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8.如图①，《燕几图》是中国家具史上第一部组合家具的设计图。全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等，同一类型的桌面的长都相等。如图②给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为$ x $，“磬矩”桌面的总面积为$ S $，则$ S $与$ x $之间的关系可以表示为（
A.$ S=9x^2 $
B.$ S=12x^2 $
C.$ S=16x^2 $
D.$ S=20x^2 $
C
）。A.$ S=9x^2 $
B.$ S=12x^2 $
C.$ S=16x^2 $
D.$ S=20x^2 $
答案
8.C
解析
【分析】
要推导S与x的关系式，利用密铺图形总面积等于外框矩形面积的规律求解即可。首先明确所有桌面的宽均为x，先通过中间小桌的堆叠关系得到小桌的长，再分别计算拼合后大矩形的水平总长度和垂直总长度，最后用矩形面积公式计算总面积即可。
【解析】
解：已知所有桌面的宽均为x，观察图②的拼接关系：
1. 中间上下堆叠的2张小桌面总高度为$x+x=2x$，该高度等于相邻竖放小桌面的长，因此小桌面的长为$2x$。
2. 拼合后“磬矩”的垂直总长度：上方横放桌面的宽$x$ + 中间区域高度$2x$ + 下方横放桌面的宽$x$ = $4x$。
3. 拼合后“磬矩”的水平总长度：左侧竖放桌面的宽$x$ + 中间区域宽度（小桌面的长）$2x$ + 右侧竖放桌面的宽$x$ = $4x$。
4. 密铺图形总面积等于外框矩形面积，因此：
$S=4x·4x=16x^2$
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算、整式的乘法、列代数式
【点评】
本题结合古代《燕几图》的传统文化背景，考查图形拼接中的边长关系及面积计算，解题核心是准确找到拼接图形中各边的等量关系，将数学知识和传统文化结合，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
要推导S与x的关系式，利用密铺图形总面积等于外框矩形面积的规律求解即可。首先明确所有桌面的宽均为x，先通过中间小桌的堆叠关系得到小桌的长，再分别计算拼合后大矩形的水平总长度和垂直总长度，最后用矩形面积公式计算总面积即可。
【解析】
解：已知所有桌面的宽均为x，观察图②的拼接关系：
1. 中间上下堆叠的2张小桌面总高度为$x+x=2x$，该高度等于相邻竖放小桌面的长，因此小桌面的长为$2x$。
2. 拼合后“磬矩”的垂直总长度：上方横放桌面的宽$x$ + 中间区域高度$2x$ + 下方横放桌面的宽$x$ = $4x$。
3. 拼合后“磬矩”的水平总长度：左侧竖放桌面的宽$x$ + 中间区域宽度（小桌面的长）$2x$ + 右侧竖放桌面的宽$x$ = $4x$。
4. 密铺图形总面积等于外框矩形面积，因此：
$S=4x·4x=16x^2$
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算、整式的乘法、列代数式
【点评】
本题结合古代《燕几图》的传统文化背景，考查图形拼接中的边长关系及面积计算，解题核心是准确找到拼接图形中各边的等量关系，将数学知识和传统文化结合，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
9.定义新运算$a※b=ab+b^2$，则$(2m)※m$的运算结果是
$3m^2$
。答案
9.$3m^2$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义运算的规则，明确$a※b$的运算方式是$a$与$b$的乘积加上$b$的平方；接下来找到待求式$(2m)※m$中对应新运算里的$a$和$b$，即$a=2m$，$b=m$；将其代入新运算公式后，按照整式乘法的运算法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a※b=ab+b^2$，可得在$(2m)※m$中，$a=2m$，$b=m$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(2m)※m&=2m· m + m^2\\&=2m^2 + m^2\\&=3m^2\end{aligned}$
【答案】
$3m^2$
【知识点】
定义新运算；整式的乘法；合并同类项
【点评】
本题考查对新运算规则的理解与整式运算的应用，核心是准确对应新运算中的字母参数，正确代入后按整式运算规则计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先要准确理解新定义运算的规则，明确$a※b$的运算方式是$a$与$b$的乘积加上$b$的平方；接下来找到待求式$(2m)※m$中对应新运算里的$a$和$b$，即$a=2m$，$b=m$；将其代入新运算公式后，按照整式乘法的运算法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a※b=ab+b^2$，可得在$(2m)※m$中，$a=2m$，$b=m$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(2m)※m&=2m· m + m^2\\&=2m^2 + m^2\\&=3m^2\end{aligned}$
