7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4$,点$D$,$E$在$BC$上,$BD=5$,$DE=2$,$EC=3$。设$∠ ABC=α$,$∠ ADC=β$,$∠ AEC=\gamma$,求$\tan α$,$\cos β$,$\sin \gamma$的值。

7.解:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=4$,
$BD=5,DE=2,EC=3$,
因为 $BC=BD+DE+CE=5+2+3=10$,
$DC=DE+EC=2+3=5$,
所以 $AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}$,
$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
所以 $\tan α=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
$\cos β=\frac{CD}{AD}=\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{5\sqrt{41}}{41}$,
$\sin \gamma=\frac{AC}{AE}=\frac{4}{5}$。

【分析】
本题要求三个锐角的三角函数值，需结合锐角三角函数的定义求解，解题思路如下：第一步先根据已知的线段长度计算出BC、DC的总长度；第二步利用勾股定理分别求出Rt△ADC的斜边AD、Rt△AEC的斜边AE的长度；第三步分别确定每个角所在的直角三角形，找准角的对边、邻边、斜边，对应代入三角函数的定义式计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
解：已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BD=5$，$DE=2$，$EC=3$。
首先计算各段边长：
$BC=BD+DE+EC=5+2+3=10$，
$DC=DE+EC=2+3=5$。
根据勾股定理计算斜边长：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
再根据锐角三角函数的定义计算：
$\tanα$是$∠ ABC$的正切，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，正切为对边比邻边，即$\tanα=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$；
$\cosβ$是$∠ ADC$的余弦，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，余弦为邻边比斜边，即$\cosβ=\frac{CD}{AD}=\frac{5}{\sqrt{41}}=\frac{5\sqrt{41}}{41}$；
$\sin\gamma$是$∠ AEC$的正弦，在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，正弦为对边比斜边，即$\sin\gamma=\frac{AC}{AE}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\tanα=\frac{2}{5}$，$\cosβ=\frac{5\sqrt{41}}{41}$，$\sin\gamma=\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题型，核心是准确掌握各类三角函数的定义，计算时注意先理清每个角对应的直角三角形的各边长度，最终结果要化到最简，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8

8.如图,在平面直角坐标系中,P是∠α的边OQ上的一点,已知点P的横坐标为6,且$\sinα=\frac{4}{5}$。
(1)点P的纵坐标为________；
(2)$\cosα$的值为________。

8.(1)8 (2)$\frac{3}{5}$

【分析】
要解决这道题，我们可以先过点P作x轴的垂线，构造出含角α的直角三角形，将锐角三角函数和直角三角形的边长关系结合求解。①求点P的纵坐标：sinα是角α的对边与斜边的比值，已知点P的横坐标为6，即直角三角形中角α的邻边长为6，我们可以根据sinα的比例设出对边和斜边的长度，再用勾股定理列方程求出参数，即可得到点P的纵坐标；②求cosα的值：根据余弦的定义，是角α的邻边与斜边的比值，代入已求出的边长计算即可。
【解析】
过点P作$PA⊥x$轴，垂足为A，则$OA=6$，PA的长度就是点P的纵坐标。
(1) 在$Rt△OPA$中，$\sinα=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$，设$PA=4k$，$OP=5k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$OA^2 + PA^2 = OP^2$，代入$OA=6$得：
$6^2 + (4k)^2 = (5k)^2$
$36 + 16k^2 = 25k^2$
$9k^2=36$，解得$k=2$（边长为正，舍去负根）
所以$PA=4k=4×2=8$，即点P的纵坐标为8。
(2) 由(1)得$OP=5k=5×2=10$，根据余弦的定义：
$\cosα=\frac{OA}{OP}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
【答案】
(1)8；(2)$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，解题核心是构造直角三角形，明确锐角三角函数对应的边的比例关系，结合勾股定理计算边长，属于需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.8

9.在$△ ABC$中，$AB = AC$，若$BD ⊥$直线$AC$于点$D$，$\cos∠ BAD = \dfrac{2}{3}$，$BD = 2\sqrt{5}$，求$CD$的长。

