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5.计算：$2\cos^{2}45° - \sqrt{(\tan 60° - 2)^2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
5.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
这是特殊角三角函数值与二次根式化简的综合计算题，解题思路如下：首先回忆45°、60°的余弦、正切函数值，分别代入原式的对应位置；再分别计算第一项的乘方和乘积，同时根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简第二项，先判断$\tan60°-2$的正负再去掉绝对值符号；最后合并计算得到最终结果。
【解析】
解：代入特殊角的三角函数值$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，可得：
$\begin{aligned}原式&=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - |\tan60°-2|\\&=2×\frac{2}{4} - |\sqrt{3}-2|\\\end{aligned}$
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=1-(2-\sqrt{3})\\&=1-2+\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟记30°、45°、60°角的三角函数值，同时要注意二次根式开方结果的非负性，化简绝对值时先判断内部代数式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
这是特殊角三角函数值与二次根式化简的综合计算题，解题思路如下：首先回忆45°、60°的余弦、正切函数值，分别代入原式的对应位置；再分别计算第一项的乘方和乘积，同时根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简第二项，先判断$\tan60°-2$的正负再去掉绝对值符号；最后合并计算得到最终结果。
【解析】
解：代入特殊角的三角函数值$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，可得：
$\begin{aligned}原式&=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - |\tan60°-2|\\&=2×\frac{2}{4} - |\sqrt{3}-2|\\\end{aligned}$
因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=1-(2-\sqrt{3})\\&=1-2+\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟记30°、45°、60°角的三角函数值，同时要注意二次根式开方结果的非负性，化简绝对值时先判断内部代数式的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
6. 计算：$2\cos^2 45° + \tan 60° - 2\sin 30° \cos 30°$。
答案
6.$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
这道题考查特殊角的三角函数值与实数混合运算，解题思路如下：第一步先准确回忆30°、45°、60°角的各三角函数值；第二步将对应值代入原式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序逐步计算；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} - 2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2×\frac{1}{2} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，计算时注意遵循先乘方后乘除再加减的运算顺序，只要熟记特殊角三角函数值、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查特殊角的三角函数值与实数混合运算，解题思路如下：第一步先准确回忆30°、45°、60°角的各三角函数值；第二步将对应值代入原式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序逐步计算；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} - 2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2×\frac{1}{2} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\\&=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$1+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，计算时注意遵循先乘方后乘除再加减的运算顺序，只要熟记特殊角三角函数值、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,且$b=30$,$∠ B=25°$,求这个直角三角形的其他元素。($\sin25°\approx0.423$,$\cos25°\approx0.906$,$\tan25°\approx0.466$,边长精确到1)
答案
7.$∠A=65°,c≈71,a≈64$。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形中“已知一边一锐角”的基础题型，解题思路如下：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出未知锐角∠A；再结合锐角三角函数的定义，根据已知的直角边b和∠B的三角函数值，分别计算出斜边c和另一条直角边a，计算时注意题目给出的近似值和边长精确到1的要求。
【解析】
1. 求锐角∠A：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，直角三角形两锐角互余，
∴ $∠A=90°-∠B=90°-25°=65°$。
2. 求斜边$c$：
在$Rt△ABC$中，根据正弦函数的定义，$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，
变形得$c=\frac{b}{\sin B}$，代入$b=30$，$\sin25°\approx0.423$，
得$c\approx\frac{30}{0.423}\approx71$。
3. 求直角边$a$：
在$Rt△ABC$中，根据正切函数的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，
变形得$a=\frac{b}{\tan B}$，代入$b=30$，$\tan25°\approx0.466$，
得$a\approx\frac{30}{0.466}\approx64$。
【答案】