【答案】
$3m^2$
【知识点】
定义新运算；整式的乘法；合并同类项
【点评】
本题考查对新运算规则的理解与整式运算的应用，核心是准确对应新运算中的字母参数，正确代入后按整式运算规则计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
10.若单项式$\frac{2}{5}x^{2a}y$和$-\frac{5}{2}x^{2}y^{b+3}$是同类项，则这两个单项式的积是
$-x^4y^2$
。答案
10.$-x^4y^2$
解析
【分析】
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。第一步根据同类项的判定条件，分别列等式求出a、b的值，确定两个单项式的具体形式；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂的指数相加，计算两个单项式的乘积即可。
【解析】
∵ 单项式$\frac{2}{5}x^{2a}y$和$-\frac{5}{2}x^{2}y^{b+3}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}2a=2 \\ b+3=1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\ b=-2 \end{cases}$
则两个单项式分别为$\frac{2}{5}x^2y$和$-\frac{5}{2}x^2y$
计算两者的乘积：
$\frac{2}{5}x^2y × (-\frac{5}{2}x^2y) = [\frac{2}{5} × (-\frac{5}{2})] × (x^2 · x^2) × (y · y) = -1 × x^{2+2} × y^{1+1} = -x^4y^2$
【答案】
$-x^4y^2$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算题，核心是先通过同类项的性质确定未知参数，再结合整式乘法法则计算，需注意系数运算的符号不要出错，相同字母的幂运算时不要混淆指数加减规则。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。第一步根据同类项的判定条件，分别列等式求出a、b的值，确定两个单项式的具体形式；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂的指数相加，计算两个单项式的乘积即可。
【解析】
∵ 单项式$\frac{2}{5}x^{2a}y$和$-\frac{5}{2}x^{2}y^{b+3}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}2a=2 \\ b+3=1 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\ b=-2 \end{cases}$
则两个单项式分别为$\frac{2}{5}x^2y$和$-\frac{5}{2}x^2y$
计算两者的乘积：
$\frac{2}{5}x^2y × (-\frac{5}{2}x^2y) = [\frac{2}{5} × (-\frac{5}{2})] × (x^2 · x^2) × (y · y) = -1 × x^{2+2} × y^{1+1} = -x^4y^2$
【答案】
$-x^4y^2$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算题，核心是先通过同类项的性质确定未知参数，再结合整式乘法法则计算，需注意系数运算的符号不要出错，相同字母的幂运算时不要混淆指数加减规则。
【难度系数】
0.8
11.计算.
(1)$(-x^2 y)^3 · (-2xy^2)^4 · 3y$.
(2)$a^2 b · a^4 b^2 - (-a^2 b)^3$.
(3)$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$.
(4)$(-2a^2 b)^3 + (-2a^2)^2 · (-3a^2) · (-b^3)$.
(1)$(-x^2 y)^3 · (-2xy^2)^4 · 3y$.
(2)$a^2 b · a^4 b^2 - (-a^2 b)^3$.
(3)$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$.
(4)$(-2a^2 b)^3 + (-2a^2)^2 · (-3a^2) · (-b^3)$.
答案
(1)原式$=-x^{2×3}y^3 · (-2)^4x^4y^{2×4} · 3y=-x^6y^3 · 16x^4y^8 · 3y$
$=-16×3x^{6+4}y^{3+8+1}=-48x^{10}y^{12}$.
(2)原式$=a^6b^3+a^6b^3=2a^6b^3$.
(3)原式$=2x^6 · x^3-27x^9+25x^2 · x^7=2x^9-27x^9+25x^9=0$.
(4)原式$=-8a^6b^3+4a^4 · (-3a^2) · (-b^3)=4a^6b^3$.