9.$CD$ 的长为 2 或 10。

【分析】
题目给出等腰$△ ABC$中$AB=AC$，且$BD$垂直于直线$AC$，说明垂足$D$的位置有两种可能：①$D$在线段$AC$上（此时$△ ABC$为锐角三角形）；②$D$在$CA$的延长线上（此时$∠ BAC$为钝角，$△ ABC$为钝角三角形）。解题时先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用余弦定义设出边长，结合勾股定理求出$AB$、$AD$的长度，再根据$D$的不同位置计算$CD$即可。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
情况1：垂足$D$在线段$AC$上（$△ ABC$为锐角三角形）
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ BAD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{3}$，
设$AD=2x$，$AB=3x$（$x＞0$），
由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，代入$BD=2\sqrt{5}$：
$(2x)^2+(2\sqrt{5})^2=(3x)^2$
整理得$4x^2+20=9x^2$，解得$x=2$（舍去负根），
$\therefore AD=4$，$AB=AC=6$，
$\therefore CD=AC-AD=6-4=2$。
情况2：垂足$D$在$CA$的延长线上（$∠ BAC$为钝角）
同理在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos∠ BAD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{3}$，
设$AD=2x$，$AB=3x$（$x＞0$），
由勾股定理解得$x=2$，$\therefore AD=4$，$AB=AC=6$，
此时$CD=AC+AD=6+4=10$。
【答案】
$CD$的长为2或10。
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略“垂直于直线AC”的表述，漏考虑钝角三角形的情况，解题时遇到无图的几何题，若涉及“垂直于直线”的描述，要主动考虑多种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

10.给出新定义:在$△ ABC$中,我们把$∠ A$的对边与$∠ C$的对边的比叫作$∠ A$的邻弦,记作 thi $A$,即 thi $A=\frac{∠ A\mathrm{ 的对边}}{∠ C\mathrm{ 的对边}}=\frac{BC}{AB}$。
请解答下列问题:
已知:在$△ ABC$中,$∠ C=30°$。
(1)若$∠ A=45°$,求 thi $A$ 的值;
(2)若 thi $A=\sqrt{3}$,求$∠ A$ 的度数;
(3)若$∠ A$ 是锐角,探究 thi $A$ 与 $\sin A$ 的数量关系。

10.(1)$\sqrt{2}$;(2)$60°$或 $120°$;(3)thi $A=2\sin A$。

【分析】
本题是新定义类题型，首先明确thiA的含义是△ABC中∠A的对边BC与∠C的对边AB的比值，结合已知∠C=30°，通过过点B作AC边上的高，将斜三角形转化为两个直角三角形，利用直角三角形的性质求解即可：
(1)已知∠A=45°，作高后分别用含公共高的式子表示BC、AB，再求比值即可；
(2)已知边长比，通过高建立边与角的三角函数关系，求解角度时注意分∠A为锐角、钝角两种情况讨论；
(3)结合前两问的推导思路，消去公共高，整理即可得到thiA与sinA的数量关系。
【解析】
(1)过点B作BH⊥AC，垂足为H。
在Rt△BCH中，∠C=30°，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得$BC=2BH$。
在Rt△ABH中，∠A=45°，$\sin45°=\frac{BH}{AB}$，因此$AB=\frac{BH}{\sin45°}=\sqrt{2}BH$。
根据定义：$\mathrm{thi}A=\frac{BC}{AB}=\frac{2BH}{\sqrt{2}BH}=\sqrt{2}$。
(2)由$\mathrm{thi}A=\sqrt{3}$得$\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，即$BC=\sqrt{3}AB$。
过点B作BH⊥AC，交AC（或AC的延长线）于点H。
在Rt△BCH中，∠C=30°，$BH=BC·\sin30°=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
①当∠A为锐角时：在Rt△ABH中，$\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得∠A=60°；
②当∠A为钝角时：∠BAH=180°-∠A，在Rt△ABH中，$\sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得∠BAH=60°，即∠A=180°-60°=120°。
综上，∠A的度数为60°或120°。
(3)过点B作BH⊥AC，垂足为H。
在Rt△BCH中，∠C=30°，$BH=BC·\sin30°=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2BH$。
在Rt△ABH中，$\sin A=\frac{BH}{AB}$，即$BH=AB·\sin A$。
将$BH=AB·\sin A$代入$BC=2BH$，得$BC=2AB·\sin A$，两边同时除以AB得$\frac{BC}{AB}=2\sin A$。
根据定义$\mathrm{thi}A=\frac{BC}{AB}$，因此$\mathrm{thi}A=2\sin A$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$；(2)$60°$或$120°$；(3)$\mathrm{thi}A=2\sin A$
【知识点】
锐角三角函数，直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体，考查三角函数的灵活应用，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解，注意讨论∠A为钝角的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65