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一、选择题
1. 下列利用等式的基本性质变形，错误的是()
A.如果$-2x=-2y$，那么 $x=y$
B.如果$\frac{a}{c^2 +1}=\frac{b}{c^2 +1}$，那么 $a=b$
C.如果 $a=b$，那么 $a-6=b-6$
D.如果 $x^2=5x$，那么 $x=5$
1. 下列利用等式的基本性质变形，错误的是()
A.如果$-2x=-2y$，那么 $x=y$
B.如果$\frac{a}{c^2 +1}=\frac{b}{c^2 +1}$，那么 $a=b$
C.如果 $a=b$，那么 $a-6=b-6$
D.如果 $x^2=5x$，那么 $x=5$
答案
D
解析
【分析】
要判断等式变形是否正确，核心是紧扣等式的两条基本性质：①等式两边加/减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等。解题时逐一对四个选项的变形过程验证即可，尤其要注意性质②中“除以的数不能为0”这个限制条件，这是常见的易错点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$-2x=-2y$，等式两边同时除以不为0的数$-2$，可得$x=y$，变形正确，不符合题意；
B选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，即$c^2+1$恒不为0，等式两边同时乘$c^2+1$，可得$a=b$，变形正确，不符合题意；
C选项：已知$a=b$，等式两边同时减去6，根据等式性质1可得$a-6=b-6$，变形正确，不符合题意；
D选项：已知$x^2=5x$，若直接在等式两边同时除以$x$，默认了$x≠0$，但实际上$x=0$时，左边$0^2=0$，右边$5×0=0$，等式也成立，所以除$x=5$外$x=0$也是解，原变形漏解，错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形规则；解方程注意事项
【点评】
本题属于基础易错题，重点考查对等式基本性质的理解掌握，易错点是忽略等式两边同时除以含未知数的式子时，必须保证式子不为0，否则会出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
要判断等式变形是否正确，核心是紧扣等式的两条基本性质：①等式两边加/减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等。解题时逐一对四个选项的变形过程验证即可，尤其要注意性质②中“除以的数不能为0”这个限制条件，这是常见的易错点。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$-2x=-2y$，等式两边同时除以不为0的数$-2$，可得$x=y$，变形正确，不符合题意；
B选项：因为$c^2≥0$，所以$c^2+1≥1$，即$c^2+1$恒不为0，等式两边同时乘$c^2+1$，可得$a=b$，变形正确，不符合题意；
C选项：已知$a=b$，等式两边同时减去6，根据等式性质1可得$a-6=b-6$，变形正确，不符合题意；
D选项：已知$x^2=5x$，若直接在等式两边同时除以$x$，默认了$x≠0$，但实际上$x=0$时，左边$0^2=0$，右边$5×0=0$，等式也成立，所以除$x=5$外$x=0$也是解，原变形漏解，错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；等式变形规则；解方程注意事项
【点评】
本题属于基础易错题，重点考查对等式基本性质的理解掌握，易错点是忽略等式两边同时除以含未知数的式子时，必须保证式子不为0，否则会出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
2.这是一个被墨水污染了的方程：$2x-\frac{1}{2}=3x+$
$$，答案显示此方程的解是$x=-1$.若被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()
A.1
B.$-1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
$$，答案显示此方程的解是$x=-1$.若被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()A.1
B.$-1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知方程的解为x=-1，因此将x=-1代入原方程时，等式一定成立。我们可以设被墨水遮盖的常数为参数a，代入x=-1后即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出被遮盖的常数。
【解析】
设被墨水遮盖的常数为$a$，
将$x=-1$代入原方程$2x-\frac{1}{2}=3x+a$，得：
$2×(-1)-\frac{1}{2}=3×(-1)+a$
先计算方程两边的常数项：
左边：$2×(-1)-\frac{1}{2}=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$
右边：$3×(-1)+a=-3+a$
此时方程转化为：$-\frac{5}{2}=-3+a$
移项求解$a$：
$a=3-\frac{5}{2}=\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$
因此被墨水遮盖的常数为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题核心是掌握“代解求参”的思路，利用方程的解的性质将已知解代入原方程，把未知常数转化为新的一元一次方程的未知数求解即可，只要计算仔细不容易出错。
【难度系数】
0.8
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知方程的解为x=-1，因此将x=-1代入原方程时，等式一定成立。我们可以设被墨水遮盖的常数为参数a，代入x=-1后即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出被遮盖的常数。
【解析】
设被墨水遮盖的常数为$a$，
将$x=-1$代入原方程$2x-\frac{1}{2}=3x+a$，得：
$2×(-1)-\frac{1}{2}=3×(-1)+a$
先计算方程两边的常数项：
左边：$2×(-1)-\frac{1}{2}=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$
右边：$3×(-1)+a=-3+a$
此时方程转化为：$-\frac{5}{2}=-3+a$
移项求解$a$：
