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1. 某汽车的油箱容量为 50 L，该汽车每行驶 100 km 耗油 10 L，设加满油后该汽车行驶的路程为 $ x(\mathrm{km}) $，油箱中剩余油量为 $ y(\mathrm{L}) $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式和自变量的取值范围分别是（
A.$ y=0.1x,x＞0 $
B.$ y=50-0.1x,x＞0 $
C.$ y=0.1x,0≤ x≤ 500 $
D.$ y=50-0.1x,0≤ x≤ 500 $
D
）。A.$ y=0.1x,x＞0 $
B.$ y=50-0.1x,x＞0 $
C.$ y=0.1x,0≤ x≤ 500 $
D.$ y=50-0.1x,0≤ x≤ 500 $
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=油箱总容量-行驶x km消耗的油量。首先先计算汽车每行驶1km的耗油量，再根据数量关系列出函数表达式；再结合实际意义确定自变量x的取值范围：行驶路程不能为负数，同时剩余油量也不能为负数，据此求解范围后对应选项即可。
【解析】
第一步：计算单位里程耗油量
已知汽车每行驶100 km耗油10 L，则每行驶1 km的耗油量为 $10÷100=0.1\ \mathrm{L}$，因此行驶$x\ \mathrm{km}$的耗油量为$0.1x\ \mathrm{L}$。
第二步：列函数表达式
油箱总容量为50 L，剩余油量$y$等于总容量减去已消耗油量，因此$y=50-0.1x$。
第三步：确定自变量取值范围
① 行驶路程不可能为负数，因此$x≥0$；
② 油箱剩余油量不能为负数，即$y=50-0.1x≥0$，解不等式：
$0.1x≤50$，得$x≤500$。
综上，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤500$，符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题核心是理清实际问题中的等量关系，注意确定自变量取值范围时不仅要满足表达式有意义，还要符合实际场景的限制条件，避免忽略实际意义选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确数量关系：油箱剩余油量=油箱总容量-行驶x km消耗的油量。首先先计算汽车每行驶1km的耗油量，再根据数量关系列出函数表达式；再结合实际意义确定自变量x的取值范围：行驶路程不能为负数，同时剩余油量也不能为负数，据此求解范围后对应选项即可。
【解析】
第一步：计算单位里程耗油量
已知汽车每行驶100 km耗油10 L，则每行驶1 km的耗油量为 $10÷100=0.1\ \mathrm{L}$，因此行驶$x\ \mathrm{km}$的耗油量为$0.1x\ \mathrm{L}$。
第二步：列函数表达式
油箱总容量为50 L，剩余油量$y$等于总容量减去已消耗油量，因此$y=50-0.1x$。
第三步：确定自变量取值范围
① 行驶路程不可能为负数，因此$x≥0$；
② 油箱剩余油量不能为负数，即$y=50-0.1x≥0$，解不等式：
$0.1x≤50$，得$x≤500$。
综上，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤500$，符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题核心是理清实际问题中的等量关系，注意确定自变量取值范围时不仅要满足表达式有意义，还要符合实际场景的限制条件，避免忽略实际意义选错答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一只蚂蚁从点O出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到点O的距离为S，则S关于t的函数图象大致为(
A
B
C
D
C
)。A
B
C
D
答案
2.C
解析
【分析】
我们可以把蚂蚁的爬行过程拆分为3个阶段逐一分析：①第一阶段：从O点沿半径OA爬到A点，因为蚂蚁匀速运动，所以它到O点的距离S会随时间t匀速增大，对应图象是一段从原点出发的上升直线；②第二阶段：沿弧AB从A爬到B，这个过程中蚂蚁到圆心O的距离始终等于扇形的半径，所以S保持不变，对应图象是一段水平直线；③第三阶段：沿半径BO从B爬回O点，S会随时间t匀速减小直到为0，对应图象是一段下降到横轴的直线。结合三个阶段的图象特征就能选出正确选项。
【解析】
蚂蚁匀速爬行一周分三个过程：
1. 从O到A：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离S匀速增大，图象为从原点出发的上升线段；
2. 沿弧AB运动：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离始终等于扇形半径，S保持不变，图象为水平线段；
3. 从B返回O：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离S匀速减小至0，图象为下降到横轴的线段。
只有选项C的图象符合上述三个阶段的变化特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别、匀速运动的函数特征、扇形的性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数图象的判断，解题的核心是分阶段梳理因变量随自变量的变化规律，需要具备一定的逻辑分析能力，结合几何图形特征就能快速解题。
【难度系数】
0.7
我们可以把蚂蚁的爬行过程拆分为3个阶段逐一分析：①第一阶段：从O点沿半径OA爬到A点，因为蚂蚁匀速运动，所以它到O点的距离S会随时间t匀速增大，对应图象是一段从原点出发的上升直线；②第二阶段：沿弧AB从A爬到B，这个过程中蚂蚁到圆心O的距离始终等于扇形的半径，所以S保持不变，对应图象是一段水平直线；③第三阶段：沿半径BO从B爬回O点，S会随时间t匀速减小直到为0，对应图象是一段下降到横轴的直线。结合三个阶段的图象特征就能选出正确选项。
【解析】
蚂蚁匀速爬行一周分三个过程：
