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8. 如图，$△ ABC$顶点的坐标分别为$A(1,0),B(4,0),C(1,4)$，将$△ ABC$沿$x$轴向右平移，当点$C$落在直线$y=2x-6$上时，线段$BC$扫过的面积为（
A.$4$
B.$8$
C.$8\sqrt{2}$
D.$16$
D
）。A.$4$
B.$8$
C.$8\sqrt{2}$
D.$16$
答案
8.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先，△ABC沿x轴向右平移时，各点纵坐标不变，横坐标增加平移的距离，所以点C平移后的纵坐标仍为4；其次，点C平移后落在直线y=2x-6上，将y=4代入直线解析式即可求出平移后点C的横坐标，进而算出平移的距离；最后，线段BC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移的距离，高为点C到x轴的垂直距离，代入平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后点C的横坐标：
因为△ABC沿x轴向右平移，所以点C平移后的纵坐标与原纵坐标相等，即$y=4$。
将$y=4$代入直线解析式$y=2x-6$，得：
$4=2x-6$
解得$x=5$，即平移后点C的对应点坐标为$(5,4)$。
2. 计算平移距离：
原点点C坐标为$(1,4)$，所以向右平移的距离为$5-1=4$。
3. 计算线段BC扫过的面积：
线段BC向右平移4个单位时，扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底等于平移的距离4，高等于点C到x轴的垂直距离（即点C的纵坐标4）。
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S=4×4=16$
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化规律，明确线段平移后扫过的图形形状，结合一次函数的性质即可求解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，△ABC沿x轴向右平移时，各点纵坐标不变，横坐标增加平移的距离，所以点C平移后的纵坐标仍为4；其次，点C平移后落在直线y=2x-6上，将y=4代入直线解析式即可求出平移后点C的横坐标，进而算出平移的距离；最后，线段BC平移扫过的图形是平行四边形，平行四边形的底为平移的距离，高为点C到x轴的垂直距离，代入平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后点C的横坐标：
因为△ABC沿x轴向右平移，所以点C平移后的纵坐标与原纵坐标相等，即$y=4$。
将$y=4$代入直线解析式$y=2x-6$，得：
$4=2x-6$
解得$x=5$，即平移后点C的对应点坐标为$(5,4)$。
2. 计算平移距离：
原点点C坐标为$(1,4)$，所以向右平移的距离为$5-1=4$。
3. 计算线段BC扫过的面积：
线段BC向右平移4个单位时，扫过的图形是平行四边形，该平行四边形的底等于平移的距离4，高等于点C到x轴的垂直距离（即点C的纵坐标4）。
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S=4×4=16$
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化规律，明确线段平移后扫过的图形形状，结合一次函数的性质即可求解。
【难度系数】
0.6
9. 直线 $ y = kx + 1 $ 与两坐标轴围成的三角形周长为6，则 $ k = $
$\pm \dfrac{5}{12}$
。答案
9.$\pm \dfrac{5}{12}$
解析
【分析】
解题时先找到直线与两坐标轴的交点坐标，直线和坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是交点到原点的距离，再用勾股定理算出斜边长度，结合周长为6的条件列方程求解即可，注意坐标对应的距离要加绝对值，避免漏掉正负解。
【解析】
1. 求直线与y轴的交点：当x=0时，代入$y=kx+1$得$y=1$，因此直线与y轴交点为$(0,1)$，对应直角边长度为1；
2. 求直线与x轴的交点：当y=0时，代入$y=kx+1$得$0=kx+1$，解得$x=-\frac{1}{k}$，因此直线与x轴交点为$(-\frac{1}{k},0)$，对应直角边长度为$\left|-\frac{1}{k}\right|=\frac{1}{|k|}$；
3. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+(\frac{1}{|k|})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$；
