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14. 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}kx + y = 7, \\3x - y = 0\end{cases}$ 有正整数解，其中 $ k $ 为整数，求 $ k^2 -1 $ 的值。
答案
14. 解:已知方程组$\begin{cases}kx+y=7①, \\3x-y=0②,\end{cases}$
①+②,得$x=\dfrac{7}{k+3}$,
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②,得$y=\dfrac{21}{k+3}$。
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} kx+y=7, \\ 3x-y=0 \end{cases}$有正整数解,其中$k$为整数,
所以$k+3=1$或7,
解得$k=-2$或4。
当$k=-2$时,
$k^2-1=(-2)^2-1=4-1=3$;
当$k=4$时,$k^2-1=4^2-1=15$,
所以$k^2-1$的值为3或15。
①+②,得$x=\dfrac{7}{k+3}$,
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②,得$y=\dfrac{21}{k+3}$。
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} kx+y=7, \\ 3x-y=0 \end{cases}$有正整数解,其中$k$为整数,
所以$k+3=1$或7,
解得$k=-2$或4。
当$k=-2$时,
$k^2-1=(-2)^2-1=4-1=3$;
当$k=4$时,$k^2-1=4^2-1=15$,
所以$k^2-1$的值为3或15。
解析
【分析】
这是含参数的二元一次方程组求整数解的问题，解题思路如下：第一步，先将参数k看作常数，用加减消元法解方程组，用含k的代数式表示x和y；第二步，根据方程组的解是正整数、k是整数的条件，可知k+3是7的正约数（因为x为正整数，分母必须是分子的正因数），由此求出k的可能取值；第三步，将k的取值代入$k^2-1$计算结果即可。
【解析】
解：已知方程组$\begin{cases}kx+y=7① \\3x-y=0②\end{cases}$
①+②，得$(k+3)x=7$，解得$x=\dfrac{7}{k+3}$，
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②，得$3×\dfrac{7}{k+3}-y=0$，解得$y=\dfrac{21}{k+3}$。
因为方程组有正整数解，且k为整数，所以$x=\dfrac{7}{k+3}$、$y=\dfrac{21}{k+3}$均为正整数，
因此$k+3$是7的正约数，即$k+3=1$或$k+3=7$，
解得$k=-2$或$k=4$。
当$k=-2$时，$k^2-1=(-2)^2-1=3$；
当$k=4$时，$k^2-1=4^2-1=15$。
【答案】
3或15
【知识点】
二元一次方程组求解，整数解应用，代数式求值
【点评】
本题重点考察含参数二元一次方程组的整数解问题，核心方法是先将参数视为常数求解未知数，再结合正整数的约束条件确定参数的可能取值，解题时要注意正整数解要求分母为分子的正因数，避免遗漏或多算符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
这是含参数的二元一次方程组求整数解的问题，解题思路如下：第一步，先将参数k看作常数，用加减消元法解方程组，用含k的代数式表示x和y；第二步，根据方程组的解是正整数、k是整数的条件，可知k+3是7的正约数（因为x为正整数，分母必须是分子的正因数），由此求出k的可能取值；第三步，将k的取值代入$k^2-1$计算结果即可。
【解析】
解：已知方程组$\begin{cases}kx+y=7① \\3x-y=0②\end{cases}$
①+②，得$(k+3)x=7$，解得$x=\dfrac{7}{k+3}$，
把$x=\dfrac{7}{k+3}$代入②，得$3×\dfrac{7}{k+3}-y=0$，解得$y=\dfrac{21}{k+3}$。
因为方程组有正整数解，且k为整数，所以$x=\dfrac{7}{k+3}$、$y=\dfrac{21}{k+3}$均为正整数，
因此$k+3$是7的正约数，即$k+3=1$或$k+3=7$，
解得$k=-2$或$k=4$。
当$k=-2$时，$k^2-1=(-2)^2-1=3$；
当$k=4$时，$k^2-1=4^2-1=15$。
【答案】
3或15
【知识点】
二元一次方程组求解，整数解应用，代数式求值
【点评】
本题重点考察含参数二元一次方程组的整数解问题，核心方法是先将参数视为常数求解未知数，再结合正整数的约束条件确定参数的可能取值，解题时要注意正整数解要求分母为分子的正因数，避免遗漏或多算符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
15. 定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$(其中$a≠b≠c$)中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的新方程称为它的“变更方程”,例如$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$。
(1)方程$3x+2y=4$的“变更方程”为________；
(2)方程$2x+3y=4$与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于$x,y$的二元一次方程$mx+ny=p$的一个解,且$a+b+c=0$,$ax+by=c$,求代数式$(m+n)m - p(n+p)+2625$的值。
(1)方程$3x+2y=4$的“变更方程”为________；
(2)方程$2x+3y=4$与它的“变更方程”组成的方程组的解为________；
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于$x,y$的二元一次方程$mx+ny=p$的一个解,且$a+b+c=0$,$ax+by=c$,求代数式$(m+n)m - p(n+p)+2625$的值。
答案
15. 解:(1)$4x+2y=3$。
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$。
(3)方程$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$。
由$\begin{cases} ax+by=c, \\ cx+by=a, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=\dfrac{a+c}{b} \end{cases}$。
因为$a+b+c=0$,
所以$a+c=-b$,即$y=-1$。
把$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程$mx+ny=p$,
得$m+n=-p$,则$(m+n)m-p(n+p)+2625=-pm-p(n+p)+2625=-p(m+n)-p^2+2625=p^2-p^2+2625=2625$。
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$。
