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跟踪训练2-3 已知$2x = y - 3$，则代数式$(2x - y)^2 - 6(2x - y) + 9$的值为
36
。答案
36
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，通过移项得到整体“2x - y”的值；再观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方差公式的形式，将代数式因式分解后，把求出的整体值代入计算即可，无需单独求解x、y的具体数值，能简化运算。
【解析】
第一步：根据已知条件推导整体值
由$2x = y - 3$，移项可得：$2x - y = -3$
第二步：化简所求代数式
观察$(2x - y)^2 - 6(2x - y) + 9$，将$2x-y$看作一个整体，根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
原式$=[(2x - y) - 3]^2$
第三步：代入计算
把$2x - y = -3$代入上式：
$(-3 - 3)^2 = (-6)^2 = 36$
【答案】
36
【知识点】
代数式求值；整体代入法；完全平方公式
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，将重复出现的整式作为整体代入，结合因式分解化简后计算，能有效降低运算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，通过移项得到整体“2x - y”的值；再观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方差公式的形式，将代数式因式分解后，把求出的整体值代入计算即可，无需单独求解x、y的具体数值，能简化运算。
【解析】
第一步：根据已知条件推导整体值
由$2x = y - 3$，移项可得：$2x - y = -3$
第二步：化简所求代数式
观察$(2x - y)^2 - 6(2x - y) + 9$，将$2x-y$看作一个整体，根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
原式$=[(2x - y) - 3]^2$
第三步：代入计算
把$2x - y = -3$代入上式：
$(-3 - 3)^2 = (-6)^2 = 36$
【答案】
36
【知识点】
代数式求值；整体代入法；完全平方公式
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，将重复出现的整式作为整体代入，结合因式分解化简后计算，能有效降低运算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
跟踪训练2-4 当$x=1$时，代数式$ax^3 + bx^3 + ax + bx + 5$的值是8。当$x=-1$时，求代数式$ax^3 + bx^3 + ax + bx + 5$的值。
答案
2
解析
【分析】
解决这类代数式求值问题时，首先可先对代数式合并同类项简化式子，再将已知的$x=1$代入化简后的代数式，求出关于$a$、$b$的整体值，最后将$x=-1$代入化简后的式子，利用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
先对代数式合并同类项：
$ax^3 + bx^3 + ax + bx +5=(a+b)x^3 + (a+b)x +5=(a+b)(x^3+x)+5$
当$x=1$时，代入上式得：
$(a+b)×(1^3+1)+5=8$
即$2(a+b)+5=8$，解得$2(a+b)=3$
当$x=-1$时，代入化简后的代数式得：
$(a+b)×[(-1)^3+(-1)]+5=(a+b)×(-2)+5=-2(a+b)+5$
把$2(a+b)=3$整体代入，得：
原式$=-3+5=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；合并同类项
【点评】
本题的解题核心是通过合并同类项简化式子，再利用整体代入的思想计算，无需单独求解a、b的具体值，能大大简化计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解决这类代数式求值问题时，首先可先对代数式合并同类项简化式子，再将已知的$x=1$代入化简后的代数式，求出关于$a$、$b$的整体值，最后将$x=-1$代入化简后的式子，利用整体代入的方法计算即可，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
先对代数式合并同类项：
$ax^3 + bx^3 + ax + bx +5=(a+b)x^3 + (a+b)x +5=(a+b)(x^3+x)+5$
当$x=1$时，代入上式得：
$(a+b)×(1^3+1)+5=8$
即$2(a+b)+5=8$，解得$2(a+b)=3$
当$x=-1$时，代入化简后的代数式得：
$(a+b)×[(-1)^3+(-1)]+5=(a+b)×(-2)+5=-2(a+b)+5$
把$2(a+b)=3$整体代入，得：
原式$=-3+5=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；合并同类项
【点评】
本题的解题核心是通过合并同类项简化式子，再利用整体代入的思想计算，无需单独求解a、b的具体值，能大大简化计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
★例3 下列代数式中,既不是单项式,也不是多项式的为（
A.$\dfrac{b}{a}$
B.$\dfrac{2}{3}xy$
C.$2x^2+1$
D.$\dfrac{π}{3}$
A
）A.$\dfrac{b}{a}$
B.$\dfrac{2}{3}xy$
C.$2x^2+1$
D.$\dfrac{π}{3}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式、多项式、整式的核心概念，按照“先判断是否为整式，再区分是单项式还是多项式”的思路逐一分析选项：首先，单项式和多项式都属于整式，分母含字母的代数式不属于整式，自然既不是单项式也不是多项式；其次再对照定义判断属于整式的选项是单项式还是多项式即可得到答案。