4. 根据周长为6列方程：$1+\frac{1}{|k|}+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=6$，整理得$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=5-\frac{1}{|k|}$；
5. 两边同时平方消去根号：$1+\frac{1}{k^2}=25-\frac{10}{|k|}+\frac{1}{k^2}$，消去同类项后得$1=25-\frac{10}{|k|}$，解得$\frac{10}{|k|}=24$，即$|k|=\frac{5}{12}$，因此$k=\pm\frac{5}{12}$。
【答案】
$\pm \dfrac{5}{12}$
【知识点】
一次函数的图象，勾股定理，绝对值方程
【点评】
本题结合一次函数图象与几何周长的知识点，考查方程思想的应用，解题时要注意距离为非负数，加绝对值符号避免漏解，计算平方后要验证结果是否符合原式的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时先找到直线与两坐标轴的交点坐标，直线和坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度就是交点到原点的距离，再用勾股定理算出斜边长度，结合周长为6的条件列方程求解即可，注意坐标对应的距离要加绝对值，避免漏掉正负解。
【解析】
1. 求直线与y轴的交点：当x=0时，代入$y=kx+1$得$y=1$，因此直线与y轴交点为$(0,1)$，对应直角边长度为1；
2. 求直线与x轴的交点：当y=0时，代入$y=kx+1$得$0=kx+1$，解得$x=-\frac{1}{k}$，因此直线与x轴交点为$(-\frac{1}{k},0)$，对应直角边长度为$\left|-\frac{1}{k}\right|=\frac{1}{|k|}$；
3. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+(\frac{1}{|k|})^2}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$；
4. 根据周长为6列方程：$1+\frac{1}{|k|}+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=6$，整理得$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=5-\frac{1}{|k|}$；
5. 两边同时平方消去根号：$1+\frac{1}{k^2}=25-\frac{10}{|k|}+\frac{1}{k^2}$，消去同类项后得$1=25-\frac{10}{|k|}$，解得$\frac{10}{|k|}=24$，即$|k|=\frac{5}{12}$，因此$k=\pm\frac{5}{12}$。
【答案】
$\pm \dfrac{5}{12}$
【知识点】
一次函数的图象，勾股定理，绝对值方程
【点评】
本题结合一次函数图象与几何周长的知识点，考查方程思想的应用，解题时要注意距离为非负数，加绝对值符号避免漏解，计算平方后要验证结果是否符合原式的取值范围。
【难度系数】
0.6
10. 一种计算亚洲人标准体重$w$(单位:kg)的方法:以厘米为单位,量出身高值$h$,减去常数100,再将所得的差乘常数$k$,所得即是$w$的值。下表记录了四名同学的身高$h$(m)及体重$w$(kg)数据,其中仅有一人体重不符合标准体重,则常数$k$的值为
| 姓名 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 身高$h$/m | 1.73
1.68 | 1.80 | 1.77 |
| 体重$w$/kg | 65.7 | 57.8 | 72.0 | 69.3 |
0.9
。| 姓名 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 身高$h$/m | 1.73
1.68 | 1.80 | 1.77 || 体重$w$/kg | 65.7 | 57.8 | 72.0 | 69.3 |
答案
10.0.9
解析
【分析】
首先根据题意明确标准体重的计算公式，注意公式中身高的单位是厘米，需先将表格中身高的单位从米转换为厘米。公式可变形为$k=\frac{w}{h_{厘米}-100}$，题目说明仅有1人体重不符合标准，因此四人计算出的$k$值中，有3个数值相同，该相同数值就是常数$k$的正确值，数值不同的对应就是体重不符合标准的同学，按此思路计算验证即可。
【解析】
第一步：统一单位，将身高从米换算为厘米：
A的身高：$1.73m=173cm$，B的身高：$1.68m=168cm$，C的身高：$1.80m=180cm$，D的身高：$1.77m=177cm$。
第二步：根据题意，标准体重公式为$w=k(h_{厘米}-100)$，变形得$k=\frac{w}{h_{厘米}-100}$，分别计算四人对应的$k$值：