$a=3-\frac{5}{2}=\frac{6}{2}-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$
因此被墨水遮盖的常数为$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题核心是掌握“代解求参”的思路，利用方程的解的性质将已知解代入原方程，把未知常数转化为新的一元一次方程的未知数求解即可，只要计算仔细不容易出错。
【难度系数】
0.8
二、填空题
3.如图，若点A、点B在数轴上所对应的数分别是$\frac{2x -1}{6} -1$和$\frac{3x +1}{3}$，且满足AO=BO，则x的值为。
3.如图，若点A、点B在数轴上所对应的数分别是$\frac{2x -1}{6} -1$和$\frac{3x +1}{3}$，且满足AO=BO，则x的值为。
答案
解：由题意可知，点A与点B对应的数互为相反数，据此列方程：
$\frac{2x-1}{6} -1 + \frac{3x+1}{3} = 0$
去分母，得：
$2x - 1 - 6 + 2(3x + 1) = 0$
去括号，得：
$2x - 1 - 6 + 6x + 2 = 0$
移项、合并同类项，得：
$8x = 5$
系数化为1，得：
$x = \frac{5}{8}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{2x-1}{6} -1 + \frac{3x+1}{3} = 0$
去分母，得：
$2x - 1 - 6 + 2(3x + 1) = 0$
去括号，得：
$2x - 1 - 6 + 6x + 2 = 0$
移项、合并同类项，得：
$8x = 5$
系数化为1，得：
$x = \frac{5}{8}$
$\frac{5}{8}$
解析
【分析】
首先观察数轴，点A在原点左侧，点B在原点右侧，已知AO=BO意味着A、B两点到原点的距离相等，因此两点对应的数互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可得到x的值。
【解析】
由题意可知，点A、B对应的数互为相反数，两数之和为0，据此列方程：
$\frac{2x-1}{6} -1 + \frac{3x+1}{3} = 0$
去分母（两边同乘6），得：
$2x - 1 - 6 + 2(3x + 1) = 0$
去括号，得：
$2x - 1 - 6 + 6x + 2 = 0$
移项、合并同类项，得：
$8x = 5$
系数化为1，得：
$x = \frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
数轴的概念；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是数形结合的基础题型，解题核心是理解数轴上到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数，熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴，点A在原点左侧，点B在原点右侧，已知AO=BO意味着A、B两点到原点的距离相等，因此两点对应的数互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可得到x的值。
【解析】
由题意可知，点A、B对应的数互为相反数，两数之和为0，据此列方程：
$\frac{2x-1}{6} -1 + \frac{3x+1}{3} = 0$
去分母（两边同乘6），得：
$2x - 1 - 6 + 2(3x + 1) = 0$
去括号，得：
$2x - 1 - 6 + 6x + 2 = 0$
移项、合并同类项，得：
$8x = 5$
系数化为1，得：
$x = \frac{5}{8}$
【答案】
$\frac{5}{8}$
【知识点】
数轴的概念；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是数形结合的基础题型，解题核心是理解数轴上到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数，熟练掌握一元一次方程的解法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.设$M=2x-2$，$N=3x+3$.若$2M-N=2$，则$x$的值是.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先题目已经给出了M、N关于x的代数式，以及等式2M-N=2，我们只需要将M、N的表达式代入到这个等式中，就可以得到一个关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就能求出x的值。代入时注意给整体代换的表达式加括号，避免符号错误。
【解析】
将$M=2x-2$，$N=3x+3$代入$2M-N=2$，可得：
$2(2x-2)-(3x+3)=2$
第一步，去括号：
$4x - 4 - 3x - 3 = 2$
第二步，合并同类项：
$x - 7 = 2$
第三步，移项计算：
$x = 2 + 7$
$x=9$
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
代数式代入求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是正确将代数式代入等式，计算时要注意去括号时的符号变化，不要出现漏乘、符号错误等低级失误。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先题目已经给出了M、N关于x的代数式，以及等式2M-N=2，我们只需要将M、N的表达式代入到这个等式中，就可以得到一个关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就能求出x的值。代入时注意给整体代换的表达式加括号，避免符号错误。
【解析】
将$M=2x-2$，$N=3x+3$代入$2M-N=2$，可得：
$2(2x-2)-(3x+3)=2$
第一步，去括号：
$4x - 4 - 3x - 3 = 2$
第二步，合并同类项：
$x - 7 = 2$
第三步，移项计算：
$x = 2 + 7$
$x=9$
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
代数式代入求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是正确将代数式代入等式，计算时要注意去括号时的符号变化，不要出现漏乘、符号错误等低级失误。
【难度系数】
0.85
三、解答题
5.解下列方程：
(1)$5x - 1 = 2(x + 1)$；
(2)$\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = 1$。
