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1. 下列4组数值中，不是二元一次方程$3x - y = 6$的解的是（
A.$\begin{cases} x=0, \\ y=6 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-3, \\ y=-15 \end{cases}$
A
）。A.$\begin{cases} x=0, \\ y=6 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-3, \\ y=-15 \end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】要判断一组数值是不是二元一次方程的解，核心方法是代入检验法：将每组x、y的值分别代入方程的左边，计算出结果后和方程右边的数值对比，若两边相等则是方程的解，若不相等则不是方程的解。本题要求选出不是解的选项，只需依次代入4个选项验证即可。
【解析】我们依次将各选项代入方程$3x - y = 6$的左边计算：
A选项：把$\begin{cases} x=0 \\ y=6 \end{cases}$代入，左边$=3×0 - 6 = -6$，右边$=6$，左边≠右边，因此这组数值不是方程的解。
可验证其余选项确认：
B选项：把$\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$代入，左边$=3×2 - 0 = 6$，左边=右边，是方程的解；
C选项：把$\begin{cases} x=4 \\ y=6 \end{cases}$代入，左边$=3×4 - 6 = 6$，左边=右边，是方程的解；
D选项：把$\begin{cases} x=-3 \\ y=-15 \end{cases}$代入，左边$=3×(-3) - (-15) = -9 + 15 = 6$，左边=右边，是方程的解。
【答案】A
【知识点】1.二元一次方程的解的定义 2.代入法检验方程的解
【点评】本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的判断方法，代入检验的思路简单直接，计算量小，不易出错。
【难度系数】0.9
【解析】我们依次将各选项代入方程$3x - y = 6$的左边计算：
A选项：把$\begin{cases} x=0 \\ y=6 \end{cases}$代入，左边$=3×0 - 6 = -6$，右边$=6$，左边≠右边，因此这组数值不是方程的解。
可验证其余选项确认：
B选项：把$\begin{cases} x=2 \\ y=0 \end{cases}$代入，左边$=3×2 - 0 = 6$，左边=右边，是方程的解；
C选项：把$\begin{cases} x=4 \\ y=6 \end{cases}$代入，左边$=3×4 - 6 = 6$，左边=右边，是方程的解；
D选项：把$\begin{cases} x=-3 \\ y=-15 \end{cases}$代入，左边$=3×(-3) - (-15) = -9 + 15 = 6$，左边=右边，是方程的解。
【答案】A
【知识点】1.二元一次方程的解的定义 2.代入法检验方程的解
【点评】本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的判断方法，代入检验的思路简单直接，计算量小，不易出错。
【难度系数】0.9
2. 若$\begin{cases}x=-2, \\ y=7\end{cases}$是关于$x$和$y$的二元一次方程$ax+y=1$的解，则$a$的值是（ ）。
A.$-3$
B.$4$
C.$-4$
D.$3$
A.$-3$
B.$4$
C.$-4$
D.$3$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二元一次方程解的应用，解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们可以将已知的x、y的值代入给定的二元一次方程中，此时方程就会转化为只含有未知数a的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=-2, \\ y=7\end{cases}$是二元一次方程$ax+y=1$的解
∴将$x=-2$，$y=7$代入方程$ax+y=1$，可得：
$-2a + 7 = 1$
移项得：$-2a = 1 - 7$
计算得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，只需熟练运用代入法将方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意符号变化即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程解的应用，解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们可以将已知的x、y的值代入给定的二元一次方程中，此时方程就会转化为只含有未知数a的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤求解即可得到a的值。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=-2, \\ y=7\end{cases}$是二元一次方程$ax+y=1$的解
