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14. 为举办一年一度的秋季运动会，学校需要采购一批乒乓球拍和配套的乒乓球，一副乒乓球拍标价80元，一盒乒乓球标价25元。体育商店提供了两种优惠方案，具体如下。
方案甲:买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙:按购买金额的九折付款。
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球$x(x≥10)$盒。
(1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额$y_甲$(元)，$y_乙$(元)与$x$(盒)之间的关系式。
(2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
(3)如果学校的经费为1800元，选择哪种优惠方案能购买更多的乒乓球？
方案甲:买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙:按购买金额的九折付款。
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球$x(x≥10)$盒。
(1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额$y_甲$(元)，$y_乙$(元)与$x$(盒)之间的关系式。
(2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
(3)如果学校的经费为1800元，选择哪种优惠方案能购买更多的乒乓球？
答案
14.解:(1)由题意得,
$y_甲=10×80+25(x-10)=25x+550$,
$y_乙=25×0.9x+80×0.9×10=22.5x+720$。
(2)根据(1)中表达式,$y_甲=25x+550$,$y_乙=22.5x+720$,当$x=15$时,$y_甲=25×15+550=925$(元),$y_乙=22.5×15+720=1057.5$(元)。因为925＜1057.5,所以方案甲更省钱。
(3)根据(1)中表达式,$y_甲=25x+550$,$y_乙=22.5x+720$,
当$y_甲=1800$时,$1800=25x+550$,解得$x=50$;当$y_乙=1800$时,$1800=22.5x+720$,解得$x=48$。因为$50＞48$,所以当学校的经费为1800元时,选择优惠方案甲能购买更多的乒乓球。
$y_甲=10×80+25(x-10)=25x+550$,
$y_乙=25×0.9x+80×0.9×10=22.5x+720$。
(2)根据(1)中表达式,$y_甲=25x+550$,$y_乙=22.5x+720$,当$x=15$时,$y_甲=25×15+550=925$(元),$y_乙=22.5×15+720=1057.5$(元)。因为925＜1057.5,所以方案甲更省钱。
(3)根据(1)中表达式,$y_甲=25x+550$,$y_乙=22.5x+720$,
当$y_甲=1800$时,$1800=25x+550$,解得$x=50$;当$y_乙=1800$时,$1800=22.5x+720$,解得$x=48$。因为$50＞48$,所以当学校的经费为1800元时,选择优惠方案甲能购买更多的乒乓球。
解析
【分析】
本题是生活中常见的优惠方案选择类应用题，解题思路如下：
(1) 列付款金额关系式：先明确两种方案的计费规则：方案甲买10副球拍赠送10盒乒乓球，因此仅需支付10副球拍的费用，加上超出赠送数量的(x-10)盒乒乓球的费用，合并即可得到$y_甲$与$x$的关系式；方案乙所有商品总价打九折，先计算10副球拍和$x$盒乒乓球的总标价，再乘以0.9即可得到$y_乙$与$x$的关系式。
(2) 比较购买15盒乒乓球的花费：将$x=15$分别代入(1)得到的两个关系式，计算出对应付款金额，数值更小的方案更省钱。
(3) 比较1800元经费下的购球数量：分别令$y_甲=1800$、$y_乙=1800$，解出对应的$x$值，$x$更大的方案可购买更多乒乓球。
【解析】
(1) 根据题意推导关系式：
方案甲：10副球拍总费用为$10×80$元，赠送10盒乒乓球，需额外付费的乒乓球数量为$(x-10)$盒，对应费用为$25(x-10)$元，因此：
$y_甲=10×80+25(x-10)=25x+550\quad(x≥10)$
方案乙：10副球拍和$x$盒乒乓球的总标价为$(10×80+25x)$元，打九折后：
$y_乙=0.9×(10×80+25x)=22.5x+720\quad(x≥10)$
(2) 当$x=15$时，分别代入两个关系式计算：
$y_甲=25×15+550=925$（元）
$y_乙=22.5×15+720=1057.5$（元）
因为$925＜1057.5$，所以购买15盒乒乓球时方案甲更省钱。
(3) 当经费为1800元时，分别求解对应$x$值：
令$y_甲=1800$，得$25x+550=1800$，解得$x=50$；
令$y_乙=1800$，得$22.5x+720=1800$，解得$x=48$。
因为$50＞48$，所以经费为1800元时，方案甲能购买更多乒乓球。
【答案】
(1) $y_甲=25x+550(x≥10)$，$y_乙=22.5x+720(x≥10)$
(2) 方案甲更省钱