1. 从O到A：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离S匀速增大，图象为从原点出发的上升线段；
2. 沿弧AB运动：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离始终等于扇形半径，S保持不变，图象为水平线段；
3. 从B返回O：运动时间t增加，蚂蚁到O的距离S匀速减小至0，图象为下降到横轴的线段。
只有选项C的图象符合上述三个阶段的变化特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别、匀速运动的函数特征、扇形的性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数图象的判断，解题的核心是分阶段梳理因变量随自变量的变化规律，需要具备一定的逻辑分析能力，结合几何图形特征就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 若函数$y=kx$的图象经过点$(-1,2)$，则当$-1≤ x≤ 1$时，该函数（
A.有最小值$-2$，最大值2
B.有最小值$-1$，最大值2
C.有最小值$-2$，最大值1
D.有最小值$-1$，最大值1
A
）。A.有最小值$-2$，最大值2
B.有最小值$-1$，最大值2
C.有最小值$-2$，最大值1
D.有最小值$-1$，最大值1
答案
3.A
解析
【分析】
解题可按三步进行：第一步，利用待定系数法，将函数图象经过的点(-1,2)代入正比例函数解析式y=kx，求出k的值，确定函数的具体表达式；第二步，根据k的正负判断正比例函数的增减性；第三步，结合给定的x的取值范围-1≤x≤1，代入区间端点的x值计算对应的y值，即可得到函数的最值，选出正确选项。
【解析】
1. 求k的值：
将点(-1,2)代入y=kx，得：
$2 = k × (-1)$
解得$k=-2$，因此函数解析式为$y=-2x$。
2. 判断函数增减性：
因为$k=-2＜0$，所以y随x的增大而减小。
3. 计算区间内的最值：
已知$-1≤ x≤ 1$，结合函数增减性：
当x取最小值-1时，y取得最大值，$y_{max}=-2×(-1)=2$；
当x取最大值1时，y取得最小值，$y_{min}=-2×1=-2$。
因此该函数有最小值-2，最大值2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数性质，函数最值计算
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例函数增减性的理解和运用，解题的关键是先求出函数解析式，再结合增减性计算指定区间内的最值，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题可按三步进行：第一步，利用待定系数法，将函数图象经过的点(-1,2)代入正比例函数解析式y=kx，求出k的值，确定函数的具体表达式；第二步，根据k的正负判断正比例函数的增减性；第三步，结合给定的x的取值范围-1≤x≤1，代入区间端点的x值计算对应的y值，即可得到函数的最值，选出正确选项。
【解析】
1. 求k的值：
将点(-1,2)代入y=kx，得：
$2 = k × (-1)$
解得$k=-2$，因此函数解析式为$y=-2x$。
2. 判断函数增减性：
因为$k=-2＜0$，所以y随x的增大而减小。
3. 计算区间内的最值：
已知$-1≤ x≤ 1$，结合函数增减性：
当x取最小值-1时，y取得最大值，$y_{max}=-2×(-1)=2$；
当x取最大值1时，y取得最小值，$y_{min}=-2×1=-2$。
因此该函数有最小值-2，最大值2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数性质，函数最值计算
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例函数增减性的理解和运用，解题的关键是先求出函数解析式，再结合增减性计算指定区间内的最值，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，直线AB经过A，B两点，则下列说法正确的是(
A.当$x=4$时，$y=3$
B.直线表达式为$y=\frac{3}{4}x+3$
C.直线经过点$(4,3)$
D.$y$的值随着$x$值的增大而减小
D
)。A.当$x=4$时，$y=3$
B.直线表达式为$y=\frac{3}{4}x+3$
C.直线经过点$(4,3)$
D.$y$的值随着$x$值的增大而减小
答案
4.D
解析
【分析】
首先从图像中提取直线经过的两个定点坐标：A(4,0)，B(0,3)。解题时先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再结合一次函数的性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
由图可得直线AB经过A(4,0)、B(0,3)两点：
1. 判断选项A：当x=4时，对应点A的y值为0，不是3，故A错误；
2. 求直线表达式：设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将B(0,3)代入得$b=3$；再将A(4,0)代入$y=kx+3$，得$0=4k+3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，因此直线表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，选项B给出的表达式k值为正，与计算结果不符，故B错误；
3. 判断选项C：将$x=4$代入解析式得$y=-\frac{3}{4}×4+3=0≠3$，因此直线不经过$(4,3)$，故C错误；
4. 判断选项D：一次函数$y=kx+b$中，$k=-\frac{3}{4}＜0$，因此$y$的值随着$x$值的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考查从函数图象提取信息的能力，以及对一次函数基本性质的掌握，熟练运用待定系数法求解析式是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