∴将$x=-2$，$y=7$代入方程$ax+y=1$，可得：
$-2a + 7 = 1$
移项得：$-2a = 1 - 7$
计算得：$-2a = -6$
系数化为1得：$a = 3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二元一次方程解的概念的掌握，只需熟练运用代入法将方程转化为一元一次方程求解即可，计算时注意符号变化即可避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 解二元一次方程组$\begin{cases}x+7y=-19, \\x-5y=17\end{cases}$时，用代入消元法消去$x$，得到的方程是( )。
A.$2y=-2$
B.$2y=-36$
C.$12y=-2$
D.$12y=-36$
A.$2y=-2$
B.$2y=-36$
C.$12y=-2$
D.$12y=-36$
答案
3.D
解析
【分析】
要使用代入消元法消去x，首先需要从其中一个方程中用含y的代数式表示x，再将其代入另一个方程，即可消去x得到只含y的一元一次方程，整理后就能得到对应结果。本题两个方程中x的系数都是1，变形非常简便。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases}x+7y=-19&① \\x-5y=17&②\end{cases}$
1. 由方程②移项可得：$x=5y+17$ ③
2. 将③代入方程①替换x，得：$5y+17+7y=-19$
3. 合并同类项得：$12y+17=-19$
4. 移项计算常数项：$12y=-19-17$，即$12y=-36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组解法，等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，核心考查代入消元法的操作步骤，解题时注意移项过程中符号的变化，避免合并同类项、常数项计算时出错。
【难度系数】
0.8
要使用代入消元法消去x，首先需要从其中一个方程中用含y的代数式表示x，再将其代入另一个方程，即可消去x得到只含y的一元一次方程，整理后就能得到对应结果。本题两个方程中x的系数都是1，变形非常简便。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases}x+7y=-19&① \\x-5y=17&②\end{cases}$
1. 由方程②移项可得：$x=5y+17$ ③
2. 将③代入方程①替换x，得：$5y+17+7y=-19$
3. 合并同类项得：$12y+17=-19$
4. 移项计算常数项：$12y=-19-17$，即$12y=-36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组解法，等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，核心考查代入消元法的操作步骤，解题时注意移项过程中符号的变化，避免合并同类项、常数项计算时出错。
【难度系数】
0.8
4. 利用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x+3y=-10①, \\3x-5y=-6②\end{cases}$时，下列做法正确的是（ ）。
A.要消去$y$，可以将①×5+②×2
B.要消去$x$，可以将①×5+②×2
C.要消去$y$，可以将①×5+②×3
D.要消去$x$，可以将①×(-5)+②×2
A.要消去$y$，可以将①×5+②×2
B.要消去$x$，可以将①×5+②×2
C.要消去$y$，可以将①×5+②×3
D.要消去$x$，可以将①×(-5)+②×2
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先明确加减消元法的核心逻辑：要消去某一未知数，需通过给两个方程乘合适的系数，让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，再通过相加或相减消去该未知数。接下来分别分析消去x、消去y的正确操作，再逐一匹配选项即可。
【解析】
我们分别分析消去x和消去y的操作：
1. 若要消去y：
方程①中y的系数是3，方程②中y的系数是-5，两者的最小公倍数是15。
将①×5，可得：$10x + 15y = -50$；
将②×3，可得：$9x - 15y = -18$；
将上述两个新方程相加，$15y$和$-15y$抵消，即可消去y，即操作是$\mathrm{①}×5+\mathrm{②}×3$，由此可知A选项错误，C选项正确。
2. 若要消去x：
方程①中x的系数是2，方程②中x的系数是3，两者的最小公倍数是6。
将①×3，可得：$6x + 9y = -30$；
将②×2，可得：$6x - 10y = -12$；
用①×3减去②×2，或$\mathrm{①}×(-3)+\mathrm{②}×2$即可消去x，由此可知B、D选项的操作都无法消去x，均错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，重点考查加减消元法的基本操作规则，解题关键是准确计算要消去的未知数的系数的最小公倍数，合理变形方程实现消元，熟练掌握该方法是解二元一次方程组的核心基础。