【解析】
首先明确相关概念：
①由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；
②几个单项式的和叫做多项式；
③单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的代数式不属于整式。
对每个选项逐一判断：
A. $\dfrac{b}{a}$的分母中含有字母$a$，不属于整式，因此既不是单项式，也不是多项式；
B. $\dfrac{2}{3}xy$是数$\dfrac{2}{3}$与字母$x$、$y$的乘积，属于单项式；
C. $2x^2+1$是单项式$2x^2$与单项式$1$的和，属于多项式；
D. $\dfrac{π}{3}$中$π$是固定常数，因此$\dfrac{π}{3}$是单独的一个数，属于单项式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的概念
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题的核心是准确区分三类代数式的定义，尤其要注意$π$是常数，不属于字母变量，避免误判D选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式、多项式、整式的核心概念，按照“先判断是否为整式，再区分是单项式还是多项式”的思路逐一分析选项：首先，单项式和多项式都属于整式，分母含字母的代数式不属于整式，自然既不是单项式也不是多项式；其次再对照定义判断属于整式的选项是单项式还是多项式即可得到答案。
【解析】
首先明确相关概念：
①由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；
②几个单项式的和叫做多项式；
③单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的代数式不属于整式。
对每个选项逐一判断：
A. $\dfrac{b}{a}$的分母中含有字母$a$，不属于整式，因此既不是单项式，也不是多项式；
B. $\dfrac{2}{3}xy$是数$\dfrac{2}{3}$与字母$x$、$y$的乘积，属于单项式；
C. $2x^2+1$是单项式$2x^2$与单项式$1$的和，属于多项式；
D. $\dfrac{π}{3}$中$π$是固定常数，因此$\dfrac{π}{3}$是单独的一个数，属于单项式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式的概念
【点评】
本题是基础的概念辨析题，解题的核心是准确区分三类代数式的定义，尤其要注意$π$是常数，不属于字母变量，避免误判D选项。
【难度系数】
0.8
跟踪训练 3-1 关于单项式$\frac{3}{4}ab^4$的系数和次数，下列表述中正确的是（
A.系数是3，次数是4
B.系数是3，次数是5
C.系数是$\frac{3}{4}$，次数是4
D.系数是$\frac{3}{4}$，次数是5
D
）A.系数是3，次数是4
B.系数是3，次数是5
C.系数是$\frac{3}{4}$，次数是4
D.系数是$\frac{3}{4}$，次数是5
答案
D
解析
【分析】
解答本题需先明确单项式系数和次数的定义，思考步骤如下：1. 先找单项式中的数字因数，确定系数，排除系数错误的选项；2. 再计算单项式中所有字母的指数和，确定次数，排除次数错误的选项，最终得到正确答案。注意不要遗漏单个未标注指数的字母的指数为1。
【解析】
根据单项式的相关定义：
1. 单项式的系数是指单项式中的数字因数，因此$\frac{3}{4}ab^4$的数字因数是$\frac{3}{4}$，即系数为$\frac{3}{4}$，可排除系数为3的A、B选项；
2. 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，本题中字母$a$的指数为1，字母$b$的指数为4，因此次数为$1+4=5$，可排除次数为4的C选项。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是计算次数时忽略未标注指数的字母的指数为1，牢固掌握单项式相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确单项式系数和次数的定义，思考步骤如下：1. 先找单项式中的数字因数，确定系数，排除系数错误的选项；2. 再计算单项式中所有字母的指数和，确定次数，排除次数错误的选项，最终得到正确答案。注意不要遗漏单个未标注指数的字母的指数为1。
【解析】
根据单项式的相关定义：
1. 单项式的系数是指单项式中的数字因数，因此$\frac{3}{4}ab^4$的数字因数是$\frac{3}{4}$，即系数为$\frac{3}{4}$，可排除系数为3的A、B选项；
2. 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，本题中字母$a$的指数为1，字母$b$的指数为4，因此次数为$1+4=5$，可排除次数为4的C选项。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是计算次数时忽略未标注指数的字母的指数为1，牢固掌握单项式相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-2 如果$(m+2)x^2y^{n-1}$是关于$x,y$的五次单项式，那么$m,n$应满足（
A.$m=-2,n=2$
B.$m$是任意实数，$n=2$
C.$m≠-2,n=4$
D.$m=-2,n=4$
C
）A.$m=-2,n=2$
B.$m$是任意实数，$n=2$
C.$m≠-2,n=4$
D.$m=-2,n=4$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需要结合单项式的两个核心要求思考：第一，单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，就不符合五次单项式的要求；第二，单项式的次数是所有字母的指数之和，本题中单项式次数为5，也就是x、y的指数相加等于5，分别根据这两个条件推导m、n的取值即可。
