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4. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$BC = 6$，$\sin A = \dfrac{3}{5}$。
(1) 则 $\cos A$，$\tan B$ 的值。
(2) 若去掉 $BC = 6$ 这一条件，此题还能求解吗？试一试。
(1) 则 $\cos A$，$\tan B$ 的值。
(2) 若去掉 $BC = 6$ 这一条件，此题还能求解吗？试一试。
答案
4.(1)$\cos A=\frac{4}{5},\tan B=\frac{4}{3}$。
(2)能。设 $BC$ 为 $3x,AB$ 为 $5x$ 去求值。
(2)能。设 $BC$ 为 $3x,AB$ 为 $5x$ 去求值。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先回忆锐角三角函数的定义：sinA是∠A的对边与斜边的比值，结合已知的sinA和BC的长度，可先求出斜边AB的长度；再用勾股定理求出直角边AC的长度，最后根据cosA（邻边比斜边）、tanB（对边比邻边）的定义代入边长计算即可。
(2) 求解第二问时，要明确锐角三角函数值仅与角的大小有关，是边的比值，和边长的具体数值无关。因此可以根据sinA的比值，设BC=3x、AB=5x，用含x的式子表示出AC的长度，计算三角函数值时x会被约去，依然能得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
已知$BC=6$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
因此$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
(2) 能求解，过程如下：
设$BC=3x$，由$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$可得$AB=5x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=\sqrt{16x^2}=4x$（边长为正，取正根），
因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$，结果与(1)一致。
【答案】
(1)$\cos A=\frac{4}{5},\tan B=\frac{4}{3}$；(2)能。设 $BC$ 为 $3x,AB$ 为 $5x$ 去求值。
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、三角函数的比值性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，核心是牢记各三角函数对应的边的比值关系，理解三角函数值仅由角的大小决定，与边长无关，掌握设参数求比值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，先回忆锐角三角函数的定义：sinA是∠A的对边与斜边的比值，结合已知的sinA和BC的长度，可先求出斜边AB的长度；再用勾股定理求出直角边AC的长度，最后根据cosA（邻边比斜边）、tanB（对边比邻边）的定义代入边长计算即可。
(2) 求解第二问时，要明确锐角三角函数值仅与角的大小有关，是边的比值，和边长的具体数值无关。因此可以根据sinA的比值，设BC=3x、AB=5x，用含x的式子表示出AC的长度，计算三角函数值时x会被约去，依然能得到结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
已知$BC=6$，代入得$\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=10$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
因此$\cos A=\frac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
$\tan B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
(2) 能求解，过程如下：
设$BC=3x$，由$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$可得$AB=5x$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=\sqrt{16x^2}=4x$（边长为正，取正根），
因此$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$，结果与(1)一致。
【答案】
(1)$\cos A=\frac{4}{5},\tan B=\frac{4}{3}$；(2)能。设 $BC$ 为 $3x,AB$ 为 $5x$ 去求值。
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理、三角函数的比值性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，核心是牢记各三角函数对应的边的比值关系，理解三角函数值仅由角的大小决定，与边长无关，掌握设参数求比值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$AC=8$，则$\sin A$等于（$\quad$）。
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
1.A
解析
【分析】
要计算$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。本题已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$和直角边$AC$，因此首先需要用勾股定理求出$∠ A$的对边$BC$的长度，再代入正弦的定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，即：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，重点考察对正弦定义的理解和勾股定理的简单应用，解题时需注意区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆三角函数的对应边关系。
【难度系数】
0.8
要计算$\sin A$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。本题已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$和直角边$AC$，因此首先需要用勾股定理求出$∠ A$的对边$BC$的长度，再代入正弦的定义计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
根据锐角正弦的定义，$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，即：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，重点考察对正弦定义的理解和勾股定理的简单应用，解题时需注意区分锐角对应的对边和邻边，避免混淆三角函数的对应边关系。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$\cos A = \dfrac{2}{3}$，那么$AB$的长是（
A.5
B.6
C.8
D.9
B
）。A.5
B.6
C.8
D.9
答案
2.B
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中∠C=90°，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，已知cosA和AC的长度，代入余弦定义的公式即可求出AB的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A = \dfrac{∠ A的邻边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}$