【难度系数】
0.8
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题思路如下：首先明确加减消元法的核心逻辑：要消去某一未知数，需通过给两个方程乘合适的系数，让两个方程中该未知数的系数绝对值相等，再通过相加或相减消去该未知数。接下来分别分析消去x、消去y的正确操作，再逐一匹配选项即可。
【解析】
我们分别分析消去x和消去y的操作：
1. 若要消去y：
方程①中y的系数是3，方程②中y的系数是-5，两者的最小公倍数是15。
将①×5，可得：$10x + 15y = -50$；
将②×3，可得：$9x - 15y = -18$；
将上述两个新方程相加，$15y$和$-15y$抵消，即可消去y，即操作是$\mathrm{①}×5+\mathrm{②}×3$，由此可知A选项错误，C选项正确。
2. 若要消去x：
方程①中x的系数是2，方程②中x的系数是3，两者的最小公倍数是6。
将①×3，可得：$6x + 9y = -30$；
将②×2，可得：$6x - 10y = -12$；
用①×3减去②×2，或$\mathrm{①}×(-3)+\mathrm{②}×2$即可消去x，由此可知B、D选项的操作都无法消去x，均错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，重点考查加减消元法的基本操作规则，解题关键是准确计算要消去的未知数的系数的最小公倍数，合理变形方程实现消元，熟练掌握该方法是解二元一次方程组的核心基础。
【难度系数】
0.8
5. 对$x,y$定义一种运算$A$,规定$A(x,y)=mx+ny$(其中$m,n$为非零常数),如$A(3,-1)=3m-n$,若$A(1,1)=A(3,-1)=4$,则$m-n$的值是(
A.$-2$
B.$0$
C.$4$
D.$6$
B
)。A.$-2$
B.$0$
C.$4$
D.$6$
答案
5.B
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先读懂题目规定的运算$A(x,y)$的计算规则，将题目给出的两个运算结果$A(1,1)=4$、$A(3,-1)=4$分别代入运算表达式，得到两个关于$m$、$n$的方程，联立得到二元一次方程组；接下来解方程组求出$m$和$n$的值，最后代入$m-n$计算即可得到答案。
【解析】
根据运算规则$A(x,y)=mx+ny$：
1. 代入$A(1,1)=4$，可得：$m×1 + n×1 = 4$，即$m + n = 4$ ①
2. 代入$A(3,-1)=4$，可得：$m×3 + n×(-1) = 4$，即$3m - n = 4$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ 3m - n = 4 \end{cases}$
用加减消元法，将①+②，得：
$4m = 8$，解得$m=2$
把$m=2$代入①式，得：$2 + n = 4$，解得$n=2$
则$m - n = 2 - 2 = 0$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是正确理解新运算的规则，将新运算转化为熟悉的方程问题求解，只要计算仔细，很容易拿到分数。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：首先读懂题目规定的运算$A(x,y)$的计算规则，将题目给出的两个运算结果$A(1,1)=4$、$A(3,-1)=4$分别代入运算表达式，得到两个关于$m$、$n$的方程，联立得到二元一次方程组；接下来解方程组求出$m$和$n$的值，最后代入$m-n$计算即可得到答案。
【解析】
根据运算规则$A(x,y)=mx+ny$：
1. 代入$A(1,1)=4$，可得：$m×1 + n×1 = 4$，即$m + n = 4$ ①
2. 代入$A(3,-1)=4$，可得：$m×3 + n×(-1) = 4$，即$3m - n = 4$ ②
联立①②得到二元一次方程组：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ 3m - n = 4 \end{cases}$
用加减消元法，将①+②，得：
$4m = 8$，解得$m=2$
把$m=2$代入①式，得：$2 + n = 4$，解得$n=2$
则$m - n = 2 - 2 = 0$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是正确理解新运算的规则，将新运算转化为熟悉的方程问题求解，只要计算仔细，很容易拿到分数。
【难度系数】
0.8
6. 若$|x - y - 2| + (2x + y - 4)^2 = 0$，则$2x - y$的值是（
A.−2
B.3
C.1
D.4
D
）。A.−2
B.3
C.1
D.4
答案
6.D
解析
【分析】
本题可根据绝对值与平方的非负性解题：我们知道任意数的绝对值、任意数的平方都是非负数（即大于等于0），若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须同时为0。据此我们可以列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值后，代入2x-y计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵ $|x - y - 2| ≥ 0$，$(2x + y - 4)^2 ≥ 0$，且$|x - y - 2| + (2x + y - 4)^2 = 0$
