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7. 已知 $\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$ 是二元一次方程组 $\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$ 的解，则 $2m-n$ 的算术平方根为（ ）。
A.$\pm 2$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
A.$\pm 2$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
答案
7.C
解析
【分析】
首先，二元一次方程组的解是能同时满足方程组中两个方程的未知数的值，因此我们可以先将已知的$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于m、n的二元一次方程组；接下来解这个方程组求出m和n的值；再将m、n代入$2m-n$计算出结果；最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）求出最终结果，对应选择正确选项即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8 \quad \mathrm{①} \\ 2n - m = 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
对②式变形得$m=2n-1$，将其代入①式：
$2(2n-1) + n = 8$
展开计算：$4n -2 +n =8$，即$5n=10$，解得$n=2$。
将$n=2$代入$m=2n-1$，得$m=2×2 -1=3$。
计算$2m-n$：$2×3 -2=4$。
根据算术平方根的定义，4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用方程组的解的意义将原方程组转化为关于参数的新方程组求解，计算时需注意算术平方根具有非负性，不要与平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.7
首先，二元一次方程组的解是能同时满足方程组中两个方程的未知数的值，因此我们可以先将已知的$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于m、n的二元一次方程组；接下来解这个方程组求出m和n的值；再将m、n代入$2m-n$计算出结果；最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）求出最终结果，对应选择正确选项即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8 \quad \mathrm{①} \\ 2n - m = 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
对②式变形得$m=2n-1$，将其代入①式：
$2(2n-1) + n = 8$
展开计算：$4n -2 +n =8$，即$5n=10$，解得$n=2$。
将$n=2$代入$m=2n-1$，得$m=2×2 -1=3$。
计算$2m-n$：$2×3 -2=4$。
根据算术平方根的定义，4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用方程组的解的意义将原方程组转化为关于参数的新方程组求解，计算时需注意算术平方根具有非负性，不要与平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.7
8. 已知方程组$\begin{cases}5x+y=3,\\ax+5y=4\end{cases}$和$\begin{cases}x-2y=5,\\5x+by=1\end{cases}$有相同的解，则$a,b$的值分别为（ ）。
A.$\begin{cases}a=1,\\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=-4,\\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6,\\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14,\\b=2\end{cases}$
A.$\begin{cases}a=1,\\b=2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a=-4,\\b=-6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a=-6,\\b=2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a=14,\\b=2\end{cases}$
答案
8.D
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程组合起来，求解得到x和y的公共解，再把公共解代入剩下的含a、b的方程，就能分别算出a和b的数值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解
∴ 该解同时满足$5x+y=3$和$x-2y=5$，联立得新方程组：
$\begin{cases}5x+y=3 ①\\x-2y=5 ②\end{cases}$
①×2得：$10x+2y=6$ ③
③+②得：$11x=11$，解得$x=1$
将$x=1$代入①得：$5×1 + y =3$，解得$y=-2$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$得：
$a×1 +5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$得：
$5×1 + b×(-2)=1$
$5-2b=1$，解得$b=2$
综上得$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
同解方程组；解二元一次方程组；代入求参数
