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跟踪训练5-2 老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
+ 2(a² - 4ab + 4b²) = 3a² + 2b²。求这个被捂住的多项式。
+ 2(a² - 4ab + 4b²) = 3a² + 2b²。求这个被捂住的多项式。答案
$a^2 + 8ab - 6b^2$
解析
【分析】
要求被捂住的多项式，可根据加法运算中“一个加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去已知的多项式即可求解。计算时遵循整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，注意括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要改变符号。
【解析】
设被捂住的多项式为$A$，根据题意得：
$\begin{aligned}A&=(3a^2 + 2b^2) - 2(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=3a^2 + 2b^2 - 2a^2 + 8ab - 8b^2\\&=(3a^2-2a^2)+8ab+(2b^2-8b^2)\\&=a^2 + 8ab - 6b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2 + 8ab - 6b^2$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题核心考查整式的加减运算，解题关键是利用加减互逆关系列出算式，运算过程中需格外注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要求被捂住的多项式，可根据加法运算中“一个加数=和-另一个加数”的关系，用等号右侧的多项式减去已知的多项式即可求解。计算时遵循整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项，注意括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要改变符号。
【解析】
设被捂住的多项式为$A$，根据题意得：
$\begin{aligned}A&=(3a^2 + 2b^2) - 2(a^2 - 4ab + 4b^2)\\&=3a^2 + 2b^2 - 2a^2 + 8ab - 8b^2\\&=(3a^2-2a^2)+8ab+(2b^2-8b^2)\\&=a^2 + 8ab - 6b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2 + 8ab - 6b^2$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题核心考查整式的加减运算，解题关键是利用加减互逆关系列出算式，运算过程中需格外注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
跟踪训练5-3 下图所示为A,B,C,D四个车站的位置，车站B距车站A,D的距离分别为$(a + b)\ \mathrm{km}$、$(5a + 3b)\mathrm{km}$，车站C与车站D的距离为$(3a + 2b)\mathrm{km}$。其中$a,b$是不为0的实数。
(1)求B,C两站之间的距离(用含$a,b$的代数式表示)。
(2)若B,D两个车站之间的距离比A,B两个车站之间的距离长8 km，求出B,C两个车站相距多少千米。
(跟踪训练5-3)
(1)求B,C两站之间的距离(用含$a,b$的代数式表示)。
(2)若B,D两个车站之间的距离比A,B两个车站之间的距离长8 km，求出B,C两个车站相距多少千米。
(跟踪训练5-3)
答案
(1) $(2a + b)\mathrm{km}$
(2) $4\ \mathrm{km}$
(2) $4\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
(1) 求B、C两站距离，观察线段图可知：B到D的距离减去C到D的距离就是B到C的距离，只需将BD和CD的代数式代入，通过整式减法合并同类项即可得到结果。
(2) 先根据“B、D距离比A、B距离长8km”列出等量关系，化简后会发现所得式子与第一问中BC的代数式存在倍数关系，利用整体代入思想即可直接求出BC的长度，无需单独求解a、b的值。
【解析】
(1) 由题意得，$BD = (5a + 3b)\mathrm{km}$，$CD = (3a + 2b)\mathrm{km}$
$\begin{aligned}BC &= BD - CD \\&= (5a + 3b) - (3a + 2b) \\&= 5a + 3b - 3a - 2b \\&= 2a + b\end{aligned}$
即B、C两站之间的距离为$(2a + b)\mathrm{km}$。
(2) 由题意得$BD - AB = 8$，已知$AB = (a + b)\mathrm{km}$，代入得：
$\begin{aligned}(5a + 3b) - (a + b) &= 8 \\5a + 3b - a - b &= 8 \\4a + 2b &= 8 \\2(2a + b) &= 8 \\2a + b &= 4\end{aligned}$
由(1)知$BC = 2a + b$，因此$BC = 4\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{(2a + b)\mathrm{km}}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{km}}$
【知识点】
线段和差计算；整式加减运算；整体代入求值
【点评】
本题结合线段实际场景考查整式加减的应用，解题核心是结合图形明确各线段的和差关系，第二问运用整体代入思想可快速得到结果，避免了单独求解参数的繁琐，体现了代数式整体运算的便捷性。
【难度系数】
0.8
(1) 求B、C两站距离，观察线段图可知：B到D的距离减去C到D的距离就是B到C的距离，只需将BD和CD的代数式代入，通过整式减法合并同类项即可得到结果。
(2) 先根据“B、D距离比A、B距离长8km”列出等量关系，化简后会发现所得式子与第一问中BC的代数式存在倍数关系，利用整体代入思想即可直接求出BC的长度，无需单独求解a、b的值。
【解析】
(1) 由题意得，$BD = (5a + 3b)\mathrm{km}$，$CD = (3a + 2b)\mathrm{km}$
$\begin{aligned}BC &= BD - CD \\&= (5a + 3b) - (3a + 2b) \\&= 5a + 3b - 3a - 2b \\&= 2a + b\end{aligned}$
即B、C两站之间的距离为$(2a + b)\mathrm{km}$。
(2) 由题意得$BD - AB = 8$，已知$AB = (a + b)\mathrm{km}$，代入得：
$\begin{aligned}(5a + 3b) - (a + b) &= 8 \\5a + 3b - a - b &= 8 \\4a + 2b &= 8 \\2(2a + b) &= 8 \\2a + b &= 4\end{aligned}$
由(1)知$BC = 2a + b$，因此$BC = 4\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boxed{(2a + b)\mathrm{km}}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{km}}$
【知识点】
线段和差计算；整式加减运算；整体代入求值
【点评】
本题结合线段实际场景考查整式加减的应用，解题核心是结合图形明确各线段的和差关系，第二问运用整体代入思想可快速得到结果，避免了单独求解参数的繁琐，体现了代数式整体运算的便捷性。