∴ 两个非负项都为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 2 = 0 \quad ① \\2x + y - 4 = 0 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法，①+②得：$3x - 6 = 0$，解得$x = 2$
将$x=2$代入①得：$2 - y - 2 = 0$，解得$y = 0$
将$x=2$，$y=0$代入$2x-y$得：$2×2 - 0 = 4$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性，能快速根据非负性列出方程组，计算时注意消元方法的正确使用，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
本题可根据绝对值与平方的非负性解题：我们知道任意数的绝对值、任意数的平方都是非负数（即大于等于0），若两个非负数的和为0，则这两个非负数必须同时为0。据此我们可以列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值后，代入2x-y计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵ $|x - y - 2| ≥ 0$，$(2x + y - 4)^2 ≥ 0$，且$|x - y - 2| + (2x + y - 4)^2 = 0$
∴ 两个非负项都为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 2 = 0 \quad ① \\2x + y - 4 = 0 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法，①+②得：$3x - 6 = 0$，解得$x = 2$
将$x=2$代入①得：$2 - y - 2 = 0$，解得$y = 0$
将$x=2$，$y=0$代入$2x-y$得：$2×2 - 0 = 4$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性，能快速根据非负性列出方程组，计算时注意消元方法的正确使用，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
7. 已知方程组$\begin{cases}5x - 4y = m, \\3x + 5y = 8\end{cases}$中，$x$，$y$的值相等，则$m$的值是（ ）。
A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-5$
A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$-5$
答案
7.B
解析
【分析】
本题的解题突破口是题干给出的“x，y的值相等”这一条件。我们可以先利用这个等量关系将二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出x、y的具体值，再将x、y的值代入含有参数m的方程，即可求出m的值。具体思路：第一步，把y替换成x，代入不含参数m的第二个方程，解出x的值，也就得到了y的值；第二步，将x、y的值代入第一个方程，计算得到m的数值，对应选出答案即可。
【解析】
已知x、y的值相等，即$y=x$，将$y=x$代入方程$3x+5y=8$中，可得：
$3x + 5x = 8$
合并同类项得：$8x = 8$
解得：$x = 1$
所以$y = x = 1$
将$x=1$，$y=1$代入方程$5x - 4y = m$中，得：
$m = 5×1 - 4×1 = 5 - 4 = 1$
所以m的值为1。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心是利用题干给出的未知数之间的等量关系简化计算，解题时优先代入不含参数的方程求出未知数的值，再求解参数即可。
【难度系数】
0.9
本题的解题突破口是题干给出的“x，y的值相等”这一条件。我们可以先利用这个等量关系将二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出x、y的具体值，再将x、y的值代入含有参数m的方程，即可求出m的值。具体思路：第一步，把y替换成x，代入不含参数m的第二个方程，解出x的值，也就得到了y的值；第二步，将x、y的值代入第一个方程，计算得到m的数值，对应选出答案即可。
【解析】
已知x、y的值相等，即$y=x$，将$y=x$代入方程$3x+5y=8$中，可得：
$3x + 5x = 8$
合并同类项得：$8x = 8$
解得：$x = 1$
所以$y = x = 1$
将$x=1$，$y=1$代入方程$5x - 4y = m$中，得：
$m = 5×1 - 4×1 = 5 - 4 = 1$
所以m的值为1。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心是利用题干给出的未知数之间的等量关系简化计算，解题时优先代入不含参数的方程求出未知数的值，再求解参数即可。
