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基础知识
30°，45°，
60°角的
三角函
数值
sin 30°=
sin 45°=
tan 45°=
sin 60°=
困惑疑问：
基础知识
30°，45°，
60°角的
三角函
数值
sin 30°=
$\frac{1}{2}$
，cos 30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
，tan 30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。sin 45°=
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
，cos 45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
，tan 45°=$1$
。sin 60°=
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
，cos 60°=$\frac{1}{2}$
，tan 60°=$\sqrt{3}$
。困惑疑问：
答案
$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45°=1$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60°=\frac{1}{2}$，$\tan 60°=\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查30°、45°、60°这三个特殊锐角的三角函数值，解题时可结合直角三角形的边长特征推导记忆：①含30°的直角三角形三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）；②等腰直角三角形（含45°）三边比为$1:1:\sqrt{2}$（直角边:直角边:斜边）。再根据锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{对边}{斜边}$，$\cosα=\frac{邻边}{斜边}$，$\tanα=\frac{对边}{邻边}$，即可逐一算出对应数值。
【解析】
1. 计算30°角的三角函数值：
设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，邻边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$\sin30°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
2. 计算45°角的三角函数值：
设等腰直角三角形的直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∴$\sin45°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{1}=1$
3. 计算60°角的三角函数值：
60°角可放在上述含30°的直角三角形中分析，60°对的直角边长为$\sqrt{3}$，邻边长为1，斜边长为2
∴$\sin60°=\frac{对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{对边}{邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45°=1$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60°=\frac{1}{2}$，$\tan 60°=\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，是三角函数相关运算的基础，要求学生熟练掌握三个特殊锐角的三角函数值，也可结合直角三角形的边长比例关系辅助记忆，避免不同三角函数值记混。
【难度系数】
0.9
本题考查30°、45°、60°这三个特殊锐角的三角函数值，解题时可结合直角三角形的边长特征推导记忆：①含30°的直角三角形三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）；②等腰直角三角形（含45°）三边比为$1:1:\sqrt{2}$（直角边:直角边:斜边）。再根据锐角三角函数的定义：$\sinα=\frac{对边}{斜边}$，$\cosα=\frac{邻边}{斜边}$，$\tanα=\frac{对边}{邻边}$，即可逐一算出对应数值。
【解析】
1. 计算30°角的三角函数值：
设30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，邻边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$\sin30°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
2. 计算45°角的三角函数值：
设等腰直角三角形的直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
∴$\sin45°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{1}=1$
3. 计算60°角的三角函数值：
60°角可放在上述含30°的直角三角形中分析，60°对的直角边长为$\sqrt{3}$，邻边长为1，斜边长为2
∴$\sin60°=\frac{对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{对边}{邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sin 30°=\frac{1}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45°=1$，$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 60°=\frac{1}{2}$，$\tan 60°=\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，是三角函数相关运算的基础，要求学生熟练掌握三个特殊锐角的三角函数值，也可结合直角三角形的边长比例关系辅助记忆，避免不同三角函数值记混。
【难度系数】
0.9
思考（1）你知道一副三角板中，各相邻边的比值分别是多少吗？
（2）仔细观察$30°,45°,60°$角的三角函数值，你有什么发现？
（2）仔细观察$30°,45°,60°$角的三角函数值，你有什么发现？
答案
(1)含30°角的三角板:1:√3:2；含45°角的三角板:1:1:√2。
(2)30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
(2)30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
解析
【分析】
第(1)问：我们常用的三角板有两类，都是直角三角形。首先处理含30°角的直角三角板，可利用“直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半”的性质，先设最短边长为1，得到斜边长度，再用勾股定理算出第三边，即可得到三边比值；再处理含45°角的直角三角板，它是等腰直角三角形，两条直角边相等，设直角边长为1，用勾股定理算出斜边长度，就能得到三边比值。
第(2)问：先分别写出30°、45°、60°角的正弦、余弦值，再对比数值的关联，就能总结出规律。