同学A：$k_A=\frac{65.7}{173-100}=\frac{65.7}{73}=0.9$
同学B：$k_B=\frac{57.8}{168-100}=\frac{57.8}{68}=0.85$
同学C：$k_C=\frac{72.0}{180-100}=\frac{72.0}{80}=0.9$
同学D：$k_D=\frac{69.3}{177-100}=\frac{69.3}{77}=0.9$
第三步：因为仅有1人体重不符合标准，A、C、D三人计算出的$k$均为0.9，仅B的结果不同，说明B是体重不符合标准的人，因此常数$k$的值为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
代数式求值，数据合理性判断，单位换算
【点评】
本题结合生活中的体重计算场景命题，解题关键是先统一单位，再通过公式变形计算对比，排除异常数据得到正确结果，重点考查学生的计算能力和数据分析能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
首先根据题意明确标准体重的计算公式，注意公式中身高的单位是厘米，需先将表格中身高的单位从米转换为厘米。公式可变形为$k=\frac{w}{h_{厘米}-100}$，题目说明仅有1人体重不符合标准，因此四人计算出的$k$值中，有3个数值相同，该相同数值就是常数$k$的正确值，数值不同的对应就是体重不符合标准的同学，按此思路计算验证即可。
【解析】
第一步：统一单位，将身高从米换算为厘米：
A的身高：$1.73m=173cm$，B的身高：$1.68m=168cm$，C的身高：$1.80m=180cm$，D的身高：$1.77m=177cm$。
第二步：根据题意，标准体重公式为$w=k(h_{厘米}-100)$，变形得$k=\frac{w}{h_{厘米}-100}$，分别计算四人对应的$k$值：
同学A：$k_A=\frac{65.7}{173-100}=\frac{65.7}{73}=0.9$
同学B：$k_B=\frac{57.8}{168-100}=\frac{57.8}{68}=0.85$
同学C：$k_C=\frac{72.0}{180-100}=\frac{72.0}{80}=0.9$
同学D：$k_D=\frac{69.3}{177-100}=\frac{69.3}{77}=0.9$
第三步：因为仅有1人体重不符合标准，A、C、D三人计算出的$k$均为0.9，仅B的结果不同，说明B是体重不符合标准的人，因此常数$k$的值为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
代数式求值，数据合理性判断，单位换算
【点评】
本题结合生活中的体重计算场景命题，解题关键是先统一单位，再通过公式变形计算对比，排除异常数据得到正确结果，重点考查学生的计算能力和数据分析能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
11. 某风景区集体门票的收费标准是25人以内(含25人)，每人10元；超过25人的，超过的部分每人5元。请写出人数超过25时应收门票费用y(元)与人数x之间的关系式：
$y=5x+125(x＞25)$
。答案
11.$y=5x+125(x＞25)$
解析
【分析】
解题时首先明确收费规则：当人数x＞25时，门票费用分为两部分计算，第一部分是25人以内（含25人）的固定费用，第二部分是超过25人的额外费用，将两部分费用相加即可得到总费用y，最后化简表达式并标注自变量取值范围即可。
【解析】
当人数超过25，即x＞25时：
1. 计算25人的门票费用：$25×10=250$（元）
2. 计算超过25人的人数为$(x-25)$人，这部分的门票费用为$5(x-25)$元
3. 总费用等于两部分费用之和，因此：
$\begin{aligned}y&=25×10 + 5(x-25)\\&=250+5x-125\\&=5x+125\end{aligned}$
结合前提条件，最终关系式标注$x＞25$。
【答案】
$y=5x+125(x＞25)$
【知识点】
列函数关系式、一次函数应用、分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的基础应用题，解题核心是理清不同分段对应的收费规则，分块计算费用后合并化简，注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确收费规则：当人数x＞25时，门票费用分为两部分计算，第一部分是25人以内（含25人）的固定费用，第二部分是超过25人的额外费用，将两部分费用相加即可得到总费用y，最后化简表达式并标注自变量取值范围即可。
【解析】
当人数超过25，即x＞25时：
1. 计算25人的门票费用：$25×10=250$（元）
2. 计算超过25人的人数为$(x-25)$人，这部分的门票费用为$5(x-25)$元
3. 总费用等于两部分费用之和，因此：