【难度系数】
0.9
8. 在方程$y=ax+b$中，当$x=-1$时，$y=0$，则$a-b$的值是
0
。答案
8.0
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。首先明确：满足方程的x、y值是方程的解，所以我们只需将已知的x=-1、y=0代入原方程，再对得到的等式进行简单变形，就能直接求出a-b的值。
【解析】
将$x=-1$，$y=0$代入方程$y=ax+b$中，可得：
$0 = a×(-1) + b$
整理得：$0 = -a + b$
将等式移项变形，把含a、b的项移到等式左侧：
$a - b = 0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握代入法，将方程的解代入原方程得到参数之间的关系，再通过简单的等式变形即可得到所求代数式的值，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。首先明确：满足方程的x、y值是方程的解，所以我们只需将已知的x=-1、y=0代入原方程，再对得到的等式进行简单变形，就能直接求出a-b的值。
【解析】
将$x=-1$，$y=0$代入方程$y=ax+b$中，可得：
$0 = a×(-1) + b$
整理得：$0 = -a + b$
将等式移项变形，把含a、b的项移到等式左侧：
$a - b = 0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握代入法，将方程的解代入原方程得到参数之间的关系，再通过简单的等式变形即可得到所求代数式的值，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
9. 如图，数轴上的点A,B,C,D对应的数分别是a,b,c,d，且$2a - 3b = -2$，那么数轴的原点是点。
答案
9.D
解析
【分析】
首先观察数轴特征，相邻小刻度间距相等，先确定A、B两点的间隔数，得到b与a的数量关系，再代入已知等式2a-3b=-2求解a的值，依次推出b、c、d的值，对应数值为0的点就是数轴原点。
【解析】
设数轴上每个小格代表的单位长度为1，观察数轴可知A到B间隔3个单位长度，因此可得：
$b=a+3$
将$b=a+3$代入$2a-3b=-2$：
$2a-3(a+3)=-2$
展开计算：
$2a-3a-9=-2$
$-a=7$
解得$a=-7$
由此依次计算各点对应数值：
$b=a+3=-7+3=-4$
$c=b+1=-4+1=-3$
$d=c+3=-3+3=0$
因为点D对应的数d=0，所以数轴的原点是点D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的认识，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴上点的位置关系，通过建立点与对应数的关系代入方程求解，核心是掌握数轴上点的大小规律和单位长度的统一性，解题时注意准确数出各点之间的间隔数即可。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴特征，相邻小刻度间距相等，先确定A、B两点的间隔数，得到b与a的数量关系，再代入已知等式2a-3b=-2求解a的值，依次推出b、c、d的值，对应数值为0的点就是数轴原点。
【解析】
设数轴上每个小格代表的单位长度为1，观察数轴可知A到B间隔3个单位长度，因此可得：
$b=a+3$
将$b=a+3$代入$2a-3b=-2$：
$2a-3(a+3)=-2$
展开计算：
$2a-3a-9=-2$
$-a=7$
解得$a=-7$
由此依次计算各点对应数值：
$b=a+3=-7+3=-4$
$c=b+1=-4+1=-3$
$d=c+3=-3+3=0$
因为点D对应的数d=0，所以数轴的原点是点D。
【答案】
D
【知识点】
数轴的认识，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合数轴上点的位置关系，通过建立点与对应数的关系代入方程求解，核心是掌握数轴上点的大小规律和单位长度的统一性，解题时注意准确数出各点之间的间隔数即可。
【难度系数】
0.7
10. 若关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - 2y = 1, \\ax - y = 2\end{cases}$ 无解,则 $ a $ 的值是 ______ 。
答案
10.1
解析
【分析】
要解决二元一次方程组无解的问题，我们可以从消元转化的角度思考：把二元一次方程组消去一个未知数后，会得到一元一次方程，若一元一次方程$mx=n$满足$m=0$且$n≠0$，则该方程无解，对应的原二元一次方程组也无解。我们可以先用代入消元法消去$y$，再根据无解的条件列等式求$a$的值。
【解析】
首先对第二个方程变形：由$ax - y = 2$可得$y = ax - 2$。
将$y = ax - 2$代入第一个方程$2x - 2y = 1$，得：
$2x - 2(ax - 2) = 1$
展开并整理得：
$(2 - 2a)x = -3$
因为原二元一次方程组无解，所以上述关于$x$的一元一次方程无解，满足$x$的系数为0、常数项不为0：
即$2 - 2a = 0$，解得$a = 1$。
