3 + 3x^3 = 5x^6$
答案
A
解析
【分析】
要判断合并同类项是否正确，首先需要明确合并同类项的法则：合并同类项时，仅把同类项的系数相加减，所含字母和字母的指数保持不变。解题时我们只需要按照这个法则，逐一验证每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2x^2$和$3x^2$是同类项，系数相加得$2+3=5$，字母和指数不变，结果为$5x^2$，计算正确。
B选项：$x^2-3x^2$的系数运算为$1-3=-2$，正确结果应为$-2x^2$，选项结果错误。
C选项：$4xy-3xy$的系数运算为$4-3=1$，结果应为$xy$，选项漏写了字母部分，错误。
D选项：$2x^3+3x^3$的系数相加得$5$，字母指数保持3不变，正确结果应为$5x^3$，选项错误将指数相加，错误。
综上，只有A选项合并正确。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项法则；同类项的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查合并同类项的运算规则，解题时要注意避免三类常见错误：系数加减符号出错、漏写字母部分、错误改变字母的指数，牢记法则即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要判断合并同类项是否正确，首先需要明确合并同类项的法则：合并同类项时，仅把同类项的系数相加减，所含字母和字母的指数保持不变。解题时我们只需要按照这个法则，逐一验证每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$2x^2$和$3x^2$是同类项，系数相加得$2+3=5$，字母和指数不变，结果为$5x^2$，计算正确。
B选项：$x^2-3x^2$的系数运算为$1-3=-2$，正确结果应为$-2x^2$，选项结果错误。
C选项：$4xy-3xy$的系数运算为$4-3=1$，结果应为$xy$，选项漏写了字母部分，错误。
D选项：$2x^3+3x^3$的系数相加得$5$，字母指数保持3不变，正确结果应为$5x^3$，选项错误将指数相加，错误。
综上，只有A选项合并正确。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项法则；同类项的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查合并同类项的运算规则，解题时要注意避免三类常见错误：系数加减符号出错、漏写字母部分、错误改变字母的指数，牢记法则即可快速判断。
【难度系数】
0.8
跟踪训练4-1 在下列各组单项式中，不是同类项的为（
A.$5x^2y$ 和 $-7x^2y$
B.$m^2n$ 和 $2mn^2$
C.$-3$ 和 $99$
D.$-abc$ 和 $9abc$
B
）A.$5x^2y$ 和 $-7x^2y$
B.$m^2n$ 和 $2mn^2$
C.$-3$ 和 $99$
D.$-abc$ 和 $9abc$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪组不是同类项，首先要明确同类项的判断标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式是同类项，所有常数项都属于同类项。解题时只需将每个选项对照这个标准逐一判断，找出不符合标准的选项即可。
【解析】
首先明确同类项的定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，所有常数项都是同类项。
对各选项逐一分析：
A选项：$5x^2y$和$-7x^2y$都含有字母x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，符合同类项定义，是同类项，不符合题意；
B选项：$m^2n$中m的指数为2、n的指数为1，$2mn^2$中m的指数为1、n的指数为2，相同字母的指数不相同，不符合同类项定义，不是同类项，符合题意；
C选项：$-3$和$99$都是常数项，属于同类项，不符合题意；
D选项：$-abc$和$9abc$都含有字母a、b、c，且每个字母的指数都是1，符合同类项定义，是同类项，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义，单项式的概念
【点评】
本题是同类项判断的基础题型，解题时要抓住同类项的“两个相同”核心特征：一是所含字母相同，二是相同字母的对应指数相同，二者缺一不可，同时不要遗漏所有常数项都是同类项的特殊规定。
【难度系数】
0.8
要判断哪组不是同类项，首先要明确同类项的判断标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式是同类项，所有常数项都属于同类项。解题时只需将每个选项对照这个标准逐一判断，找出不符合标准的选项即可。
【解析】
首先明确同类项的定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，所有常数项都是同类项。
对各选项逐一分析：
A选项：$5x^2y$和$-7x^2y$都含有字母x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，符合同类项定义，是同类项，不符合题意；