【点评】
本题考查同解方程组的应用，解题关键是抓住“同解”的性质先求出公共解，再代入含参数的方程计算参数值，是二元一次方程组部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程组合起来，求解得到x和y的公共解，再把公共解代入剩下的含a、b的方程，就能分别算出a和b的数值。
【解析】
∵ 两个方程组有相同的解
∴ 该解同时满足$5x+y=3$和$x-2y=5$，联立得新方程组：
$\begin{cases}5x+y=3 ①\\x-2y=5 ②\end{cases}$
①×2得：$10x+2y=6$ ③
③+②得：$11x=11$，解得$x=1$
将$x=1$代入①得：$5×1 + y =3$，解得$y=-2$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$ax+5y=4$得：
$a×1 +5×(-2)=4$
$a-10=4$，解得$a=14$
把$\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$代入$5x+by=1$得：
$5×1 + b×(-2)=1$
$5-2b=1$，解得$b=2$
综上得$\begin{cases}a=14\\b=2\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
同解方程组；解二元一次方程组；代入求参数
【点评】
本题考查同解方程组的应用，解题关键是抓住“同解”的性质先求出公共解，再代入含参数的方程计算参数值，是二元一次方程组部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 已知等腰三角形的两边长分别为$a,b$，且$a,b$满足$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$，则此等腰三角形的周长为（）。
A.7或8
B.6或10
C.6或7
D.7或10
A.7或8
B.6或10
C.6或7
D.7或10
答案
9.A
解析
【分析】
首先根据算术平方根和偶次平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数对应的表达式都为0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后用三角形三边关系验证两种情况是否成立，计算对应周长即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$，$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$
∴ 可列二元一次方程组：
$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\2a + 3b - 13 = 0\end{cases}$
将两个方程相加消去b，得$4a - 8 = 0$，解得$a=2$
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$，得$4 - 3b + 5 = 0$，解得$b=3$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3
∵ $2+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+3=7$
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2
∵ $3+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+2=8$
因此此等腰三角形的周长为7或8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，等腰三角形周长计算
【点评】
本题属于代数几何综合的基础题型，既考查了非负数性质和二元一次方程组的求解，也考查了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意对等腰三角形的腰长分类后必须验证三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
首先根据算术平方根和偶次平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数对应的表达式都为0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后用三角形三边关系验证两种情况是否成立，计算对应周长即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$，$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$
∴ 可列二元一次方程组：
$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\2a + 3b - 13 = 0\end{cases}$
将两个方程相加消去b，得$4a - 8 = 0$，解得$a=2$
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$，得$4 - 3b + 5 = 0$，解得$b=3$
分两种情况讨论等腰三角形的周长：
① 当腰长为2，底边长为3时，三边长为2、2、3
∵ $2+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$2+2+3=7$
② 当腰长为3，底边长为2时，三边长为3、3、2
∵ $3+2＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+2=8$
因此此等腰三角形的周长为7或8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，等腰三角形周长计算
【点评】
本题属于代数几何综合的基础题型，既考查了非负数性质和二元一次方程组的求解，也考查了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意对等腰三角形的腰长分类后必须验证三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