此时右边$-3≠0$，符合无解的条件，故$a$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解的判定；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题核心考查二元一次方程组无解的对应条件，解题时可以通过代数消元的方式转化为一元一次方程无解的情况求解，也可以结合一次函数图像平行的性质分析，属于基础类的综合考查题。
【难度系数】
0.7
要解决二元一次方程组无解的问题，我们可以从消元转化的角度思考：把二元一次方程组消去一个未知数后，会得到一元一次方程，若一元一次方程$mx=n$满足$m=0$且$n≠0$，则该方程无解，对应的原二元一次方程组也无解。我们可以先用代入消元法消去$y$，再根据无解的条件列等式求$a$的值。
【解析】
首先对第二个方程变形：由$ax - y = 2$可得$y = ax - 2$。
将$y = ax - 2$代入第一个方程$2x - 2y = 1$，得：
$2x - 2(ax - 2) = 1$
展开并整理得：
$(2 - 2a)x = -3$
因为原二元一次方程组无解，所以上述关于$x$的一元一次方程无解，满足$x$的系数为0、常数项不为0：
即$2 - 2a = 0$，解得$a = 1$。
此时右边$-3≠0$，符合无解的条件，故$a$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组解的判定；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题核心考查二元一次方程组无解的对应条件，解题时可以通过代数消元的方式转化为一元一次方程无解的情况求解，也可以结合一次函数图像平行的性质分析，属于基础类的综合考查题。
【难度系数】
0.7
11. 若$\begin{cases}2x+y=3, \\2x-y=5,\end{cases}$则$4x^2 - y^2$的值为 ______ 。
答案
11.15
解析
【分析】
首先观察所求代数式$4x^2 - y^2$的结构，它符合平方差公式的形式，可因式分解为$(2x+y)(2x-y)$，而题目中恰好直接给出了$2x+y$和$2x-y$的值，无需解方程组求出x、y的具体值，直接整体代入计算即可，既简便又不易出错。如果没联想到因式分解，也可以先解二元一次方程组求出x、y的值，再代入代数式计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$4x^2 - y^2=(2x)^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
已知$\begin{cases}2x+y=3 \\2x-y=5\end{cases}$，将两个式子的值代入得：
原式$=3×5=15$
方法二（解方程组代入法）：
解方程组$\begin{cases}2x+y=3 ①\\2x-y=5 ②\end{cases}$
①+②得：$4x=8$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2×2 + y=3$，解得$y=-1$
将$x=2$，$y=-1$代入$4x^2 - y^2$得：
原式$=4×2^2 - (-1)^2=4×4 -1=16-1=15$
【答案】
15
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题可以通过两种方法求解，优先使用因式分解结合整体代入的方法更简便，能减少计算量，考查学生对公式的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.85
首先观察所求代数式$4x^2 - y^2$的结构，它符合平方差公式的形式，可因式分解为$(2x+y)(2x-y)$，而题目中恰好直接给出了$2x+y$和$2x-y$的值，无需解方程组求出x、y的具体值，直接整体代入计算即可，既简便又不易出错。如果没联想到因式分解，也可以先解二元一次方程组求出x、y的值，再代入代数式计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一（整体代入法）：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$4x^2 - y^2=(2x)^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
已知$\begin{cases}2x+y=3 \\2x-y=5\end{cases}$，将两个式子的值代入得：
原式$=3×5=15$
方法二（解方程组代入法）：
解方程组$\begin{cases}2x+y=3 ①\\2x-y=5 ②\end{cases}$
①+②得：$4x=8$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2×2 + y=3$，解得$y=-1$
将$x=2$，$y=-1$代入$4x^2 - y^2$得：
原式$=4×2^2 - (-1)^2=4×4 -1=16-1=15$
【答案】
15
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题可以通过两种方法求解，优先使用因式分解结合整体代入的方法更简便，能减少计算量，考查学生对公式的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.85