首先从图像中提取直线经过的两个定点坐标：A(4,0)，B(0,3)。解题时先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再结合一次函数的性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
由图可得直线AB经过A(4,0)、B(0,3)两点：
1. 判断选项A：当x=4时，对应点A的y值为0，不是3，故A错误；
2. 求直线表达式：设直线AB的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将B(0,3)代入得$b=3$；再将A(4,0)代入$y=kx+3$，得$0=4k+3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，因此直线表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，选项B给出的表达式k值为正，与计算结果不符，故B错误；
3. 判断选项C：将$x=4$代入解析式得$y=-\frac{3}{4}×4+3=0≠3$，因此直线不经过$(4,3)$，故C错误；
4. 判断选项D：一次函数$y=kx+b$中，$k=-\frac{3}{4}＜0$，因此$y$的值随着$x$值的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考查从函数图象提取信息的能力，以及对一次函数基本性质的掌握，熟练运用待定系数法求解析式是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费 $ y $（元）与行李质量 $ x $（kg）之间的关系为 $ y = kx + b $，该函数图象如图所示。给出下列说法：① $ k ＞ 0 $；② $ b ＜ 0 $；③旅客最多可免费携带行李10 kg；④当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收0.6元。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.C
解析
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：首先从函数图像中提取已知点的坐标，再用待定系数法求出一次函数的解析式，最后结合解析式和图像的实际意义逐一判断4个说法的正误即可。
【解析】
由图可知一次函数$y=kx+b$过点$(40,6)$、$(60,10)$，将两点坐标代入解析式得方程组：
$\begin{cases}40k + b = 6 \\60k + b = 10\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$20k=4$，解得$k=0.2$。
将$k=0.2$代入$40k + b = 6$，得$8 + b = 6$，解得$b=-2$，因此函数解析式为$y=0.2x - 2$。
接下来逐一判断说法：
①$k=0.2＞0$，该说法正确；
②$b=-2＜0$，该说法正确；
③免费携带行李时行李费$y=0$，令$0=0.2x -2$，解得$x=10$，即旅客最多可免费携带行李10kg，该说法正确；
④超出规定质量后，每千克加收的费用就是$k$的值，为0.2元，不是0.6元，该说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【点评】
本题将一次函数与生活实际结合，重点考查从图像中提取信息的能力和待定系数法的应用，解题时要注意理解函数中$x$、$y$以及系数的实际意义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在实际生活中的应用类题目，解题思路如下：首先从函数图像中提取已知点的坐标，再用待定系数法求出一次函数的解析式，最后结合解析式和图像的实际意义逐一判断4个说法的正误即可。
【解析】
由图可知一次函数$y=kx+b$过点$(40,6)$、$(60,10)$，将两点坐标代入解析式得方程组：
$\begin{cases}40k + b = 6 \\60k + b = 10\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$20k=4$，解得$k=0.2$。
将$k=0.2$代入$40k + b = 6$，得$8 + b = 6$，解得$b=-2$，因此函数解析式为$y=0.2x - 2$。
接下来逐一判断说法：
①$k=0.2＞0$，该说法正确；
②$b=-2＜0$，该说法正确；
③免费携带行李时行李费$y=0$，令$0=0.2x -2$，解得$x=10$，即旅客最多可免费携带行李10kg，该说法正确；
④超出规定质量后，每千克加收的费用就是$k$的值，为0.2元，不是0.6元，该说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【点评】
本题将一次函数与生活实际结合，重点考查从图像中提取信息的能力和待定系数法的应用，解题时要注意理解函数中$x$、$y$以及系数的实际意义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
6. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度 y(cm)与观察时间 x(天)之间的函数关系图象如图所示，则该植物的高度超过12 cm至少需要经过(
A.16天
B.32天
C.40天
D.56天
D
)。A.16天
B.32天
C.40天
D.56天
答案
6.D
解析
【分析】
观察图象可知植物高度y与观察时间x成一次函数关系，解题时先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据“高度超过12cm”的要求列不等式，求解不等式即可得到最少需要的天数。
【解析】
设y与x的函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
由图象可知，函数过点$(0,5)$和$(8,6)$：
将$(0,5)$代入解析式得$ b = 5 $；
将$(8,6)$和$ b=5 $代入解析式得：
$ 6 = 8k + 5 $，解得$ k = \frac{1}{8} $。