$=-16×3x^{6+4}y^{3+8+1}=-48x^{10}y^{12}$.
(2)原式$=a^6b^3+a^6b^3=2a^6b^3$.
(3)原式$=2x^6 · x^3-27x^9+25x^2 · x^7=2x^9-27x^9+25x^9=0$.
(4)原式$=-8a^6b^3+4a^4 · (-3a^2) · (-b^3)=4a^6b^3$.
解析
【分析】
解决这类整式混合运算题，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，每一步对应幂的运算法则计算即可：①积的乘方：把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加；最后合并同类项时，仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变。计算时要格外注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算同底数幂的乘法：
原式$=-x^{2×3}y^3 · (-2)^4x^4y^{2×4} · 3y=-x^6y^3 · 16x^4y^8 · 3y$
$=-16×3x^{6+4}y^{3+8+1}=-48x^{10}y^{12}$
(2) 先计算同底数幂乘法和乘方，再合并同类项：
原式$=a^{2+4}b^{1+2} - (-a^{6}b^{3})=a^6b^3+a^6b^3=2a^6b^3$
(3) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=2x^6 · x^3-27x^9+25x^2 · x^7=2x^9-27x^9+25x^9=0$
(4) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=-8a^6b^3+4a^4 · (-3a^2) · (-b^3)=-8a^6b^3+12a^6b^3=4a^6b^3$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-48x^{10}y^{12}}$；(2)$\boldsymbol{2a^6b^3}$；(3)$\boldsymbol{0}$；(4)$\boldsymbol{4a^6b^3}$
【知识点】
幂的运算、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查幂的各类运算法则的应用能力，易错点是负数乘方的符号判断、指数运算错误，熟练掌握运算规则和运算顺序即可准确求解。
【难度系数】
0.8
解决这类整式混合运算题，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，每一步对应幂的运算法则计算即可：①积的乘方：把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；②幂的乘方：底数不变，指数相乘；③同底数幂相乘：底数不变，指数相加；最后合并同类项时，仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变。计算时要格外注意负数乘方的符号判断，避免符号出错。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算同底数幂的乘法：
原式$=-x^{2×3}y^3 · (-2)^4x^4y^{2×4} · 3y=-x^6y^3 · 16x^4y^8 · 3y$
$=-16×3x^{6+4}y^{3+8+1}=-48x^{10}y^{12}$
(2) 先计算同底数幂乘法和乘方，再合并同类项：
原式$=a^{2+4}b^{1+2} - (-a^{6}b^{3})=a^6b^3+a^6b^3=2a^6b^3$
(3) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=2x^6 · x^3-27x^9+25x^2 · x^7=2x^9-27x^9+25x^9=0$
(4) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=-8a^6b^3+4a^4 · (-3a^2) · (-b^3)=-8a^6b^3+12a^6b^3=4a^6b^3$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-48x^{10}y^{12}}$；(2)$\boldsymbol{2a^6b^3}$；(3)$\boldsymbol{0}$；(4)$\boldsymbol{4a^6b^3}$
【知识点】
幂的运算、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查幂的各类运算法则的应用能力，易错点是负数乘方的符号判断、指数运算错误，熟练掌握运算规则和运算顺序即可准确求解。
【难度系数】
0.8
12.$(a,b,c)$表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，$(ab,bc,ca)$表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），$(ab^2c, bc^2a, ca^2b)$表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组.记开始三个数之积为$T_0=abc$，第1个数组的三个数之积为$T_1=abbcca=a^2b^2c^2$，第$n$个数组的三个数之积为$T_n$（$n$为正整数）.
对于任意的正整数$m,n$，有下列说法：
① $T_2=(abc)^4$；
② 若$T_n=(abc)^k$，则$k$可以是奇数，也可以是偶数；
③ $T_n · T_m = T_{n+m}$；
④ $T_n$的最小值是36.
其中正确的说法是
对于任意的正整数$m,n$，有下列说法：
① $T_2=(abc)^4$；
② 若$T_n=(abc)^k$，则$k$可以是奇数，也可以是偶数；
③ $T_n · T_m = T_{n+m}$；
④ $T_n$的最小值是36.