B选项：$m^2n$中m的指数为2、n的指数为1，$2mn^2$中m的指数为1、n的指数为2，相同字母的指数不相同，不符合同类项定义，不是同类项，符合题意；
C选项：$-3$和$99$都是常数项，属于同类项，不符合题意；
D选项：$-abc$和$9abc$都含有字母a、b、c，且每个字母的指数都是1，符合同类项定义，是同类项，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义，单项式的概念
【点评】
本题是同类项判断的基础题型，解题时要抓住同类项的“两个相同”核心特征：一是所含字母相同，二是相同字母的对应指数相同，二者缺一不可，同时不要遗漏所有常数项都是同类项的特殊规定。
【难度系数】
0.8
跟踪训练4-2 如果单项式$-\dfrac{1}{2}x^{a}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{b}$的和是单项式，那么$a+b$的值为
5
。答案
5
解析
【分析】
要解决这道题，首先思考“两个单项式的和是单项式”的含义：只有当两个单项式是同类项时，它们才能合并成一个单项式，也就是和为单项式。接下来回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。因此我们只需要让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，就能求出a和b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：
∵单项式$-\dfrac{1}{2}x^{a}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{b}$的和是单项式
∴这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，可得：
$a=3$，$b=2$
∴$a+b=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
同类项的概念；代数式求值
【点评】
本题核心是理解两个单项式和为单项式的本质是二者为同类项，只要熟练掌握同类项的判定规则就能快速求解，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先思考“两个单项式的和是单项式”的含义：只有当两个单项式是同类项时，它们才能合并成一个单项式，也就是和为单项式。接下来回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。因此我们只需要让两个单项式中x的指数相等、y的指数相等，就能求出a和b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：
∵单项式$-\dfrac{1}{2}x^{a}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{b}$的和是单项式
∴这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，可得：
$a=3$，$b=2$
∴$a+b=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
同类项的概念；代数式求值
【点评】
本题核心是理解两个单项式和为单项式的本质是二者为同类项，只要熟练掌握同类项的判定规则就能快速求解，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
跟踪训练4-3 合并下列多项式中的同类项：
(1)$9x^2 + 4y^2 - 3xy - 9x^2 + y^2$。
(2)$3m^2n - 3mn^2 - 2mn^2 + 1 - 2m^2n$。
(1)$9x^2 + 4y^2 - 3xy - 9x^2 + y^2$。
(2)$3m^2n - 3mn^2 - 2mn^2 + 1 - 2m^2n$。
答案
(1) $5y^2 - 3xy$
(2) $m^2n - 5mn^2 + 1$
(2) $m^2n - 5mn^2 + 1$
解析
【分析】
解决合并同类项问题，首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项都是同类项。解题步骤可分为三步：①先找出式子中的所有同类项，可做标记避免遗漏；②将同类项移动到一起，移动时要带着项前面的符号；③根据“同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变”的法则合并同类项，没有同类项的项要直接抄写到结果中。
【解析】
(1) 先识别同类项：$9x^2$和$-9x^2$是同类项，$4y^2$和$y^2$是同类项，$-3xy$没有同类项。
合并同类项：
$\begin{aligned}&9x^2 + 4y^2 - 3xy - 9x^2 + y^2\\=&(9x^2 - 9x^2) + (4y^2 + y^2) - 3xy\\=&0 + 5y^2 - 3xy\\=&5y^2 - 3xy\end{aligned}$
(2) 先识别同类项：$3m^2n$和$-2m^2n$是同类项，$-3mn^2$和$-2mn^2$是同类项，常数项$1$没有同类项。