【难度系数】
0.8
跟踪训练5-4 【探究】(1)设$\overline{abc}$是一个三位数，若$a+b+c$可以被3整除，则这个数可以被3整除。请把下面的证明过程补充完整。
证明：$\overline{abc}$
$=100a + 10b + c = (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) + (a + b + c)$
$=3(\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) + (a + b + c)$
显然$\_\_\_\_\_\_$能被3整除，因此，如果$a+b+c$能被3整除，那么$\overline{abc}$就能被3整除。
【应用】(2)设$\overline{abcd}$是一个四位数，若$a+b+c+d$可以被9整除，试说明这个数可以被9整除。
证明：$\overline{abc}$
$=100a + 10b + c = (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) + (a + b + c)$
$=3(\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_) + (a + b + c)$
显然$\_\_\_\_\_\_$能被3整除，因此，如果$a+b+c$能被3整除，那么$\overline{abc}$就能被3整除。
【应用】(2)设$\overline{abcd}$是一个四位数，若$a+b+c+d$可以被9整除，试说明这个数可以被9整除。
答案
(1) $99a$ $9b$ $33a$ $3b$ $3(33a+3b)$
(2) $\overline{abcd}=1\ 000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$。因为$9(111a + 11b + c)$能被9整除，所以若$a+b+c+d$可以被9整除，则$\overline{abcd}$能被9整除。
(2) $\overline{abcd}=1\ 000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$。因为$9(111a + 11b + c)$能被9整除，所以若$a+b+c+d$可以被9整除，则$\overline{abcd}$能被9整除。
解析
【分析】
(1) 要证明三位数能被3整除，需先将三位数表达式$\overline{abc}=100a+10b+c$变形，拆分出各位数字之和$a+b+c$，使剩余部分可表示为3的倍数。我们可将100a拆为$99a+a$、10b拆为$9b+b$，整理式子后即可得到含3的倍数和$a+b+c$的两部分，再结合整除的性质判断即可。
(2) 与(1)的探究思路一致，先将四位数$\overline{abcd}$展开为$1000a+100b+10c+d$，同样拆分出各位数字之和$a+b+c+d$，将剩余部分整理为9的倍数，结合整除的性质即可完成证明。
【解析】
(1) 对三位数变形：
$\begin{aligned}\overline{abc}&=100a + 10b + c\\&=(99a+a)+(9b+b)+c\\&=(99a + 9b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$99a=3×33a$，$9b=3×3b$，所以上式可改写为：
$\overline{abc}=3(33a + 3b) + (a + b + c)$
根据整除定义，$3(33a+3b)$是3的整数倍，显然能被3整除，因此若$a+b+c$能被3整除，则两部分的和$\overline{abc}$就能被3整除。
(2) 对四位数变形证明：
先展开四位数：$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d$
拆分整理得：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)\end{aligned}$
提取公因式9可得：
$\overline{abcd}=9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)$
显然$9(111a + 11b + c)$是9的整数倍，能被9整除，因此若$a+b+c+d$可以被9整除，则两部分的和$\overline{abcd}$就能被9整除。
【答案】
(1) $99a$；$9b$；$33a$；$3b$；$3(33a+3b)$
(2) $\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$。因为$9(111a + 11b + c)$能被9整除，所以若$a+b+c+d$可以被9整除，则$\overline{abcd}$能被9整除。
【知识点】
多位数的表示；整除的性质；整式变形
【点评】
本题通过拆分多位数推导了3和9的整除判定规律，核心是将多位数拆分为整倍数部分和各位数字之和两部分，这种凑整拆分的方法是解决数的整除类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明三位数能被3整除，需先将三位数表达式$\overline{abc}=100a+10b+c$变形，拆分出各位数字之和$a+b+c$，使剩余部分可表示为3的倍数。我们可将100a拆为$99a+a$、10b拆为$9b+b$，整理式子后即可得到含3的倍数和$a+b+c$的两部分，再结合整除的性质判断即可。
(2) 与(1)的探究思路一致，先将四位数$\overline{abcd}$展开为$1000a+100b+10c+d$，同样拆分出各位数字之和$a+b+c+d$，将剩余部分整理为9的倍数，结合整除的性质即可完成证明。
【解析】
(1) 对三位数变形：
$\begin{aligned}\overline{abc}&=100a + 10b + c\\&=(99a+a)+(9b+b)+c\\&=(99a + 9b) + (a + b + c)\end{aligned}$
因为$99a=3×33a$，$9b=3×3b$，所以上式可改写为：
$\overline{abc}=3(33a + 3b) + (a + b + c)$
根据整除定义，$3(33a+3b)$是3的整数倍，显然能被3整除，因此若$a+b+c$能被3整除，则两部分的和$\overline{abc}$就能被3整除。
(2) 对四位数变形证明：
先展开四位数：$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d$
拆分整理得：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)\end{aligned}$
提取公因式9可得：
$\overline{abcd}=9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)$
显然$9(111a + 11b + c)$是9的整数倍，能被9整除，因此若$a+b+c+d$可以被9整除，则两部分的和$\overline{abcd}$就能被9整除。
【答案】
(1) $99a$；$9b$；$33a$；$3b$；$3(33a+3b)$
(2) $\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$。因为$9(111a + 11b + c)$能被9整除，所以若$a+b+c+d$可以被9整除，则$\overline{abcd}$能被9整除。
【知识点】
多位数的表示；整除的性质；整式变形
【点评】
本题通过拆分多位数推导了3和9的整除判定规律，核心是将多位数拆分为整倍数部分和各位数字之和两部分，这种凑整拆分的方法是解决数的整除类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