【解析】
已知$(m+2)x^2y^{n-1}$是关于$x,y$的五次单项式，因此：
1. 首先保证系数不为0：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$；
2. 再根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为5：
$2+(n-1)=5$，化简得$n+1=5$，解得$n=4$。
综上，$m,n$应满足$m≠-2,n=4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式相关概念的应用，易错点是容易忽略单项式系数不能为0的隐含条件，只计算次数得到n的值就盲目选答案，解题时要完整结合单项式的定义全面分析条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要结合单项式的两个核心要求思考：第一，单项式的系数不能为0，否则整个式子的值为0，就不符合五次单项式的要求；第二，单项式的次数是所有字母的指数之和，本题中单项式次数为5，也就是x、y的指数相加等于5，分别根据这两个条件推导m、n的取值即可。
【解析】
已知$(m+2)x^2y^{n-1}$是关于$x,y$的五次单项式，因此：
1. 首先保证系数不为0：
$m+2≠0$，解得$m≠-2$；
2. 再根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为5：
$2+(n-1)=5$，化简得$n+1=5$，解得$n=4$。
综上，$m,n$应满足$m≠-2,n=4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式相关概念的应用，易错点是容易忽略单项式系数不能为0的隐含条件，只计算次数得到n的值就盲目选答案，解题时要完整结合单项式的定义全面分析条件。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-3 有下列式子:①$2x+5$；②$-1$；③$a^2+2ab+b^2$；④$xyz$；⑤$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$；⑥$\frac{x+y}{2}$；⑦$\frac{2}{π}+3$；⑧$x^2-y^2$。其中属于整式的是________，属于单项式的是________，属于多项式的是________。(填序号)
答案
属于整式的是①②③④⑥⑦⑧，属于单项式的是②④⑦，属于多项式的是①③⑥⑧
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式、多项式、整式的定义，再按照定义逐个判断给出的式子：第一步先回忆三个核心概念：①单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式；②多项式是几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，且整式的分母中不能含有字母。第二步逐个排查式子，先排除分母含字母的非整式，再从整式里区分出单项式和多项式即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也属于单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含字母的代数式不属于整式。
逐个分析所给式子：
①$2x+5$：是单项式$2x$与$5$的和，属于多项式，是整式；
②$-1$：是单独的常数，属于单项式，是整式；
③$a^2+2ab+b^2$：是$a^2$、$2ab$、$b^2$三个单项式的和，属于多项式，是整式；
④$xyz$：是数1与字母$x、y、z$的乘积，属于单项式，是整式；
⑤$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：分母含有字母$x、y$，属于分式，不是整式；
⑥$\frac{x+y}{2}$：可变形为$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦$\frac{2}{π}+3$：$π$是常数，因此该式是两个常数的和，结果仍为常数，属于单项式，是整式；
⑧$x^2-y^2$：是$x^2$与$-y^2$两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上可得对应分类结果。
【答案】
①②③④⑥⑦⑧；②④⑦；①③⑥⑧
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的关键是牢记三类代数式的定义，尤其要注意$π$是常数不属于字母，分母含有字母的代数式不属于整式，避免出现概念混淆导致的判断错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确单项式、多项式、整式的定义，再按照定义逐个判断给出的式子：第一步先回忆三个核心概念：①单项式是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式；②多项式是几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，且整式的分母中不能含有字母。第二步逐个排查式子，先排除分母含字母的非整式，再从整式里区分出单项式和多项式即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也属于单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含字母的代数式不属于整式。
逐个分析所给式子：
①$2x+5$：是单项式$2x$与$5$的和，属于多项式，是整式；
②$-1$：是单独的常数，属于单项式，是整式；
③$a^2+2ab+b^2$：是$a^2$、$2ab$、$b^2$三个单项式的和，属于多项式，是整式；
④$xyz$：是数1与字母$x、y、z$的乘积，属于单项式，是整式；