(3) 选择方案甲能购买更多的乒乓球
【知识点】
列一次函数关系式，方案优化问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合日常消费优惠场景出题，实用性较强，核心考查题意理解能力、列式计算能力以及分类比较的思维，解题的关键是准确梳理两种优惠方案的计费规则，避免遗漏优惠条件导致列式错误。
【难度系数】
0.7
本题是生活中常见的优惠方案选择类应用题，解题思路如下：
(1) 列付款金额关系式：先明确两种方案的计费规则：方案甲买10副球拍赠送10盒乒乓球，因此仅需支付10副球拍的费用，加上超出赠送数量的(x-10)盒乒乓球的费用，合并即可得到$y_甲$与$x$的关系式；方案乙所有商品总价打九折，先计算10副球拍和$x$盒乒乓球的总标价，再乘以0.9即可得到$y_乙$与$x$的关系式。
(2) 比较购买15盒乒乓球的花费：将$x=15$分别代入(1)得到的两个关系式，计算出对应付款金额，数值更小的方案更省钱。
(3) 比较1800元经费下的购球数量：分别令$y_甲=1800$、$y_乙=1800$，解出对应的$x$值，$x$更大的方案可购买更多乒乓球。
【解析】
(1) 根据题意推导关系式：
方案甲：10副球拍总费用为$10×80$元，赠送10盒乒乓球，需额外付费的乒乓球数量为$(x-10)$盒，对应费用为$25(x-10)$元，因此：
$y_甲=10×80+25(x-10)=25x+550\quad(x≥10)$
方案乙：10副球拍和$x$盒乒乓球的总标价为$(10×80+25x)$元，打九折后：
$y_乙=0.9×(10×80+25x)=22.5x+720\quad(x≥10)$
(2) 当$x=15$时，分别代入两个关系式计算：
$y_甲=25×15+550=925$（元）
$y_乙=22.5×15+720=1057.5$（元）
因为$925＜1057.5$，所以购买15盒乒乓球时方案甲更省钱。
(3) 当经费为1800元时，分别求解对应$x$值：
令$y_甲=1800$，得$25x+550=1800$，解得$x=50$；
令$y_乙=1800$，得$22.5x+720=1800$，解得$x=48$。
因为$50＞48$，所以经费为1800元时，方案甲能购买更多乒乓球。
【答案】
(1) $y_甲=25x+550(x≥10)$，$y_乙=22.5x+720(x≥10)$
(2) 方案甲更省钱
(3) 选择方案甲能购买更多的乒乓球
【知识点】
列一次函数关系式，方案优化问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合日常消费优惠场景出题，实用性较强，核心考查题意理解能力、列式计算能力以及分类比较的思维，解题的关键是准确梳理两种优惠方案的计费规则，避免遗漏优惠条件导致列式错误。
【难度系数】
0.7
15. 一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1 000 m。甲、乙两人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M，匀速而行。图中线段OA,BC分别表示甲、乙两人离M地的距离y(m)与行走时间x(min)之间的函数图象。
(1)求BC所在直线对应的函数表达式。
(2)出发后，甲行走多少时间与乙相遇？
(3)点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200 m，求P,N两地的距离。
(1)求BC所在直线对应的函数表达式。
(2)出发后，甲行走多少时间与乙相遇？
(3)点D的横坐标m表示甲到达P地的时间，此时甲、乙两人之间的距离为200 m，求P,N两地的距离。
答案
15.解:(1)设BC所在直线对应的函数表达式为$y=kx+1000$,
将点C(10,0)的坐标代入$y=kx+1000$,解得$k=-100$,所以BC所在直线对应的函数表达式为$y=-100x+1000$。
(2)甲的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$。
设甲行走$t$ min与乙相遇,
根据题意,得$(200+100)t=1000$,
解得$t=\frac{10}{3}$。
故甲行走$\frac{10}{3}$ min与乙相遇。
(3)根据题意,
得$200m-200+100m=1000$,
解得$m=4$,
$1000-200×4=200(\mathrm{m})$,
即P,N两地的距离为200 m。
将点C(10,0)的坐标代入$y=kx+1000$,解得$k=-100$,所以BC所在直线对应的函数表达式为$y=-100x+1000$。
(2)甲的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$。
设甲行走$t$ min与乙相遇,
根据题意,得$(200+100)t=1000$,
解得$t=\frac{10}{3}$。
故甲行走$\frac{10}{3}$ min与乙相遇。
(3)根据题意,
得$200m-200+100m=1000$,
解得$m=4$,
$1000-200×4=200(\mathrm{m})$,
即P,N两地的距离为200 m。
解析
【分析】
(1) 求BC的函数表达式时，BC是一次函数，已知其经过点B(0,1000)和C(10,0)，采用待定系数法，先设出一次函数解析式，再代入两点坐标求解参数即可。