【解析】
(1) ① 含30°角的三角板：
设30°角所对的直角边长为1，根据直角三角形性质，斜边长为2。
由勾股定理得，另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此三边比值为$1:\sqrt{3}:2$。
② 含45°角的三角板：
这是等腰直角三角形，设直角边长为1，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因此三边比值为$1:1:\sqrt{2}$。
(2) 先列出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$。
对比数值可得：30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
【答案】
(1)含30°角的三角板:1:√3:2；含45°角的三角板:1:1:√2。
(2)30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
【知识点】
特殊直角三角形性质，特殊角的三角函数值，互余角三角函数关系
【点评】
本题是基础探究类题目，通过对三角板边长比和特殊角三角函数值的分析，帮助理解特殊直角三角形的特征和三角函数的基本规律，是后续解直角三角形相关应用的重要基础。
【难度系数】
0.85
第(1)问：我们常用的三角板有两类，都是直角三角形。首先处理含30°角的直角三角板，可利用“直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半”的性质，先设最短边长为1，得到斜边长度，再用勾股定理算出第三边，即可得到三边比值；再处理含45°角的直角三角板，它是等腰直角三角形，两条直角边相等，设直角边长为1，用勾股定理算出斜边长度，就能得到三边比值。
第(2)问：先分别写出30°、45°、60°角的正弦、余弦值，再对比数值的关联，就能总结出规律。
【解析】
(1) ① 含30°角的三角板：
设30°角所对的直角边长为1，根据直角三角形性质，斜边长为2。
由勾股定理得，另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此三边比值为$1:\sqrt{3}:2$。
② 含45°角的三角板：
这是等腰直角三角形，设直角边长为1，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因此三边比值为$1:1:\sqrt{2}$。
(2) 先列出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$。
对比数值可得：30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
【答案】
(1)含30°角的三角板:1:√3:2；含45°角的三角板:1:1:√2。
(2)30°角的正弦值等于60°角的余弦值，30°角的余弦值等于60°角的正弦值，45°角的正弦值和余弦值相等。
【知识点】
特殊直角三角形性质，特殊角的三角函数值，互余角三角函数关系
【点评】
本题是基础探究类题目，通过对三角板边长比和特殊角三角函数值的分析，帮助理解特殊直角三角形的特征和三角函数的基本规律，是后续解直角三角形相关应用的重要基础。
【难度系数】
0.85
跟踪练习
完成下列填空：
1. $\sin 30° =$
$\sin 60° =$
$\sin 45° =$
2. $\tan 30° =$
完成下列填空：
1. $\sin 30° =$
$\frac{1}{2}$
；$\cos 60° =$ $\frac{1}{2}$
；$\sin 60° =$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
；$\cos 30° =$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
；$\sin 45° =$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
；$\cos 45° =$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
。2. $\tan 30° =$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
；$\tan 60° =$ $\sqrt{3}$
；答案
1.$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{3}$ $1$
2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{3}$ $1$
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题时可结合含30°、45°角的直角三角形的边长关系推导记忆：①含30°角的直角三角形中，30°对的直角边等于斜边的一半，设短直角边为1，则斜边为2，长直角边为$\sqrt{3}$，可直接推导30°、60°的各三角函数值；②含45°角的等腰直角三角形中，设直角边为1，则斜边为$\sqrt{2}$，可推导45°的各三角函数值；也可利用“互余两角的正弦值等于对方的余弦值”的规律辅助记忆，避免混淆。
【解析】
1. 推导正弦、余弦值：
在含30°角的直角三角形中，设30°对的直角边为1，则斜边=2，60°对的直角边为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$：
$\sin30°=\frac{30°对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{60°邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$；
$\sin60°=\frac{60°对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30°=\frac{30°邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
在含45°角的等腰直角三角形中，设直角边为1，则斜边=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$：
$\sin45°=\frac{45°对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{45°邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 推导正切值（正切=对边/邻边）：
$\tan30°=\frac{30°对边}{30°邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\tan60°=\frac{60°对边}{60°邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$；
$\tan45°=\frac{45°对边}{45°邻边}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1. $\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\sqrt{3}$；$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题型，是解直角三角形相关内容的核心基础，需要熟练掌握三个特殊锐角的三角函数值，可通过直角模型、规律记忆等多种方法巩固，避免数值混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题时可结合含30°、45°角的直角三角形的边长关系推导记忆：①含30°角的直角三角形中，30°对的直角边等于斜边的一半，设短直角边为1，则斜边为2，长直角边为$\sqrt{3}$，可直接推导30°、60°的各三角函数值；②含45°角的等腰直角三角形中，设直角边为1，则斜边为$\sqrt{2}$，可推导45°的各三角函数值；也可利用“互余两角的正弦值等于对方的余弦值”的规律辅助记忆，避免混淆。