$∠A=65°$，$c≈71$，$a≈64$
【知识点】
直角三角形内角性质、锐角三角函数定义、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查对直角三角形性质和锐角三角函数的应用能力，解题时要准确对应三角函数的边角关系，按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.8
本题属于解直角三角形中“已知一边一锐角”的基础题型，解题思路如下：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出未知锐角∠A；再结合锐角三角函数的定义，根据已知的直角边b和∠B的三角函数值，分别计算出斜边c和另一条直角边a，计算时注意题目给出的近似值和边长精确到1的要求。
【解析】
1. 求锐角∠A：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$，直角三角形两锐角互余，
∴ $∠A=90°-∠B=90°-25°=65°$。
2. 求斜边$c$：
在$Rt△ABC$中，根据正弦函数的定义，$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，
变形得$c=\frac{b}{\sin B}$，代入$b=30$，$\sin25°\approx0.423$，
得$c\approx\frac{30}{0.423}\approx71$。
3. 求直角边$a$：
在$Rt△ABC$中，根据正切函数的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$，
变形得$a=\frac{b}{\tan B}$，代入$b=30$，$\tan25°\approx0.466$，
得$a\approx\frac{30}{0.466}\approx64$。
【答案】
$∠A=65°$，$c≈71$，$a≈64$
【知识点】
直角三角形内角性质、锐角三角函数定义、解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，主要考查对直角三角形性质和锐角三角函数的应用能力，解题时要准确对应三角函数的边角关系，按要求取近似值即可。
【难度系数】
0.8
8. 填空：$\sin^2 30° + \sin^2 60° =$
请猜想：$\sin^2 32° + \sin^2 58° =$
$1$
，$\sin^2 30° + \cos^2 30° =$ $1$
。请猜想：$\sin^2 32° + \sin^2 58° =$
$1$
，$\sin^2 32° + \cos^2 32° =$ $1$
，并尝试说明理由。答案
8.1 1 1 1 理由略。
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先计算前两个已知特殊角的式子，先回忆30°、60°的正弦、余弦的具体数值，代入平方求和即可；再推导后两个一般角度的式子，先观察32°和58°的角度关系，发现两角互余，利用互余角的三角函数转化关系，将sin58°转化为cos32°，再结合同角三角函数的平方和性质即可得出结果。
【解析】
1. 计算$\sin^2 30° + \sin^2 60°$：
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$\sin^2 30° + \sin^2 60°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
2. 计算$\sin^2 30° + \cos^2 30°$：
已知$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$\sin^2 30° + \cos^2 30°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
3. 计算$\sin^2 32° + \sin^2 58°$：
因为$32°+58°=90°$，即两角互余，根据互余角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，可得$\sin58°=\sin(90°-32°)=\cos32°$，代入得：
$\sin^2 32° + \sin^2 58°=\sin^2 32° + \cos^2 32°$，又因为任意锐角的正弦平方加余弦平方等于1，所以结果为1。
4. 计算$\sin^2 32° + \cos^2 32°$：
根据同角三角函数的基本性质：对任意锐角$α$，都有$\sin^2α+\cos^2α=1$，所以该式结果为1。
【答案】
1；1；1；1
【知识点】
特殊角的三角函数值，互余角三角函数关系，同角三角函数平方关系
【点评】
本题从特殊角度的计算入手，引导学生推导一般角度的三角函数运算规律，既考查了特殊角三角函数值的记忆应用，也帮助学生理解互余角、同角的三角函数核心性质，是三角函数基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先计算前两个已知特殊角的式子，先回忆30°、60°的正弦、余弦的具体数值，代入平方求和即可；再推导后两个一般角度的式子，先观察32°和58°的角度关系，发现两角互余，利用互余角的三角函数转化关系，将sin58°转化为cos32°，再结合同角三角函数的平方和性质即可得出结果。
【解析】
1. 计算$\sin^2 30° + \sin^2 60°$：
已知$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$\sin^2 30° + \sin^2 60°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
2. 计算$\sin^2 30° + \cos^2 30°$：
已知$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：
$\sin^2 30° + \cos^2 30°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
3. 计算$\sin^2 32° + \sin^2 58°$：
因为$32°+58°=90°$，即两角互余，根据互余角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，可得$\sin58°=\sin(90°-32°)=\cos32°$，代入得：
$\sin^2 32° + \sin^2 58°=\sin^2 32° + \cos^2 32°$，又因为任意锐角的正弦平方加余弦平方等于1，所以结果为1。
4. 计算$\sin^2 32° + \cos^2 32°$：
根据同角三角函数的基本性质：对任意锐角$α$，都有$\sin^2α+\cos^2α=1$，所以该式结果为1。
【答案】
1；1；1；1
【知识点】
特殊角的三角函数值，互余角三角函数关系，同角三角函数平方关系
【点评】
本题从特殊角度的计算入手，引导学生推导一般角度的三角函数运算规律，既考查了特殊角三角函数值的记忆应用，也帮助学生理解互余角、同角的三角函数核心性质，是三角函数基础性质的典型应用题目。
【难度系数】
0.8
9.在$△ ABC$中，$D$为$AC$上一点，$BD=AD=2$，$AB=2\sqrt{2}$，$BC=4$，求$∠ C$的度数。
答案
9.$∠C=30°$。
解析
【分析】