合并同类项：
$\begin{aligned}&3m^2n - 3mn^2 - 2mn^2 + 1 - 2m^2n\\=&(3m^2n - 2m^2n) + (-3mn^2 - 2mn^2) + 1\\=&m^2n + (-5mn^2) + 1\\=&m^2n - 5mn^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $5y^2 - 3xy$
(2) $m^2n - 5mn^2 + 1$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是准确判断同类项，合并时要注意每项自带的符号，避免符号出错，没有同类项的项不要遗漏，需原样保留到结果中。
【难度系数】
0.85
解决合并同类项问题，首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，所有常数项都是同类项。解题步骤可分为三步：①先找出式子中的所有同类项，可做标记避免遗漏；②将同类项移动到一起，移动时要带着项前面的符号；③根据“同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变”的法则合并同类项，没有同类项的项要直接抄写到结果中。
【解析】
(1) 先识别同类项：$9x^2$和$-9x^2$是同类项，$4y^2$和$y^2$是同类项，$-3xy$没有同类项。
合并同类项：
$\begin{aligned}&9x^2 + 4y^2 - 3xy - 9x^2 + y^2\\=&(9x^2 - 9x^2) + (4y^2 + y^2) - 3xy\\=&0 + 5y^2 - 3xy\\=&5y^2 - 3xy\end{aligned}$
(2) 先识别同类项：$3m^2n$和$-2m^2n$是同类项，$-3mn^2$和$-2mn^2$是同类项，常数项$1$没有同类项。
合并同类项：
$\begin{aligned}&3m^2n - 3mn^2 - 2mn^2 + 1 - 2m^2n\\=&(3m^2n - 2m^2n) + (-3mn^2 - 2mn^2) + 1\\=&m^2n + (-5mn^2) + 1\\=&m^2n - 5mn^2 + 1\end{aligned}$
【答案】
(1) $5y^2 - 3xy$
(2) $m^2n - 5mn^2 + 1$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是准确判断同类项，合并时要注意每项自带的符号，避免符号出错，没有同类项的项不要遗漏，需原样保留到结果中。
【难度系数】
0.85
跟踪训练4-4 若多项式$mx^2 + 4xy - 2y^2 - x^2 + nxy - 2y + 6$的值与x的取值无关，求$(m + n)^3$的值。
答案
$-27$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理解“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取任何值，都不会影响多项式的最终结果，因此多项式中所有含有x的项的系数都必须为0。解题时首先对多项式合并同类项，分别整理出含$x^2$、$xy$的项，令这两类含x项的系数等于0，即可求出m、n的值，最后代入计算$(m+n)^3$即可。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=(mx^2 - x^2) + (4xy + nxy) - 2y^2 - 2y + 6$
$=(m-1)x^2 + (4+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
∵ 多项式的值与x的取值无关
∴ 含x的项的系数均为0，即：
$m-1=0$，$4+n=0$
解得：$m=1$，$n=-4$
将$m=1$，$n=-4$代入得：
$m+n=1+(-4)=-3$
∴ $(m+n)^3=(-3)^3=-27$
【答案】
$-27$
【知识点】
合并同类项；多项式无关项性质；代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型常考题，解题核心是正确理解“值与某字母无关”的含义，即该字母所有次项的系数为0，熟练掌握同类项的合并规则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要理解“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取任何值，都不会影响多项式的最终结果，因此多项式中所有含有x的项的系数都必须为0。解题时首先对多项式合并同类项，分别整理出含$x^2$、$xy$的项，令这两类含x项的系数等于0，即可求出m、n的值，最后代入计算$(m+n)^3$即可。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
原式$=(mx^2 - x^2) + (4xy + nxy) - 2y^2 - 2y + 6$
$=(m-1)x^2 + (4+n)xy - 2y^2 - 2y + 6$
∵ 多项式的值与x的取值无关
∴ 含x的项的系数均为0，即：
$m-1=0$，$4+n=0$
解得：$m=1$，$n=-4$