【解析】
1. 推导正弦、余弦值：
在含30°角的直角三角形中，设30°对的直角边为1，则斜边=2，60°对的直角边为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$：
$\sin30°=\frac{30°对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{60°邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$；
$\sin60°=\frac{60°对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos30°=\frac{30°邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
在含45°角的等腰直角三角形中，设直角边为1，则斜边=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$：
$\sin45°=\frac{45°对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{45°邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 推导正切值（正切=对边/邻边）：
$\tan30°=\frac{30°对边}{30°邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\tan60°=\frac{60°对边}{60°邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$；
$\tan45°=\frac{45°对边}{45°邻边}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1. $\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\sqrt{3}$；$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题型，是解直角三角形相关内容的核心基础，需要熟练掌握三个特殊锐角的三角函数值，可通过直角模型、规律记忆等多种方法巩固，避免数值混淆。
【难度系数】
0.9
3. $\cos^2 60° = \_\_\_\_\_\_$；$\sin^2 60° = \_\_\_\_\_\_$。
答案
3.$\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆60°角的余弦、正弦函数的具体数值，再分别对两个函数值进行平方运算即可得到结果。思考步骤：第一步先明确特殊角60°的三角函数值，第二步根据平方的定义计算对应数值的平方，注意计算分数平方时分子分母都要分别平方。
【解析】
首先回忆特殊角60°的三角函数值：
1. 计算$\cos^2 60°$：
已知$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此$\cos^2 60°=(\cos60°)^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
2. 计算$\sin^2 60°$：
已知$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin^2 60°=(\sin60°)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{2^2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$；$\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对60°角三角函数值的准确记忆，只要熟记常见特殊角的三角函数值，正确完成平方运算就能顺利得分，是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆60°角的余弦、正弦函数的具体数值，再分别对两个函数值进行平方运算即可得到结果。思考步骤：第一步先明确特殊角60°的三角函数值，第二步根据平方的定义计算对应数值的平方，注意计算分数平方时分子分母都要分别平方。
【解析】
首先回忆特殊角60°的三角函数值：
1. 计算$\cos^2 60°$：
已知$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此$\cos^2 60°=(\cos60°)^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
2. 计算$\sin^2 60°$：
已知$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin^2 60°=(\sin60°)^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{(\sqrt{3})^2}{2^2}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$；$\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对60°角三角函数值的准确记忆，只要熟记常见特殊角的三角函数值，正确完成平方运算就能顺利得分，是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
4. sin
$30°$
= $\frac{1}{2}$; cos $45°$
= $\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan $60°$
= $\sqrt{3}$。答案
4.$30°$ $45°$ $60°$
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路是先回忆30°、45°、60°这三个常用特殊角的正弦、余弦、正切函数值，再将题目给出的函数值与记忆的内容对应匹配，就能得出空缺的角度。
【解析】
根据所学的特殊锐角三角函数值：
1. 因为$\sin30°=\frac{1}{2}$，所以第一个空填$30°$；
2. 因为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以第二个空填$45°$；
3. 因为$\tan60°=\sqrt{3}$，所以第三个空填$60°$。
【答案】
$30°$；$45°$；$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对30°、45°、60°三个特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握各特殊角对应的三角函数值即可快速准确解答，是三角函数部分的基础常规考题。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值的应用，解题思路是先回忆30°、45°、60°这三个常用特殊角的正弦、余弦、正切函数值，再将题目给出的函数值与记忆的内容对应匹配，就能得出空缺的角度。