其中正确的说法是
①④
（填写序号）.答案
12.①④
解析
【分析】
首先推导$T_n$的递推规律：设第$n-1$个数组的三个数为$x、y、z$，则$T_{n-1}=xyz$，第$n$个数组为$xy、yz、zx$，因此$T_n=xy· yz· zx=x^2y^2z^2=(xyz)^2=(T_{n-1})^2$。结合已知$T_0=abc$，可推出$T_n$的通式，再逐个判断4个说法是否正确。
【解析】
第一步：推导$T_n$的表达式
由递推关系$T_n=(T_{n-1})^2$，$T_0=abc=(abc)^{2^0}$，
则$T_1=(T_0)^2=(abc)^{2^1}$，
$T_2=(T_1)^2=(abc)^{2^2}=(abc)^4$，
以此类推，可得通式：$T_n=(abc)^{2^n}$（$n$为正整数）。
第二步：逐个判断说法
① $T_2=(abc)^4$，和推导结果一致，故①正确；
② 对正整数$n$，$2^n$都是偶数，即$k=2^n$只能是偶数，不可能是奇数，故②错误；
③ $T_n· T_m=(abc)^{2^n}·(abc)^{2^m}=(abc)^{2^n + 2^m}$，而$T_{n+m}=(abc)^{2^{n+m}}$，当$n≠m$时，$2^n + 2^m ≠ 2^{n+m}$（例如$n=1,m=2$时，左边指数$=2+4=6$，右边指数$=8$，不相等），故③错误；
④ $a,b,c$是互不相等的正整数，最小的三个互不相等正整数为1、2、3，此时$abc=1×2×3=6$，$T_n=6^{2^n}$，$n$为正整数，$n$最小取1时，$T_1=6^2=36$，$n$越大$T_n$越大，故$T_n$的最小值为36，④正确。
【答案】
①④
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘法；规律探究
【点评】
本题结合新定义考查整式幂运算的应用，解题核心是先推导得到$T_n$的指数规律，再结合幂的运算法则逐一判断，求最小值时要注意互不相等正整数的取值限制。
【难度系数】
0.65
首先推导$T_n$的递推规律：设第$n-1$个数组的三个数为$x、y、z$，则$T_{n-1}=xyz$，第$n$个数组为$xy、yz、zx$，因此$T_n=xy· yz· zx=x^2y^2z^2=(xyz)^2=(T_{n-1})^2$。结合已知$T_0=abc$，可推出$T_n$的通式，再逐个判断4个说法是否正确。
【解析】
第一步：推导$T_n$的表达式
由递推关系$T_n=(T_{n-1})^2$，$T_0=abc=(abc)^{2^0}$，
则$T_1=(T_0)^2=(abc)^{2^1}$，
$T_2=(T_1)^2=(abc)^{2^2}=(abc)^4$，
以此类推，可得通式：$T_n=(abc)^{2^n}$（$n$为正整数）。
第二步：逐个判断说法
① $T_2=(abc)^4$，和推导结果一致，故①正确；
② 对正整数$n$，$2^n$都是偶数，即$k=2^n$只能是偶数，不可能是奇数，故②错误；
③ $T_n· T_m=(abc)^{2^n}·(abc)^{2^m}=(abc)^{2^n + 2^m}$，而$T_{n+m}=(abc)^{2^{n+m}}$，当$n≠m$时，$2^n + 2^m ≠ 2^{n+m}$（例如$n=1,m=2$时，左边指数$=2+4=6$，右边指数$=8$，不相等），故③错误；
④ $a,b,c$是互不相等的正整数，最小的三个互不相等正整数为1、2、3，此时$abc=1×2×3=6$，$T_n=6^{2^n}$，$n$为正整数，$n$最小取1时，$T_1=6^2=36$，$n$越大$T_n$越大，故$T_n$的最小值为36，④正确。
【答案】
①④
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的乘法；规律探究
【点评】
本题结合新定义考查整式幂运算的应用，解题核心是先推导得到$T_n$的指数规律，再结合幂的运算法则逐一判断，求最小值时要注意互不相等正整数的取值限制。
【难度系数】
0.65