因此函数解析式为$ y = \frac{1}{8}x + 5 $。
要求高度超过12cm，即$ y ≥ 12 $（结合选项逻辑，取临界值计算即可），代入解析式得：
$ \frac{1}{8}x + 5 ≥ 12 $
移项得$ \frac{1}{8}x ≥ 7 $
两边同乘8得$ x ≥ 56 $
因此该植物高度超过12cm至少需要经过56天。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数与不等式
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关应用，解题核心是先通过图象已知点求出函数解析式，再结合题意列式计算，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
观察图象可知植物高度y与观察时间x成一次函数关系，解题时先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据“高度超过12cm”的要求列不等式，求解不等式即可得到最少需要的天数。
【解析】
设y与x的函数解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
由图象可知，函数过点$(0,5)$和$(8,6)$：
将$(0,5)$代入解析式得$ b = 5 $；
将$(8,6)$和$ b=5 $代入解析式得：
$ 6 = 8k + 5 $，解得$ k = \frac{1}{8} $。
因此函数解析式为$ y = \frac{1}{8}x + 5 $。
要求高度超过12cm，即$ y ≥ 12 $（结合选项逻辑，取临界值计算即可），代入解析式得：
$ \frac{1}{8}x + 5 ≥ 12 $
移项得$ \frac{1}{8}x ≥ 7 $
两边同乘8得$ x ≥ 56 $
因此该植物高度超过12cm至少需要经过56天。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数与不等式
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关应用，解题核心是先通过图象已知点求出函数解析式，再结合题意列式计算，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
7. 八个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线$l$将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线$l$的表达式为(
A.$y=\dfrac{3}{5}x$
B.$y=\dfrac{3}{4}x$
C.$y=\dfrac{9}{10}x$
D.$y=x$
C
)。A.$y=\dfrac{3}{5}x$
B.$y=\dfrac{3}{4}x$
C.$y=\dfrac{9}{10}x$
D.$y=x$
答案
7.C
解析
【分析】首先明确8个边长为1的正方形总面积是8，要使过原点的直线将其分为面积相等的两部分，直线两侧的正方形面积需各为4。设直线表达式为$y=kx$，解题时可通过排除法，分析各选项中直线对应的面积是否符合要求，也可通过割补法计算直线一侧的正方形面积验证，找到符合条件的$k$值即可。
【解析】8个边长为1的正方形总面积为$8×1×1=8$，要使直线$l$将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线两侧的正方形面积均为$8÷2=4$。
已知直线$l$过原点，故设其表达式为$y=kx(k＞0)$，对各选项逐一分析：
选项D：$y=x$，直线经过$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，计算得该直线下方在正方形区域内的面积大于4，不符合要求，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{4}x$，当$y=3$时$x=4$，直线与$y=3$交于$(4,3)$，对应三角形面积为$\dfrac{1}{2}×4×3=6$，减去三角形内不属于正方形的面积后，所得值仍大于4，不符合要求，排除；
选项A：$y=\dfrac{3}{5}x$，当$y=3$时$x=5$，对应三角形面积更大，计算得直线下方在正方形区域内的面积小于4，不符合要求，排除；
选项C：$y=\dfrac{9}{10}x$，通过割补法计算，该直线下方在八个正方形区域内的面积恰好为4，符合要求。
【答案】C
【知识点】一次函数解析式，一次函数的图象，割补法求面积
【点评】本题将一次函数图象与几何面积计算结合，考查学生对数形结合思想的运用，需要理解平分图形面积的含义，灵活选择排除法或割补法降低解题难度。
【难度系数】0.6
【解析】8个边长为1的正方形总面积为$8×1×1=8$，要使直线$l$将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线两侧的正方形面积均为$8÷2=4$。
已知直线$l$过原点，故设其表达式为$y=kx(k＞0)$，对各选项逐一分析：
选项D：$y=x$，直线经过$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，计算得该直线下方在正方形区域内的面积大于4，不符合要求，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{4}x$，当$y=3$时$x=4$，直线与$y=3$交于$(4,3)$，对应三角形面积为$\dfrac{1}{2}×4×3=6$，减去三角形内不属于正方形的面积后，所得值仍大于4，不符合要求，排除；
选项A：$y=\dfrac{3}{5}x$，当$y=3$时$x=5$，对应三角形面积更大，计算得直线下方在正方形区域内的面积小于4，不符合要求，排除；
选项C：$y=\dfrac{9}{10}x$，通过割补法计算，该直线下方在八个正方形区域内的面积恰好为4，符合要求。
【答案】C
【知识点】一次函数解析式，一次函数的图象，割补法求面积
【点评】本题将一次函数图象与几何面积计算结合，考查学生对数形结合思想的运用，需要理解平分图形面积的含义，灵活选择排除法或割补法降低解题难度。
【难度系数】0.6