将$m=1$，$n=-4$代入得：
$m+n=1+(-4)=-3$
∴ $(m+n)^3=(-3)^3=-27$
【答案】
$-27$
【知识点】
合并同类项；多项式无关项性质；代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型常考题，解题核心是正确理解“值与某字母无关”的含义，即该字母所有次项的系数为0，熟练掌握同类项的合并规则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
跟踪训练4-5 若关于$x$，$y$的多项式$3mx^2 + 2nxy + 3^2x + 2xy - x^2 + y + 4$不含二次项，求$m - n$的值。
答案
$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“多项式不含二次项”的含义：即多项式中所有次数为2的项的系数都等于0。解题思路可分为三步：第一步先合并多项式中的同类项，梳理出所有二次项；第二步令二次项的系数分别为0，列方程求出m、n的取值；第三步将m、n代入m-n计算结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&3mx^2 + 2nxy + 3^2x + 2xy - x^2 + y + 4\\=&(3mx^2 - x^2) + (2nxy + 2xy) + 9x + y + 4\\=&(3m - 1)x^2 + (2n + 2)xy + 9x + y + 4\end{aligned}$
∵多项式不含二次项，
∴所有二次项的系数为0，即：
$\begin{cases}3m - 1 = 0\\2n + 2 = 0\end{cases}$
解$3m - 1 = 0$，得$m = \frac{1}{3}$；
解$2n + 2 = 0$，得$n = -1$。
将$m = \frac{1}{3}$、$n = -1$代入$m - n$得：
$m - n = \frac{1}{3} - (-1) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
多项式的项与次数，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题型，核心考点是对“多项式不含某项”性质的理解，即不含某项等价于该项的系数为0，解题关键是准确合并同类项，区分不同次数的项后列方程求解参数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确“多项式不含二次项”的含义：即多项式中所有次数为2的项的系数都等于0。解题思路可分为三步：第一步先合并多项式中的同类项，梳理出所有二次项；第二步令二次项的系数分别为0，列方程求出m、n的取值；第三步将m、n代入m-n计算结果即可。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&3mx^2 + 2nxy + 3^2x + 2xy - x^2 + y + 4\\=&(3mx^2 - x^2) + (2nxy + 2xy) + 9x + y + 4\\=&(3m - 1)x^2 + (2n + 2)xy + 9x + y + 4\end{aligned}$
∵多项式不含二次项，
∴所有二次项的系数为0，即：
$\begin{cases}3m - 1 = 0\\2n + 2 = 0\end{cases}$
解$3m - 1 = 0$，得$m = \frac{1}{3}$；
解$2n + 2 = 0$，得$n = -1$。
将$m = \frac{1}{3}$、$n = -1$代入$m - n$得：
$m - n = \frac{1}{3} - (-1) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
多项式的项与次数，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题型，核心考点是对“多项式不含某项”性质的理解，即不含某项等价于该项的系数为0，解题关键是准确合并同类项，区分不同次数的项后列方程求解参数。
【难度系数】
0.7
★例5 先化简，再求值：
(1)$(4ab - b^2) - 2(a^2 + 2ab - b^2)$，其中$a = 3$，$b = -3$。
(2)$8x^2 - (-4x^2 + 3y) - 3(4x^2 - 10y)$，其中$x = 2$，$y = -1$。
(1)$(4ab - b^2) - 2(a^2 + 2ab - b^2)$，其中$a = 3$，$b = -3$。
(2)$8x^2 - (-4x^2 + 3y) - 3(4x^2 - 10y)$，其中$x = 2$，$y = -1$。
答案
(1) 原式$=-2a^2 + b^2 = -9$
(2) 原式$=27y = -27$
(2) 原式$=27y = -27$
解析
【分析】
化简求值类题目遵循“先化简，后代入计算”的原则，可大幅减少计算量、降低出错率。解题步骤分为三步：第一步去括号，需注意两个要点：①若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②若括号前有数字系数，需用乘法分配律将系数乘遍括号内的每一项，不可漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。第三步将给定的字母取值代入化简后的最简式，计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=4ab - b^2 - 2a^2 - 4ab + 2b^2$