12. 甲、乙两名同学在解方程组$\begin{cases} ax+3y=9, \\ bx-4y=4 \end{cases}$时，甲把字母$a$看错了，得到方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=1; \end{cases}$乙把字母$b$看错了，得到方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2, \end{cases}$则$a+b$的值为________。
答案
12.3
解析
【分析】
解题的关键在于理解“看错某个字母”的含义：甲看错了a，说明他求得的解满足不含a的第二个方程（因为甲没看错b），因此可将甲的解代入第二个方程求出b的值；乙看错了b，说明他求得的解满足不含b的第一个方程（因为乙没看错a），因此可将乙的解代入第一个方程求出a的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：
∵甲把字母a看错了，
∴$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$是方程$bx-4y=4$的解，
将$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入$bx-4y=4$，得：
$4b - 4×1 = 4$，
解得$b=2$。
∵乙把字母b看错了，
∴$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$是方程$ax+3y=9$的解，
将$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+3y=9$，得：
$3a + 3×2 =9$，
解得$a=1$。
∴$a+b=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；代入法求参数；代数式求值
【点评】
本题核心是明确“看错某一参数时，解仍满足不含该参数的方程”这一逻辑，是二元一次方程组章节的典型基础题型，重点考查对解的定义的理解。
【难度系数】
0.7
解题的关键在于理解“看错某个字母”的含义：甲看错了a，说明他求得的解满足不含a的第二个方程（因为甲没看错b），因此可将甲的解代入第二个方程求出b的值；乙看错了b，说明他求得的解满足不含b的第一个方程（因为乙没看错a），因此可将乙的解代入第一个方程求出a的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：
∵甲把字母a看错了，
∴$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$是方程$bx-4y=4$的解，
将$\begin{cases} x=4, \\ y=1 \end{cases}$代入$bx-4y=4$，得：
$4b - 4×1 = 4$，
解得$b=2$。
∵乙把字母b看错了，
∴$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$是方程$ax+3y=9$的解，
将$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+3y=9$，得：
$3a + 3×2 =9$，
解得$a=1$。
∴$a+b=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；代入法求参数；代数式求值
【点评】
本题核心是明确“看错某一参数时，解仍满足不含该参数的方程”这一逻辑，是二元一次方程组章节的典型基础题型，重点考查对解的定义的理解。
【难度系数】
0.7
13. 解下列方程组:(1) $\begin{cases} y=x+3, \\7x+5y=9; \end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x-3y=4, \\2x+y=12; \end{cases}$
(3)
(2) $\begin{cases}4x-3y=4, \\2x+y=12; \end{cases}$
(3)
答案
13. (1)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=4, \\ y=4 \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=\dfrac{17}{15}, \\ y=\dfrac{11}{15} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=4, \\ y=4 \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=\dfrac{17}{15}, \\ y=\dfrac{11}{15} \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解：
(1) 第一个方程直接给出了y关于x的表达式，选用代入消元法，将y的表达式代入第二个方程即可先求出x，再回代求y；
(2) 观察方程组中y的系数，将第二个方程乘3后和第一个方程相加即可消去y，用加减消元法先求x，再回代求y；
(3) 先对原方程组进行化简，第一个方程去括号、第二个方程去分母，整理为标准的二元一次方程组形式，再用代入消元法求解即可。