【解析】
根据所学的特殊锐角三角函数值：
1. 因为$\sin30°=\frac{1}{2}$，所以第一个空填$30°$；
2. 因为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以第二个空填$45°$；
3. 因为$\tan60°=\sqrt{3}$，所以第三个空填$60°$。
【答案】
$30°$；$45°$；$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对30°、45°、60°三个特殊锐角三角函数值的记忆，熟练掌握各特殊角对应的三角函数值即可快速准确解答，是三角函数部分的基础常规考题。
【难度系数】
0.9
1. 点$M(-\sin 60°,\cos 60°)$关于$x$轴对称的点的坐标是（
A.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
B.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
D.$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
B
）。A.$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
B.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$
D.$(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$
答案
1.B
解析
【分析】
本题解题思路分为两步：第一步先利用特殊角的三角函数值，计算出点M的横、纵坐标，得到点M的具体坐标；第二步运用平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律，求出对称点的坐标，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算点M的坐标：
根据特殊角的三角函数值可知，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
因此点M的横坐标为$-\sin60°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$\cos60°=\frac{1}{2}$，即$M(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
2. 求关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
因此点M关于x轴对称的点的横坐标仍为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$\frac{1}{2}$的相反数$-\frac{1}{2}$，即对称点坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的识记以及坐标轴对称的坐标变换规律，熟练掌握基础概念和常用数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题解题思路分为两步：第一步先利用特殊角的三角函数值，计算出点M的横、纵坐标，得到点M的具体坐标；第二步运用平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律，求出对称点的坐标，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算点M的坐标：
根据特殊角的三角函数值可知，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
因此点M的横坐标为$-\sin60°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$\cos60°=\frac{1}{2}$，即$M(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
2. 求关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
因此点M关于x轴对称的点的横坐标仍为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$\frac{1}{2}$的相反数$-\frac{1}{2}$，即对称点坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的识记以及坐标轴对称的坐标变换规律，熟练掌握基础概念和常用数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，锐角 $A$ 的邻边与对边的比叫作 $∠ A$ 的余切，记作 $\cot A$，如图，
，$\cot A=\dfrac{AC}{BC}$，则 $\cot 30°$ 的值为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
，$\cot A=\dfrac{AC}{BC}$，则 $\cot 30°$ 的值为（D
）。A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确题目给出的余切定义：锐角A的余切等于它的邻边与对边的比，即$\cot A=\frac{AC}{BC}$。要求$\cot30°$的值，我们可以结合含30°角的直角三角形的三边关系计算：第一步设30°角对的直角边长为参数，第二步利用30°直角三角形的性质得到斜边长度，第三步用勾股定理算出30°角的邻边长，最后代入余切定义化简即可得到结果。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，令$BC=x$（BC为∠A的对边）。
1. 根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$AB=2BC=2x$。
2. 由勾股定理计算∠A的邻边AC的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$（边长为正，取正根）。
3. 根据题中余切定义$\cot A=\frac{AC}{BC}$，代入数值：
$\cot30°=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
余切的定义，含30°直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查特殊角的三角函数相关计算，解题关键是读懂新定义的余切公式，结合特殊直角三角形的三边关系代入计算即可，属于基础类概念应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的余切定义：锐角A的余切等于它的邻边与对边的比，即$\cot A=\frac{AC}{BC}$。要求$\cot30°$的值，我们可以结合含30°角的直角三角形的三边关系计算：第一步设30°角对的直角边长为参数，第二步利用30°直角三角形的性质得到斜边长度，第三步用勾股定理算出30°角的邻边长，最后代入余切定义化简即可得到结果。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，令$BC=x$（BC为∠A的对边）。