已知$\cos A=\dfrac{2}{3}$，$AC=4$，代入上式得：
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{AB}$
交叉相乘求解得：$2AB=12$，即$AB=6$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
锐角余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数中余弦定义的理解和应用，熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中∠C=90°，所以∠A的邻边是AC，斜边是AB，已知cosA和AC的长度，代入余弦定义的公式即可求出AB的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义可得：
$\cos A = \dfrac{∠ A的邻边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}$
已知$\cos A=\dfrac{2}{3}$，$AC=4$，代入上式得：
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{AB}$
交叉相乘求解得：$2AB=12$，即$AB=6$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
锐角余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，重点考查对锐角三角函数中余弦定义的理解和应用，熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边的比例关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3.如图，∠ABC是放置在正方形网格中的一个角，A，B，C都是格点，则cos∠ABC的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$
C
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
3.C
解析
【分析】
要求$\cos∠ ABC$的值，首先需要把$∠ ABC$放在直角三角形中求解。我们可以先连接$AC$，设每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算出$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是否为直角三角形，找到直角后，根据锐角余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）即可计算出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，连接$AC$。
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
$\because AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
根据锐角余弦的定义，$\cos∠ ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角余弦的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题的关键是通过连接辅助线构造直角三角形，结合勾股定理及其逆定理确定直角的位置，再根据三角函数的定义计算，解题时注意不要混淆三角函数对应的边的比例关系。
【难度系数】
0.7
要求$\cos∠ ABC$的值，首先需要把$∠ ABC$放在直角三角形中求解。我们可以先连接$AC$，设每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算出$△ ABC$三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABC$是否为直角三角形，找到直角后，根据锐角余弦的定义（角的邻边与斜边的比值）即可计算出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，连接$AC$。
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
$\because AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
根据锐角余弦的定义，$\cos∠ ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角余弦的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题的关键是通过连接辅助线构造直角三角形，结合勾股定理及其逆定理确定直角的位置，再根据三角函数的定义计算，解题时注意不要混淆三角函数对应的边的比例关系。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD⊥ AC$于点$D$,$\cos A=\frac{3}{5}$,则$\sin∠ CBD$的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D
)。A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
4.D
解析
【分析】
要计算sin∠CBD的值，观察到∠CBD在Rt△BDC中，根据锐角三角函数的定义，只需要求出∠CBD的对边CD与斜边BC的比值即可。解题时先利用已知的cosA的值，在Rt△ABD中设参数表示出AD、AB、BD的长度，再结合等腰三角形AB=AC的性质求出CD的长度，最后用勾股定理求出BC的长度，代入正弦定义计算即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°
在Rt△ABD中，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AD=3k$，$AB=5k$（$k＞0$）
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$
∵△ABC是等腰三角形，$AB=AC$，
∴$AC=5k$
∴$CD=AC-AD=5k-3k=2k$
在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(4k)^2+(2k)^2}=2\sqrt{5}k$
根据正弦的定义：$\sin∠CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{2k}{2\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数和等腰三角形的综合题，通过设参数表示线段长度求比值的方法是解决这类问题的常用思路，解题时注意结合直角三角形的性质梳理各边的数量关系。
【难度系数】
0.7
要计算sin∠CBD的值，观察到∠CBD在Rt△BDC中，根据锐角三角函数的定义，只需要求出∠CBD的对边CD与斜边BC的比值即可。解题时先利用已知的cosA的值，在Rt△ABD中设参数表示出AD、AB、BD的长度，再结合等腰三角形AB=AC的性质求出CD的长度，最后用勾股定理求出BC的长度，代入正弦定义计算即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°
在Rt△ABD中，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AD=3k$，$AB=5k$（$k＞0$）
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$