【解析】
(1) 记方程组为 $\begin{cases} y=x+3&① \\7x+5y=9&② \end{cases}$
将①代入②得：$7x + 5(x+3) = 9$
展开计算：$7x +5x +15 =9$，即$12x=-6$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入①得：$y=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2}$
(2) 记方程组为 $\begin{cases}4x-3y=4&① \\2x+y=12&② \end{cases}$
将②×3得：$6x +3y =36$ ③
①+③得：$10x=40$，解得$x=4$
将$x=4$代入②得：$2×4 + y=12$，解得$y=4$
(3) 原方程组补全并整理为：$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=4 \\ \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{6}=1 \end{cases}$
对第一个方程去括号得：$3x+3y -4x +4y =4$，化简为：$-x +7y =4$ ③
对第二个方程两边同乘6去分母得：$3(x+y)+(x-y)=6$，展开化简得：$2x + y =3$ ④
由③得：$x=7y-4$ ⑤，将⑤代入④得：$2(7y-4)+y=3$
展开计算：$14y -8 +y=3$，即$15y=11$，解得$y=\dfrac{11}{15}$
将$y=\dfrac{11}{15}$代入⑤得：$x=7×\dfrac{11}{15}-4=\dfrac{77}{15}-\dfrac{60}{15}=\dfrac{17}{15}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=\dfrac{17}{15} \\ y=\dfrac{11}{15} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
这三道题是二元一次方程组的基础典型题，覆盖了代入消元、加减消元以及先化简方程组再消元的常见考法，掌握消元的核心思想就能快速求解，有助于巩固二元一次方程组的解题技能。
【难度系数】
0.75
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解：
(1) 第一个方程直接给出了y关于x的表达式，选用代入消元法，将y的表达式代入第二个方程即可先求出x，再回代求y；
(2) 观察方程组中y的系数，将第二个方程乘3后和第一个方程相加即可消去y，用加减消元法先求x，再回代求y；
(3) 先对原方程组进行化简，第一个方程去括号、第二个方程去分母，整理为标准的二元一次方程组形式，再用代入消元法求解即可。
【解析】
(1) 记方程组为 $\begin{cases} y=x+3&① \\7x+5y=9&② \end{cases}$
将①代入②得：$7x + 5(x+3) = 9$
展开计算：$7x +5x +15 =9$，即$12x=-6$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$代入①得：$y=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2}$
(2) 记方程组为 $\begin{cases}4x-3y=4&① \\2x+y=12&② \end{cases}$
将②×3得：$6x +3y =36$ ③
①+③得：$10x=40$，解得$x=4$
将$x=4$代入②得：$2×4 + y=12$，解得$y=4$
(3) 原方程组补全并整理为：$\begin{cases}3(x+y)-4(x-y)=4 \\ \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{6}=1 \end{cases}$
对第一个方程去括号得：$3x+3y -4x +4y =4$，化简为：$-x +7y =4$ ③
对第二个方程两边同乘6去分母得：$3(x+y)+(x-y)=6$，展开化简得：$2x + y =3$ ④
由③得：$x=7y-4$ ⑤，将⑤代入④得：$2(7y-4)+y=3$
展开计算：$14y -8 +y=3$，即$15y=11$，解得$y=\dfrac{11}{15}$
将$y=\dfrac{11}{15}$代入⑤得：$x=7×\dfrac{11}{15}-4=\dfrac{77}{15}-\dfrac{60}{15}=\dfrac{17}{15}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=4 \\ y=4 \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x=\dfrac{17}{15} \\ y=\dfrac{11}{15} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
这三道题是二元一次方程组的基础典型题，覆盖了代入消元、加减消元以及先化简方程组再消元的常见考法，掌握消元的核心思想就能快速求解，有助于巩固二元一次方程组的解题技能。
【难度系数】
0.75