$\begin{aligned}y&=25×10 + 5(x-25)\\&=250+5x-125\\&=5x+125\end{aligned}$
结合前提条件，最终关系式标注$x＞25$。
【答案】
$y=5x+125(x＞25)$
【知识点】
列函数关系式、一次函数应用、分段计费问题
【点评】
本题是分段计费类的基础应用题，解题核心是理清不同分段对应的收费规则，分块计算费用后合并化简，注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
12. 一个容器既有进水管又有出水管，从某时刻开始3 min内该容器只进水不出水，在随后的5 min既进水又出水，在最后的5 min只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变。容器内水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有
12
L。答案
12.12
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：1. 先观察图像，前3分钟只进水，3分钟共进水9L，可先算出每分钟的进水量；2. 容器水量最多的时刻是第8分钟，因为之后只出水，水量持续降低，设此时水量为y L，结合最后5分钟放完全部水，可表示出每分钟的出水量；3. 利用3~8分钟既进水又出水的水量变化关系列方程，求解即可得到最大水量。
【解析】
1. 计算进水管的进水速度：前3分钟只进水，水量从0升至9L，因此每分钟进水量为 $9÷3=3\ \mathrm{L/min}$。
2. 设第8分钟时容器内水量为$y$ L（即水量最大值），最后5分钟（8~13min）只出水，5分钟将$y$ L水排完，因此每分钟出水量为 $\frac{y}{5}\ \mathrm{L/min}$。
3. 3~8分钟共5分钟，这段时间水量从9L升至$y$ L，净进水量等于这段时间的进水总量减去出水总量，列方程得：
$y-9=5×(3-\frac{y}{5})$
展开计算：
$y-9=15-y$
$2y=24$
$y=12$
【答案】
12
【知识点】
函数图像应用，一元一次方程应用
【点评】
本题需要结合函数图像梳理不同阶段的水量变化规律，找到等量关系列方程求解，重点考查从图像中提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解题可按以下思路推进：1. 先观察图像，前3分钟只进水，3分钟共进水9L，可先算出每分钟的进水量；2. 容器水量最多的时刻是第8分钟，因为之后只出水，水量持续降低，设此时水量为y L，结合最后5分钟放完全部水，可表示出每分钟的出水量；3. 利用3~8分钟既进水又出水的水量变化关系列方程，求解即可得到最大水量。
【解析】
1. 计算进水管的进水速度：前3分钟只进水，水量从0升至9L，因此每分钟进水量为 $9÷3=3\ \mathrm{L/min}$。
2. 设第8分钟时容器内水量为$y$ L（即水量最大值），最后5分钟（8~13min）只出水，5分钟将$y$ L水排完，因此每分钟出水量为 $\frac{y}{5}\ \mathrm{L/min}$。
3. 3~8分钟共5分钟，这段时间水量从9L升至$y$ L，净进水量等于这段时间的进水总量减去出水总量，列方程得：
$y-9=5×(3-\frac{y}{5})$
展开计算：
$y-9=15-y$
$2y=24$
$y=12$
【答案】
12
【知识点】
函数图像应用，一元一次方程应用
【点评】
本题需要结合函数图像梳理不同阶段的水量变化规律，找到等量关系列方程求解，重点考查从图像中提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
13. 如图，直线$y=-\frac{1}{2}x+3$与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线$y=x$交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t s。
(1)求点C的坐标；
(2)若连接CQ，$△ OQC$是等腰直角三角形，求t的值。
(1)求点C的坐标；
(2)若连接CQ，$△ OQC$是等腰直角三角形，求t的值。
答案
13.解:(1)当$-\frac{1}{2}x+3=x$时,解得$x=2$,
即点C的坐标为(2,2);
(2)因为点Q的运动速度为每秒1个单位长度,运动时间为t s,所以$OQ=t$。
当$CQ⊥OQ$时,因为$△OCQ$为等腰直角三角形,
所以$OQ=CQ$,
所以$t=2$;
当$OC⊥CQ$时,因为$△OCQ$为等腰直角三角形,
所以$OC=CQ$;
作$CM⊥OA$于M,
因为点C的坐标为(2,2),
所以$CM=OM=2$,
所以$QM=OM=2$,
所以$OQ=4$,所以$t=4$。
综上所述,t的值为2或4。
即点C的坐标为(2,2);
(2)因为点Q的运动速度为每秒1个单位长度,运动时间为t s,所以$OQ=t$。
当$CQ⊥OQ$时,因为$△OCQ$为等腰直角三角形,
所以$OQ=CQ$,