∵△ABC是等腰三角形，$AB=AC$，
∴$AC=5k$
∴$CD=AC-AD=5k-3k=2k$
在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{(4k)^2+(2k)^2}=2\sqrt{5}k$
根据正弦的定义：$\sin∠CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{2k}{2\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数和等腰三角形的综合题，通过设参数表示线段长度求比值的方法是解决这类问题的常用思路，解题时注意结合直角三角形的性质梳理各边的数量关系。
【难度系数】
0.7
5.如图,点 A 为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示 $\sin α$ 的值,正确的是(
A.$\frac{DC}{AC}$
B.$\frac{AC}{BC}$
C.$\frac{DC}{BC}$
D.$\frac{BC}{AB}$
C
)。A.$\frac{DC}{AC}$
B.$\frac{AC}{BC}$
C.$\frac{DC}{BC}$
D.$\frac{BC}{AB}$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪个比值是$\sinα$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。解题思路如下：①先找$∠α$所在的直角三角形，直接写出对应$\sinα$的表达式；②再通过同角的余角相等，找到与$∠α$相等的角，写出该角对应正弦的表达式；③最后将得到的表达式和选项逐一对比，选出正确答案。
【解析】
解：$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$。
1. 分析角的关系：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠α+∠ A=90°$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD+∠ A=90°$，因此$∠α=∠ ACD$。
2. 逐一分析选项：
选项A：在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD$的对边是$AD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}=\sinα$，$\frac{DC}{AC}$是$\cos∠ ACD=\cosα$，A错误；
选项B：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{AC}{BC}$，这是$α$的正切值，不是正弦值，B错误；
选项C：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠α$的对边是$DC$，斜边是$BC$，因此$\sinα=\frac{DC}{BC}$，C正确；
选项D：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，这是$α$的余弦值，不是正弦值，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确掌握锐角三角函数的定义，不要混淆对边、邻边和斜边，同时能利用余角的性质转化相等的角进行分析。
【难度系数】
0.7
要判断哪个比值是$\sinα$，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。解题思路如下：①先找$∠α$所在的直角三角形，直接写出对应$\sinα$的表达式；②再通过同角的余角相等，找到与$∠α$相等的角，写出该角对应正弦的表达式；③最后将得到的表达式和选项逐一对比，选出正确答案。
【解析】
解：$\because AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，$\therefore ∠ ACB=∠ CDB=∠ CDA=90°$。
1. 分析角的关系：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠α+∠ A=90°$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD+∠ A=90°$，因此$∠α=∠ ACD$。
2. 逐一分析选项：
选项A：在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD$的对边是$AD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}=\sinα$，$\frac{DC}{AC}$是$\cos∠ ACD=\cosα$，A错误；
选项B：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{AC}{BC}$，这是$α$的正切值，不是正弦值，B错误；
选项C：在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠α$的对边是$DC$，斜边是$BC$，因此$\sinα=\frac{DC}{BC}$，C正确；
选项D：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，这是$α$的余弦值，不是正弦值，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确掌握锐角三角函数的定义，不要混淆对边、邻边和斜边，同时能利用余角的性质转化相等的角进行分析。
【难度系数】
0.7
6.如图，在△ABC中，AB=BC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点M，若CM=1，BD=3，则$\sin B=$
$\frac{3}{5}$
。答案
6.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图痕迹，可判断射线AE是线段CD的垂直平分线，由此可得AM⊥BC，且DM=CM。先结合已知CM的长度得到DM的长度，再结合BD的长度求出BC的长度，由AB=BC可得AB的长度，接着求出BM的长度，在Rt△ABM中利用勾股定理求出AM的长度，最后根据正弦的定义即可求出sinB的值。
【解析】
解：由作图可知，AE垂直平分线段CD，
∴ ∠AMB=90°，DM=CM=1，
∴ CD=DM+CM=2，
∵ BD=3，
∴ BC=BD+CD=3+2=5，
又
∵ AB=BC，
∴ AB=5，
BM=BD+DM=3+1=4，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的关键是正确识别尺规作图的结果，得到垂直平分线，再结合等腰三角形性质、勾股定理和三角函数的定义逐步计算，属于基础综合题，需要熟练掌握几何基本性质和三角函数的概念。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图痕迹，可判断射线AE是线段CD的垂直平分线，由此可得AM⊥BC，且DM=CM。先结合已知CM的长度得到DM的长度，再结合BD的长度求出BC的长度，由AB=BC可得AB的长度，接着求出BM的长度，在Rt△ABM中利用勾股定理求出AM的长度，最后根据正弦的定义即可求出sinB的值。
【解析】
解：由作图可知，AE垂直平分线段CD，
∴ ∠AMB=90°，DM=CM=1，
∴ CD=DM+CM=2，
∵ BD=3，
∴ BC=BD+CD=3+2=5，
又
∵ AB=BC，
∴ AB=5，
BM=BD+DM=3+1=4，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的关键是正确识别尺规作图的结果，得到垂直平分线，再结合等腰三角形性质、勾股定理和三角函数的定义逐步计算，属于基础综合题，需要熟练掌握几何基本性质和三角函数的概念。
【难度系数】
0.7