合并同类项：
$4ab-4ab -b^2+2b^2 -2a^2 = -2a^2 + b^2$
代入$a=3$，$b=-3$计算：
原式$=-2×3^2 + (-3)^2 = -2×9 +9 = -18+9=-9$
(2) 去括号：
原式$=8x^2 +4x^2 - 3y -12x^2 + 30y$
合并同类项：
$8x^2+4x^2-12x^2 -3y+30y = 27y$
代入$y=-1$计算：
原式$=27×(-1) = -27$
【答案】
(1) 原式$=-2a^2 + b^2 = -9$
(2) 原式$=27y = -27$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考察去括号时的符号处理和乘法分配律的规范使用，熟练掌握合并同类项规则可大幅提升解题效率，代入数值计算时需注意负数乘方、乘法的符号判断。
【难度系数】
0.8
化简求值类题目遵循“先化简，后代入计算”的原则，可大幅减少计算量、降低出错率。解题步骤分为三步：第一步去括号，需注意两个要点：①若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②若括号前有数字系数，需用乘法分配律将系数乘遍括号内的每一项，不可漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。第三步将给定的字母取值代入化简后的最简式，计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=4ab - b^2 - 2a^2 - 4ab + 2b^2$
合并同类项：
$4ab-4ab -b^2+2b^2 -2a^2 = -2a^2 + b^2$
代入$a=3$，$b=-3$计算：
原式$=-2×3^2 + (-3)^2 = -2×9 +9 = -18+9=-9$
(2) 去括号：
原式$=8x^2 +4x^2 - 3y -12x^2 + 30y$
合并同类项：
$8x^2+4x^2-12x^2 -3y+30y = 27y$
代入$y=-1$计算：
原式$=27×(-1) = -27$
【答案】
(1) 原式$=-2a^2 + b^2 = -9$
(2) 原式$=27y = -27$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考察去括号时的符号处理和乘法分配律的规范使用，熟练掌握合并同类项规则可大幅提升解题效率，代入数值计算时需注意负数乘方、乘法的符号判断。
【难度系数】
0.8
跟踪训练 5-1 若多项式$-x^3 -4x^2 +x +1$与多项式$3x^3 +mx^2 -5x +3$相加后不含二次项，则$m$的值为（
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
C
）A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先明确两个多项式相加不含二次项的含义，即合并同类项后二次项的系数为0。解题时先找到两个多项式中的二次项，将它们的系数相加，令相加后的结果等于0，即可列方程求出m的值。
【解析】
首先找到两个多项式中的二次项，合并同类二次项：
第一个多项式的二次项为$-4x^2$，系数是$-4$；
第二个多项式的二次项为$mx^2$，系数是$m$；
相加后二次项的总系数为$-4+m$。
因为相加后不含二次项，所以二次项的系数为0，可得方程：
$-4+m=0$
解得$m=4$。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；整式的加减；多项式的项与系数
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题型，解题核心是理解“多项式相加后不含某一项”等价于该项合并同类项后的系数为0，解题时注意不要弄错各项系数的符号即可。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确两个多项式相加不含二次项的含义，即合并同类项后二次项的系数为0。解题时先找到两个多项式中的二次项，将它们的系数相加，令相加后的结果等于0，即可列方程求出m的值。
【解析】
首先找到两个多项式中的二次项，合并同类二次项：
第一个多项式的二次项为$-4x^2$，系数是$-4$；
第二个多项式的二次项为$mx^2$，系数是$m$；
相加后二次项的总系数为$-4+m$。
因为相加后不含二次项，所以二次项的系数为0，可得方程：
$-4+m=0$
解得$m=4$。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；整式的加减；多项式的项与系数
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题型，解题核心是理解“多项式相加后不含某一项”等价于该项合并同类项后的系数为0，解题时注意不要弄错各项系数的符号即可。
【难度系数】
0.8