所以$t=2$;
当$OC⊥CQ$时,因为$△OCQ$为等腰直角三角形,
所以$OC=CQ$;
作$CM⊥OA$于M,
因为点C的坐标为(2,2),
所以$CM=OM=2$,
所以$QM=OM=2$,
所以$OQ=4$,所以$t=4$。
综上所述,t的值为2或4。
解析
【分析】
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此联立两个一次函数的解析式求解方程组，即可得到点C的坐标。
(2) 先根据点Q的运动规律得到OQ=t，再对等腰直角三角形的直角顶点分类讨论：结合点C(2,2)的坐标特征可知OC与x轴夹角为45°，因此直角顶点不可能为O，仅存在两种情况：①直角顶点为Q，此时CQ垂直x轴，OQ=CQ；②直角顶点为C，此时OC⊥CQ，OC=CQ，结合点C的坐标特征分别计算两种情况的t值即可。
【解析】
(1) 联立直线$y=-\frac{1}{2}x+3$与$y=x$的解析式，可得：
$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+3 \\ y=x\end{cases}$
将$y=x$代入第一个方程，得$x=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=2$，因此$y=x=2$，即点C的坐标为(2,2)。
(2) 由题意得，点Q的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s，因此$OQ=t$，Q点坐标为$(t,0)$，分两种情况讨论：
① 当直角顶点为Q，即$CQ⊥OQ$时，△OQC为等腰直角三角形，此时$OQ=CQ$。
因为CQ垂直x轴，点C坐标为(2,2)，所以CQ的长度为2，即$t=2$。
② 当直角顶点为C，即$OC⊥CQ$时，△OQC为等腰直角三角形，此时$OC=CQ$。
过点C作$CM⊥OA$于M，因为C(2,2)，所以$OM=CM=2$。
等腰直角三角形OCQ中，CM为底边OQ的中线，因此$QM=OM=2$，可得$OQ=OM+QM=2+2=4$，即$t=4$。
综上所述，t的值为2或4。
【答案】
(1) $\boxed{C(2,2)}$
(2) $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=4}$
【知识点】
一次函数交点求解，等腰直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础综合题，解题核心是先通过联立解析式求出交点坐标，再结合等腰直角三角形的性质对直角顶点的位置分类讨论，注意不要漏解，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此联立两个一次函数的解析式求解方程组，即可得到点C的坐标。
(2) 先根据点Q的运动规律得到OQ=t，再对等腰直角三角形的直角顶点分类讨论：结合点C(2,2)的坐标特征可知OC与x轴夹角为45°，因此直角顶点不可能为O，仅存在两种情况：①直角顶点为Q，此时CQ垂直x轴，OQ=CQ；②直角顶点为C，此时OC⊥CQ，OC=CQ，结合点C的坐标特征分别计算两种情况的t值即可。
【解析】
(1) 联立直线$y=-\frac{1}{2}x+3$与$y=x$的解析式，可得：
$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+3 \\ y=x\end{cases}$
将$y=x$代入第一个方程，得$x=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=2$，因此$y=x=2$，即点C的坐标为(2,2)。
(2) 由题意得，点Q的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s，因此$OQ=t$，Q点坐标为$(t,0)$，分两种情况讨论：
① 当直角顶点为Q，即$CQ⊥OQ$时，△OQC为等腰直角三角形，此时$OQ=CQ$。
因为CQ垂直x轴，点C坐标为(2,2)，所以CQ的长度为2，即$t=2$。
② 当直角顶点为C，即$OC⊥CQ$时，△OQC为等腰直角三角形，此时$OC=CQ$。
过点C作$CM⊥OA$于M，因为C(2,2)，所以$OM=CM=2$。
等腰直角三角形OCQ中，CM为底边OQ的中线，因此$QM=OM=2$，可得$OQ=OM+QM=2+2=4$，即$t=4$。
综上所述，t的值为2或4。
【答案】
(1) $\boxed{C(2,2)}$
(2) $\boxed{t=2}$或$\boxed{t=4}$
【知识点】
一次函数交点求解，等腰直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础综合题，解题核心是先通过联立解析式求出交点坐标，再结合等腰直角三角形的性质对直角顶点的位置分类讨论，注意不要漏解，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