解题时先从已知边长的△ABD入手，首先根据三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，求出∠ADB的度数，进而得到其邻补角∠BDC的度数，确定△BDC为直角三角形；再在Rt△BDC中，根据直角三角形边与角的对应关系，结合特殊角的三角函数值，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：在△ABD中，
∵AD=BD=2，AB=2√2，
∴AD² + BD² = 2² + 2² = 8，AB² = (2√2)² = 8，
∴AD² + BD² = AB²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴∠BDC = 180° - ∠ADB = 90°，即△BDC为直角三角形。
在Rt△BDC中，BD=2，BC=4，
∴sin∠C = 对边/斜边 = BD/BC = 2/4 = 1/2，
又
∵∠C是三角形内角，为锐角，
∴∠C=30°。
【答案】
∠C=30°
【知识点】
勾股定理逆定理、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过勾股定理逆定理推导得到直角三角形，再结合特殊角的三角函数值求解角度，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知边长的△ABD入手，首先根据三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，求出∠ADB的度数，进而得到其邻补角∠BDC的度数，确定△BDC为直角三角形；再在Rt△BDC中，根据直角三角形边与角的对应关系，结合特殊角的三角函数值，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：在△ABD中，
∵AD=BD=2，AB=2√2，
∴AD² + BD² = 2² + 2² = 8，AB² = (2√2)² = 8，
∴AD² + BD² = AB²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴∠BDC = 180° - ∠ADB = 90°，即△BDC为直角三角形。
在Rt△BDC中，BD=2，BC=4，
∴sin∠C = 对边/斜边 = BD/BC = 2/4 = 1/2，
又
∵∠C是三角形内角，为锐角，
∴∠C=30°。
【答案】
∠C=30°
【知识点】
勾股定理逆定理、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过勾股定理逆定理推导得到直角三角形，再结合特殊角的三角函数值求解角度，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 对于钝角$α$，定义它的三角函数值如下：
$\sin α = \sin(180° - α), \cos α = -\cos(180° - α)$。
(1) 求$\sin 120°, \cos 120°, \sin 150°$的值；
(2) 若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A,B是这个三角形的两个顶点，$\sin A, \cos B$是方程$4x^2 - mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，求$m$的值及$∠ A$和$∠ B$的大小。
$\sin α = \sin(180° - α), \cos α = -\cos(180° - α)$。
(1) 求$\sin 120°, \cos 120°, \sin 150°$的值；
(2) 若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A,B是这个三角形的两个顶点，$\sin A, \cos B$是方程$4x^2 - mx - 1 = 0$的两个不相等的实数根，求$m$的值及$∠ A$和$∠ B$的大小。
答案
10.解:(1)$\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120°=-\frac{1}{2},\sin 150°=\frac{1}{2}$。
(2)因为三角形的三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°,30°,120°。
①当$∠A=30°,∠B=120°$时，方程的两根为$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} - 1=0$，
解得$m=0$，
经检验$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$是方程$4x^2 - 1=0$的根，
所以$m=0$符合题意；
②当$∠A=120°,∠B=30°$时，两根为$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符合题意；
③当$∠A=30°,∠B=30°$时，两根为$\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} - 1=0$，
解得$m=0$，
经检验，$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是方程$4x^2 - 1=0$的根。
综上所述，$m=0,∠A=30°,∠B=120°$。
(2)因为三角形的三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°,30°,120°。
①当$∠A=30°,∠B=120°$时，方程的两根为$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} - 1=0$，
解得$m=0$，
经检验$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$是方程$4x^2 - 1=0$的根，
所以$m=0$符合题意；
②当$∠A=120°,∠B=30°$时，两根为$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$，不符合题意；
③当$∠A=30°,∠B=30°$时，两根为$\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$，
将$\frac{1}{2}$代入方程得$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} - 1=0$，
解得$m=0$，
经检验，$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是方程$4x^2 - 1=0$的根。
综上所述，$m=0,∠A=30°,∠B=120°$。
解析
【分析】
（1）第一小问直接套用题目给出的钝角三角函数定义，将钝角转化为对应的锐角，再结合30°、60°等特殊角的三角函数值计算即可。
（2）第二小问先根据三角形内角和为180°，结合三个内角的比例求出三个内角的度数；再分情况讨论∠A和∠B的可能取值，得到对应的sinA、cosB的值，利用一元二次方程根的定义代入方程求解m，最后验证两根是否满足“不相等”且均为方程的根，排除不符合题意的情况即可得到最终结果。
【解析】
(1) 根据题中定义计算：