10. 已知$\begin{cases}2x+y=7,\\x+2y=5,\end{cases}$则$x+y$的值为 ______ ，$x-y$的值为 ______ 。
答案
10.4 2
解析
【分析】
解题时可先观察所求代数式和已知方程组的系数特征：已知两个方程中x的系数和为3，y的系数和也为3；x的系数差为1，y的系数差为-1，因此可以不用单独求解x、y的具体值，采用整体加减的方法更简便：将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含x+y的等式，进而求出x+y的值；将两个方程左右两边分别相减，可直接得到x-y的值。若未观察到整体法，也可先解方程组求出x、y的具体值，再代入计算结果。
【解析】
解：记$\begin{cases}2x+y=7&①\\x+2y=5&②\end{cases}$
1. 计算$x+y$的值：
将①+②，左边合并同类项得$3x+3y$，右边求和得$7+5=12$，即$3(x+y)=12$，
等式两边同时除以3，得$x+y=4$。
2. 计算$x-y$的值：
将①-②，去括号合并同类项得$2x+y-x-2y=x-y$，右边求差得$7-5=2$，即$x-y=2$。
【答案】
4；2
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，解题时优先观察方程系数与所求代数式的关联，选择整体加减的方法可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题时可先观察所求代数式和已知方程组的系数特征：已知两个方程中x的系数和为3，y的系数和也为3；x的系数差为1，y的系数差为-1，因此可以不用单独求解x、y的具体值，采用整体加减的方法更简便：将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含x+y的等式，进而求出x+y的值；将两个方程左右两边分别相减，可直接得到x-y的值。若未观察到整体法，也可先解方程组求出x、y的具体值，再代入计算结果。
【解析】
解：记$\begin{cases}2x+y=7&①\\x+2y=5&②\end{cases}$
1. 计算$x+y$的值：
将①+②，左边合并同类项得$3x+3y$，右边求和得$7+5=12$，即$3(x+y)=12$，
等式两边同时除以3，得$x+y=4$。
2. 计算$x-y$的值：
将①-②，去括号合并同类项得$2x+y-x-2y=x-y$，右边求差得$7-5=2$，即$x-y=2$。
【答案】
4；2
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，解题时优先观察方程系数与所求代数式的关联，选择整体加减的方法可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
11. 如图，在$3×3$的网格内，填写了一些代数式和数。
(1) 图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出$x,y$的值；
(2) 把满足(1)的其他6个数填入图②中的网格内。
(1) 图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出$x,y$的值；
(2) 把满足(1)的其他6个数填入图②中的网格内。
答案
11.解:(1)由题意,得
$\begin{cases}2x+y+4y=2+3+2x, \\2x+y+4y=2-3+4y,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-1, \\y=1。\end{cases}$
(2)填图如下：
解析
【分析】
本题是三阶幻方的应用类问题，解题思路如下：1. 明确三阶幻方的核心性质：各行、各列、对角线上的三个数之和均相等；2. 选取包含未知数x、y的对角线、行、列，分别与已知数较多的行、列的和构建等量关系，列出二元一次方程组；3. 解方程组得到x、y的值；4. 先求出幻和（即三个数的公共和），再依次计算其余空位的数值填入网格即可。
【解析】
(1) 根据三阶幻方的性质，主对角线三个数的和与第一行三个数的和相等、主对角线三个数的和与第三列三个数的和相等，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y+4y=2+3+2x, \\2x+y+4y=2-3+4y,\end{cases}$
化简第一个方程：$2x+5y=2x+5$，两边同时减去$2x$得$5y=5$，解得$y=1$。
将$y=1$代入第二个方程：$2x + 5×1=4×1 -1$，即$2x+5=3$，解得$x=-1$。
(2) 先计算幻和：第一行三个数的和为$2×(-1)+3+2=3$，再根据幻和依次计算各空位数值，填入对应网格即可。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$
(2)
【知识点】
三阶幻方性质；列二元一次方程组；解二元一次方程组
【点评】
本题结合幻方场景考查二元一次方程组的应用，解题的核心是找准“各行各列对角线和相等”的等量关系列方程，计算量小，解题逻辑清晰，能很好地考查学生对二元一次方程组解法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是三阶幻方的应用类问题，解题思路如下：1. 明确三阶幻方的核心性质：各行、各列、对角线上的三个数之和均相等；2. 选取包含未知数x、y的对角线、行、列，分别与已知数较多的行、列的和构建等量关系，列出二元一次方程组；3. 解方程组得到x、y的值；4. 先求出幻和（即三个数的公共和），再依次计算其余空位的数值填入网格即可。
【解析】
(1) 根据三阶幻方的性质，主对角线三个数的和与第一行三个数的和相等、主对角线三个数的和与第三列三个数的和相等，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y+4y=2+3+2x, \\2x+y+4y=2-3+4y,\end{cases}$
化简第一个方程：$2x+5y=2x+5$，两边同时减去$2x$得$5y=5$，解得$y=1$。