(3)方程$ax+by=c$的“变更方程”为$cx+by=a$。
由$\begin{cases} ax+by=c, \\ cx+by=a, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=\dfrac{a+c}{b} \end{cases}$。
因为$a+b+c=0$,
所以$a+c=-b$,即$y=-1$。
把$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1 \end{cases}$代入方程$mx+ny=p$,
得$m+n=-p$,则$(m+n)m-p(n+p)+2625=-pm-p(n+p)+2625=-p(m+n)-p^2+2625=p^2-p^2+2625=2625$。
解析
【分析】
(1) 首先准确理解“变更方程”的定义：将二元一次方程的常数项c与x的系数a互换，y的系数b保持不变，直接套用定义即可写出结果。
(2) 先根据定义写出原方程的变更方程，再组成二元一次方程组，采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入方程求出y的值即可。
(3) 先写出$ax+by=c$的变更方程，组成方程组后用加减消元法先求出x的值，再结合$a+b+c=0$的条件求出y的值，得到方程组的解后代入$mx+ny=p$，得到m、n、p的等量关系，最后将该等量关系整体代入所求代数式化简，即可求出结果。
【解析】
(1) 根据“变更方程”的定义，将方程$3x+2y=4$的常数项4和x的系数3互换，y的系数2不变，得到变更方程为$4x+2y=3$。
(2) 方程$2x+3y=4$的变更方程为$4x+3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x+3y=4&①\\4x+3y=2&②\end{cases}$
用②-①得：$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入①得：$2×(-1)+3y=4$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$。
(3) 方程$ax+by=c$的变更方程为$cx+by=a$，组成方程组：
$\begin{cases}ax+by=c&①\\cx+by=a&②\end{cases}$
①-②得：$(a-c)x = c - a$，由题知$a≠ c$，即$a-c≠0$，两边同时除以$(a-c)$得$x=-1$。
把$x=-1$代入①得：$-a + by = c$，解得$y=\frac{a+c}{b}$。
已知$a+b+c=0$，所以$a+c=-b$，代入$y$的表达式得$y=\frac{-b}{b}=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$，将其代入$mx+ny=p$得：$-m -n = p$，即$m + n = -p$。
将$m + n = -p$代入代数式$(m+n)m - p(n+p)+2625$：
$\begin{aligned}原式&=-p· m - p(n + p) + 2625\\&=-pm -pn -p^2 + 2625\\&=-p(m + n) - p^2 + 2625\\&=-p·(-p) - p^2 + 2625\\&=p^2 - p^2 + 2625\\&=2625\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x+2y=3$
(2) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$
(3) $2625$
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法、代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的求解和代数式的整体代入求值，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，再结合已知条件推导未知数的值及参数间的等量关系，整体代入的思路是简化计算的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 首先准确理解“变更方程”的定义：将二元一次方程的常数项c与x的系数a互换，y的系数b保持不变，直接套用定义即可写出结果。
(2) 先根据定义写出原方程的变更方程，再组成二元一次方程组，采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入方程求出y的值即可。
(3) 先写出$ax+by=c$的变更方程，组成方程组后用加减消元法先求出x的值，再结合$a+b+c=0$的条件求出y的值，得到方程组的解后代入$mx+ny=p$，得到m、n、p的等量关系，最后将该等量关系整体代入所求代数式化简，即可求出结果。
【解析】
(1) 根据“变更方程”的定义，将方程$3x+2y=4$的常数项4和x的系数3互换，y的系数2不变，得到变更方程为$4x+2y=3$。
(2) 方程$2x+3y=4$的变更方程为$4x+3y=2$，组成方程组：
$\begin{cases}2x+3y=4&①\\4x+3y=2&②\end{cases}$
用②-①得：$2x=-2$，解得$x=-1$。
把$x=-1$代入①得：$2×(-1)+3y=4$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$。
(3) 方程$ax+by=c$的变更方程为$cx+by=a$，组成方程组：
$\begin{cases}ax+by=c&①\\cx+by=a&②\end{cases}$
①-②得：$(a-c)x = c - a$，由题知$a≠ c$，即$a-c≠0$，两边同时除以$(a-c)$得$x=-1$。
把$x=-1$代入①得：$-a + by = c$，解得$y=\frac{a+c}{b}$。
已知$a+b+c=0$，所以$a+c=-b$，代入$y$的表达式得$y=\frac{-b}{b}=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$，将其代入$mx+ny=p$得：$-m -n = p$，即$m + n = -p$。
将$m + n = -p$代入代数式$(m+n)m - p(n+p)+2625$：
$\begin{aligned}原式&=-p· m - p(n + p) + 2625\\&=-pm -pn -p^2 + 2625\\&=-p(m + n) - p^2 + 2625\\&=-p·(-p) - p^2 + 2625\\&=p^2 - p^2 + 2625\\&=2625\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x+2y=3$
(2) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$
(3) $2625$
【知识点】
新定义运算、二元一次方程组的解法、代数式化简求值
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的求解和代数式的整体代入求值，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，再结合已知条件推导未知数的值及参数间的等量关系，整体代入的思路是简化计算的关键。
【难度系数】
0.7