1. 根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边$AB=2BC=2x$。
2. 由勾股定理计算∠A的邻边AC的长度：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$（边长为正，取正根）。
3. 根据题中余切定义$\cot A=\frac{AC}{BC}$，代入数值：
$\cot30°=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
余切的定义，含30°直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合新定义考查特殊角的三角函数相关计算，解题关键是读懂新定义的余切公式，结合特殊直角三角形的三边关系代入计算即可，属于基础类概念应用题。
【难度系数】
0.8
3.若∠A是锐角，$\sin(A + 15°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\tan A$的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，已知sin值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合∠A是锐角的条件，可确定$∠ A+15°$的度数，进而求出∠A的度数，最后代入计算tanA的值即可。
【解析】
∵∠A是锐角，
∴$0°＜∠ A＜90°$，
∴$15°＜∠ A+15°＜105°$，
又
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ A+15°=60°$，
解得$∠ A=60°-15°=45°$，
∴$\tan A=\tan45°=1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、角度计算、正切函数求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的熟练掌握，解题的关键是先根据已知正弦值反推对应角度，再计算目标角的正切值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，已知sin值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合∠A是锐角的条件，可确定$∠ A+15°$的度数，进而求出∠A的度数，最后代入计算tanA的值即可。
【解析】
∵∠A是锐角，
∴$0°＜∠ A＜90°$，
∴$15°＜∠ A+15°＜105°$，
又
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ A+15°=60°$，
解得$∠ A=60°-15°=45°$，
∴$\tan A=\tan45°=1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、角度计算、正切函数求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的熟练掌握，解题的关键是先根据已知正弦值反推对应角度，再计算目标角的正切值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有
$| \tan A - \sqrt{3} | + ( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$，则
△ABC是
$| \tan A - \sqrt{3} | + ( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$，则
△ABC是
等边
三角形。答案
4.等边
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，观察等式特征，绝对值和偶次幂都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可得到tanA和cosB的值；第二步，结合∠A、∠B都是锐角的条件，对照特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数；第三步，利用三角形内角和为180°算出∠C的度数，根据三个角的度数特征判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ $| \tan A - \sqrt{3} | ≥ 0$，$( \cos B - \frac{1}{2} )^2 ≥ 0$，且$| \tan A - \sqrt{3} | + ( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$
∴ $| \tan A - \sqrt{3} | = 0$，$( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$
即 $\tan A = \sqrt{3}$，$\cos B = \frac{1}{2}$
又
∵ ∠A、∠B均为锐角
∴ $∠ A = 60°$，$∠ B = 60°$
根据三角形内角和定理，$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$
∴ $∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$，故△ABC是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，综合了代数非负数性质和几何三角函数、三角形判定的相关知识，难度较低，只要熟练掌握非负数的性质，牢记特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，观察等式特征，绝对值和偶次幂都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可得到tanA和cosB的值；第二步，结合∠A、∠B都是锐角的条件，对照特殊角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数；第三步，利用三角形内角和为180°算出∠C的度数，根据三个角的度数特征判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ $| \tan A - \sqrt{3} | ≥ 0$，$( \cos B - \frac{1}{2} )^2 ≥ 0$，且$| \tan A - \sqrt{3} | + ( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$
∴ $| \tan A - \sqrt{3} | = 0$，$( \cos B - \frac{1}{2} )^2 = 0$
即 $\tan A = \sqrt{3}$，$\cos B = \frac{1}{2}$
又
∵ ∠A、∠B均为锐角
∴ $∠ A = 60°$，$∠ B = 60°$
根据三角形内角和定理，$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$
∴ $∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$，故△ABC是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，综合了代数非负数性质和几何三角函数、三角形判定的相关知识，难度较低，只要熟练掌握非负数的性质，牢记特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