⑤$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$：分母含有字母$x、y$，属于分式，不是整式；
⑥$\frac{x+y}{2}$：可变形为$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦$\frac{2}{π}+3$：$π$是常数，因此该式是两个常数的和，结果仍为常数，属于单项式，是整式；
⑧$x^2-y^2$：是$x^2$与$-y^2$两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上可得对应分类结果。
【答案】
①②③④⑥⑦⑧；②④⑦；①③⑥⑧
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的关键是牢记三类代数式的定义，尤其要注意$π$是常数不属于字母，分母含有字母的代数式不属于整式，避免出现概念混淆导致的判断错误。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-4 已知多项式$-5x^{a+1}y^2 - \frac{1}{4}x^3y^3 + \frac{x^4y}{3}$。
(1)求该多项式各项的系数和次数。
(2)若该多项式的次数是7，求a的值。
(1)求该多项式各项的系数和次数。
(2)若该多项式的次数是7，求a的值。
答案
(1) $-5x^{a+1}y^2$的系数是$-5$,次数是$a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
(2) $a=4$
(2) $a=4$
解析
【分析】
(1) 求解多项式各项的系数和次数，首先要明确相关概念：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，我们只需对多项式的三个项分别按照定义计算即可。
(2) 多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，已知该多项式总次数为7，先观察已知次数的两个项：$-\frac{1}{4}x^3y^3$次数为6，$\frac{x^4y}{3}$次数为5，都小于7，因此最高次项只能是第一项$-5x^{a+1}y^2$，令它的次数等于7，列方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 对多项式的三个项逐一分析：
① 项$-5x^{a+1}y^2$：数字因数是$-5$，故系数为$-5$；字母x的指数为$a+1$，字母y的指数为$2$，次数为$(a+1)+2=a+3$；
② 项$-\frac{1}{4}x^3y^3$：数字因数是$-\frac{1}{4}$，故系数为$-\frac{1}{4}$；字母x的指数为3，字母y的指数为3，次数为$3+3=6$；
③ 项$\frac{x^4y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x^4y$，数字因数是$\frac{1}{3}$，故系数为$\frac{1}{3}$；字母x的指数为4，字母y的指数为1，次数为$4+1=5$。
(2) 因为多项式的次数是最高次项的次数，已知该多项式次数为7，而另外两个项的次数分别为6和5，均小于7，因此第一项的次数为7，可得方程：
$a+3=7$
解得$a=7-3=4$
【答案】
(1) $-5x^{a+1}y^2$的系数是$-5$,次数是$a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
(2) $a=4$
【知识点】
单项式的系数与次数；多项式的次数定义；一元一次方程求解
【点评】
本题考查整式相关基础概念，解题的核心是准确区分单项式系数、次数和多项式次数的定义，第二问需结合最高次项的次数列方程计算，整体难度较低，是整式章节的基础题型，需熟练掌握相关概念避免混淆。
【难度系数】
0.8
(1) 求解多项式各项的系数和次数，首先要明确相关概念：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，我们只需对多项式的三个项分别按照定义计算即可。
(2) 多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，已知该多项式总次数为7，先观察已知次数的两个项：$-\frac{1}{4}x^3y^3$次数为6，$\frac{x^4y}{3}$次数为5，都小于7，因此最高次项只能是第一项$-5x^{a+1}y^2$，令它的次数等于7，列方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 对多项式的三个项逐一分析：
① 项$-5x^{a+1}y^2$：数字因数是$-5$，故系数为$-5$；字母x的指数为$a+1$，字母y的指数为$2$，次数为$(a+1)+2=a+3$；
② 项$-\frac{1}{4}x^3y^3$：数字因数是$-\frac{1}{4}$，故系数为$-\frac{1}{4}$；字母x的指数为3，字母y的指数为3，次数为$3+3=6$；
③ 项$\frac{x^4y}{3}$：可变形为$\frac{1}{3}x^4y$，数字因数是$\frac{1}{3}$，故系数为$\frac{1}{3}$；字母x的指数为4，字母y的指数为1，次数为$4+1=5$。
(2) 因为多项式的次数是最高次项的次数，已知该多项式次数为7，而另外两个项的次数分别为6和5，均小于7，因此第一项的次数为7，可得方程：
$a+3=7$
解得$a=7-3=4$
【答案】
(1) $-5x^{a+1}y^2$的系数是$-5$,次数是$a+3$；$-\frac{1}{4}x^3y^3$的系数是$-\frac{1}{4}$,次数是6；$\frac{x^4y}{3}$的系数是$\frac{1}{3}$,次数是5。
(2) $a=4$
【知识点】
单项式的系数与次数；多项式的次数定义；一元一次方程求解
【点评】
本题考查整式相关基础概念，解题的核心是准确区分单项式系数、次数和多项式次数的定义，第二问需结合最高次项的次数列方程计算，整体难度较低，是整式章节的基础题型，需熟练掌握相关概念避免混淆。
【难度系数】
0.8