$\sin120° = \sin(180° - 120°) = \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos120° = -\cos(180° - 120°) = -\cos60° = -\frac{1}{2}$；
$\sin150° = \sin(180° - 150°) = \sin30° = \frac{1}{2}$。
(2) 已知三角形三个内角的比为1:1:4，三角形内角和为$180°$，则三个内角分别为：
$180° × \frac{1}{1+1+4} = 30°$，$180° × \frac{1}{1+1+4} = 30°$，$180° × \frac{4}{1+1+4} = 120°$。
已知$\sin A$、$\cos B$是方程$4x^2 - mx -1=0$的两个不相等的实数根，分情况讨论：
① 当$∠ A=30°$，$∠ B=120°$时，$\sin A = \sin30° = \frac{1}{2}$，$\cos B = \cos120° = -\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程得：$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} -1 =0$，解得$m=0$。
此时方程为$4x^2 -1=0$，根为$x=\pm\frac{1}{2}$，符合两根为$\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{2}$且不相等的条件，符合题意。
② 当$∠ A=120°$，$∠ B=30°$时，$\sin A = \sin120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，两根相等，不符合“两个不相等的实数根”的条件，排除。
③ 当$∠ A=30°$，$∠ B=30°$时，$\sin A = \frac{1}{2}$，$\cos B = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程解得$m=0$，此时方程为$4x^2-1=0$，把$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入方程左边得$4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 -1 = 2≠0$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是方程的根，不符合题意，排除。
综上，$m=0$，$∠ A=30°$，$∠ B=120°$。
【答案】
(1) $\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos120°=-\frac{1}{2}$，$\sin150°=\frac{1}{2}$；
(2) $m=0$，$∠ A=30°$，$∠ B=120°$。
【知识点】
特殊角的三角函数值，一元二次方程根的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义考查三角函数与一元二次方程的综合应用，解题时需要对三角形内角的取值进行分类讨论，同时要注意验证根是否符合方程要求和题干限制条件，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.6
（1）第一小问直接套用题目给出的钝角三角函数定义，将钝角转化为对应的锐角，再结合30°、60°等特殊角的三角函数值计算即可。
（2）第二小问先根据三角形内角和为180°，结合三个内角的比例求出三个内角的度数；再分情况讨论∠A和∠B的可能取值，得到对应的sinA、cosB的值，利用一元二次方程根的定义代入方程求解m，最后验证两根是否满足“不相等”且均为方程的根，排除不符合题意的情况即可得到最终结果。
【解析】
(1) 根据题中定义计算：
$\sin120° = \sin(180° - 120°) = \sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos120° = -\cos(180° - 120°) = -\cos60° = -\frac{1}{2}$；
$\sin150° = \sin(180° - 150°) = \sin30° = \frac{1}{2}$。
(2) 已知三角形三个内角的比为1:1:4，三角形内角和为$180°$，则三个内角分别为：
$180° × \frac{1}{1+1+4} = 30°$，$180° × \frac{1}{1+1+4} = 30°$，$180° × \frac{4}{1+1+4} = 120°$。
已知$\sin A$、$\cos B$是方程$4x^2 - mx -1=0$的两个不相等的实数根，分情况讨论：
① 当$∠ A=30°$，$∠ B=120°$时，$\sin A = \sin30° = \frac{1}{2}$，$\cos B = \cos120° = -\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程得：$4×(\frac{1}{2})^2 - m×\frac{1}{2} -1 =0$，解得$m=0$。
此时方程为$4x^2 -1=0$，根为$x=\pm\frac{1}{2}$，符合两根为$\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{2}$且不相等的条件，符合题意。
② 当$∠ A=120°$，$∠ B=30°$时，$\sin A = \sin120° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，两根相等，不符合“两个不相等的实数根”的条件，排除。
③ 当$∠ A=30°$，$∠ B=30°$时，$\sin A = \frac{1}{2}$，$\cos B = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入方程解得$m=0$，此时方程为$4x^2-1=0$，把$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入方程左边得$4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 -1 = 2≠0$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$不是方程的根，不符合题意，排除。
综上，$m=0$，$∠ A=30°$，$∠ B=120°$。
【答案】
(1) $\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos120°=-\frac{1}{2}$，$\sin150°=\frac{1}{2}$；
(2) $m=0$，$∠ A=30°$，$∠ B=120°$。
【知识点】
特殊角的三角函数值，一元二次方程根的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义考查三角函数与一元二次方程的综合应用，解题时需要对三角形内角的取值进行分类讨论，同时要注意验证根是否符合方程要求和题干限制条件，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.6