(2) 相遇问题中两人走过的路程和等于M、N两地总距离1000m，先根据图像求出甲、乙的行驶速度，再设相遇时间为未知数列方程求解，也可联立OA和BC的解析式求交点横坐标得到相遇时间。
(3) 结合图像可知点D在两函数交点右侧，此时两人已相遇，两人距离为200m即甲离M地的距离减去乙离M地的距离等于200m，先列方程求出m的值，再用总路程减去甲已走的路程即可得到P、N两地的距离。
【解析】
(1) 设BC所在直线对应的函数表达式为$y=kx+b$，
由图像得B点坐标为$(0,1000)$，C点坐标为$(10,0)$，
将$x=0,y=1000$代入解析式得$b=1000$，
将$x=10,y=0,b=1000$代入解析式得$0=10k+1000$，解得$k=-100$，
因此BC所在直线对应的函数表达式为$y=-100x+1000$。
(2) 由图像得甲5min走完全程1000m，甲的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$，
乙10min走完全程1000m，乙的速度为$1000÷10=100(\mathrm{m/min})$，
设出发后甲行走$t$ min与乙相遇，此时两人路程和为1000m，
列方程得：$(200+100)t=1000$，
解得$t=\frac{10}{3}$。
(3) 结合图像，点D在两直线交点右侧，两人已相遇，此时两人距离为200m，即甲离M地距离减去乙离M地距离等于200m，
列方程得：$200m - (-100m + 1000) = 200$，
整理得$300m=1200$，解得$m=4$，
此时甲走的路程为$200×4=800(\mathrm{m})$，即P地距M地800m，
因此P、N两地的距离为$1000-800=200(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-100x+1000}$
(2) $\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{min}}$
(3) $\boldsymbol{200\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程问题，解题核心是理解函数横纵坐标的实际含义，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，同时能结合行程数量关系列方程求解，第三问需要结合图像判断两人位置，避免错列距离公式。
【难度系数】
0.7
(1) 求BC的函数表达式时，BC是一次函数，已知其经过点B(0,1000)和C(10,0)，采用待定系数法，先设出一次函数解析式，再代入两点坐标求解参数即可。
(2) 相遇问题中两人走过的路程和等于M、N两地总距离1000m，先根据图像求出甲、乙的行驶速度，再设相遇时间为未知数列方程求解，也可联立OA和BC的解析式求交点横坐标得到相遇时间。
(3) 结合图像可知点D在两函数交点右侧，此时两人已相遇，两人距离为200m即甲离M地的距离减去乙离M地的距离等于200m，先列方程求出m的值，再用总路程减去甲已走的路程即可得到P、N两地的距离。
【解析】
(1) 设BC所在直线对应的函数表达式为$y=kx+b$，
由图像得B点坐标为$(0,1000)$，C点坐标为$(10,0)$，
将$x=0,y=1000$代入解析式得$b=1000$，
将$x=10,y=0,b=1000$代入解析式得$0=10k+1000$，解得$k=-100$，
因此BC所在直线对应的函数表达式为$y=-100x+1000$。
(2) 由图像得甲5min走完全程1000m，甲的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$，
乙10min走完全程1000m，乙的速度为$1000÷10=100(\mathrm{m/min})$，
设出发后甲行走$t$ min与乙相遇，此时两人路程和为1000m，
列方程得：$(200+100)t=1000$，
解得$t=\frac{10}{3}$。
(3) 结合图像，点D在两直线交点右侧，两人已相遇，此时两人距离为200m，即甲离M地距离减去乙离M地距离等于200m，
列方程得：$200m - (-100m + 1000) = 200$，
整理得$300m=1200$，解得$m=4$，
此时甲走的路程为$200×4=800(\mathrm{m})$，即P地距M地800m，
因此P、N两地的距离为$1000-800=200(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-100x+1000}$
(2) $\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{min}}$
(3) $\boldsymbol{200\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，行程相遇问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程问题，解题核心是理解函数横纵坐标的实际含义，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，同时能结合行程数量关系列方程求解，第三问需要结合图像判断两人位置，避免错列距离公式。
【难度系数】
0.7