将$y=1$代入第二个方程：$2x + 5×1=4×1 -1$，即$2x+5=3$，解得$x=-1$。
(2) 先计算幻和：第一行三个数的和为$2×(-1)+3+2=3$，再根据幻和依次计算各空位数值，填入对应网格即可。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$
(2)
【知识点】
三阶幻方性质；列二元一次方程组；解二元一次方程组
【点评】
本题结合幻方场景考查二元一次方程组的应用，解题的核心是找准“各行各列对角线和相等”的等量关系列方程，计算量小，解题逻辑清晰，能很好地考查学生对二元一次方程组解法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
12.【数学应用】如图，淘气、笑笑两名同学在学习过程中遇到这样一个问题：二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=2k+3①, \\3x+2y=k-2② \end{cases}$的解满足$x+y=2$，求$x,y,k$的值。
(1)请你接着完成淘气的解题过程；
(2)请你按照笑笑的思路完成本题。
(1)请你接着完成淘气的解题过程；
(2)请你按照笑笑的思路完成本题。
答案
12.解:(1)将$k=3$代入方程组中，
得$\begin{cases}2x+3y=9, \\3x+2y=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3, \\y=5。\end{cases}$
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
(2)$2×②-①$,得$4x+y=-7③$,
将$y=2-x$代入③,得$x=-3$,
将$x=-3$代入③,得$y=5$,
将$\begin{cases}x=-3, \\y=5\end{cases}$代入①中,得$k=3$。
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
得$\begin{cases}2x+3y=9, \\3x+2y=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3, \\y=5。\end{cases}$
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
(2)$2×②-①$,得$4x+y=-7③$,
将$y=2-x$代入③,得$x=-3$,
将$x=-3$代入③,得$y=5$,
将$\begin{cases}x=-3, \\y=5\end{cases}$代入①中,得$k=3$。
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
解析
【分析】
（1）淘气已通过将两个方程相加，结合已知$x+y=2$求出了$k=3$，后续只需将$k=3$代回原方程组，得到仅含$x、y$的二元一次方程组，求解即可得到$x、y$的值，进而得到完整结果。
（2）笑笑的思路是先消去参数$k$，观察原方程组中$k$的系数，方程②中$k$的系数为1，方程①中$k$的系数为2，将方程②乘2后减去方程①即可消去$k$，得到仅含$x、y$的方程，再和$x+y=2$联立求解$x、y$，最后将$x、y$代回原方程求$k$即可。
【解析】
(1) 接着淘气的解题过程：将$k=3$代入原方程组中，
得$\begin{cases}2x+3y=9, \\3x+2y=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3, \\y=5。\end{cases}$
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
(2) 按照笑笑的思路解题：
$2×②-①$,得$4x+y=-7$③,
将$y=2-x$代入③,得$x=-3$,
将$x=-3$代入$x+y=2$,得$y=5$,
将$\begin{cases}x=-3, \\y=5\end{cases}$代入①中,得$k=3$。
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法、代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，给出了两种不同的解题方向，能帮助学生理解不同消元思路的用法，锻炼学生根据题目特征选择最优解法的能力。
【难度系数】
0.7
（1）淘气已通过将两个方程相加，结合已知$x+y=2$求出了$k=3$，后续只需将$k=3$代回原方程组，得到仅含$x、y$的二元一次方程组，求解即可得到$x、y$的值，进而得到完整结果。
（2）笑笑的思路是先消去参数$k$，观察原方程组中$k$的系数，方程②中$k$的系数为1，方程①中$k$的系数为2，将方程②乘2后减去方程①即可消去$k$，得到仅含$x、y$的方程，再和$x+y=2$联立求解$x、y$，最后将$x、y$代回原方程求$k$即可。
【解析】
(1) 接着淘气的解题过程：将$k=3$代入原方程组中，
得$\begin{cases}2x+3y=9, \\3x+2y=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3, \\y=5。\end{cases}$
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
(2) 按照笑笑的思路解题：
$2×②-①$,得$4x+y=-7$③,
将$y=2-x$代入③,得$x=-3$,
将$x=-3$代入$x+y=2$,得$y=5$,
将$\begin{cases}x=-3, \\y=5\end{cases}$代入①中,得$k=3$。
所以$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=-3, \\y=5, \\k=3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法、代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，给出了两种不同的解题方向，能帮助学生理解不同消元思路的用法，锻炼学生根据题目特征选择最优解法的能力。
【难度系数】
0.7