5.解下列方程：
(1)$5x - 1 = 2(x + 1)$；
(2)$\frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = 1$。
答案
解：(1) 去括号，得
$5x - 1 = 2x + 2$
移项，得
$5x - 2x = 2 + 1$
合并同类项，得
$3x = 3$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号，得
$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项，得
$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$-x = 17$
系数化为1，得
$x = -17$
$5x - 1 = 2x + 2$
移项，得
$5x - 2x = 2 + 1$
合并同类项，得
$3x = 3$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号，得
$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项，得
$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$-x = 17$
系数化为1，得
$x = -17$
解析
【分析】
这两道题都是一元一次方程的求解问题，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时根据方程形式选择对应步骤即可。第(1)题含有括号，先利用去括号法则去掉括号，再按后续步骤求解，注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时注意符号变化；第(2)题含有分母，先找到两个分母的最小公倍数，利用等式的性质两边同乘最小公倍数去掉分母，再按去括号、移项等步骤求解，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，移项时要记得变号。
【解析】
(1) 去括号，得
$5x - 1 = 2x + 2$
移项，得
$5x - 2x = 2 + 1$
合并同类项，得
$3x = 3$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号，得
$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项，得
$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$-x = 17$
系数化为1，得
$x = -17$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-17$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察解一元一次方程的步骤规范与计算细节，解题时需注意去括号的符号规则、去分母不要漏乘常数项、移项要变号，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这两道题都是一元一次方程的求解问题，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解题时根据方程形式选择对应步骤即可。第(1)题含有括号，先利用去括号法则去掉括号，再按后续步骤求解，注意去括号时不要漏乘括号内的项，同时注意符号变化；第(2)题含有分母，先找到两个分母的最小公倍数，利用等式的性质两边同乘最小公倍数去掉分母，再按去括号、移项等步骤求解，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，移项时要记得变号。
【解析】
(1) 去括号，得
$5x - 1 = 2x + 2$
移项，得
$5x - 2x = 2 + 1$
合并同类项，得
$3x = 3$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$3(x - 3) - 2(2x + 1) = 6$
去括号，得
$3x - 9 - 4x - 2 = 6$
移项，得
$3x - 4x = 6 + 9 + 2$
合并同类项，得
$-x = 17$
系数化为1，得
$x = -17$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=-17$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础常规题型，重点考察解一元一次方程的步骤规范与计算细节，解题时需注意去括号的符号规则、去分母不要漏乘常数项、移项要变号，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
6.聪聪在对方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$①去分母时，错误地得到了方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$②，因而求得的解是$x=\frac{5}{2}$。试求$m$的值，并求出方程正确的解。
答案
解：
因为$x=\frac{5}{2}$是方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$的解，
将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$2×(\frac{5}{2}+3)-m×\frac{5}{2}-1=3×(5-\frac{5}{2})$
化简得：
$11-\frac{5}{2}m-1=\frac{15}{2}$
$10-\frac{5}{2}m=\frac{15}{2}$
两边同乘2：
$20-5m=15$
解得：$m=1$。
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$
去分母（两边同乘6）：
$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)$
去括号：
$2x+6-x+1=15-3x$
移项：
$2x-x+3x=15-6-1$
合并同类项：
$4x=8$
系数化为1：
$x=2$
综上，$m$的值为$1$，方程正确的解为$x=2$。
因为$x=\frac{5}{2}$是方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$的解，
将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$2×(\frac{5}{2}+3)-m×\frac{5}{2}-1=3×(5-\frac{5}{2})$
化简得：
$11-\frac{5}{2}m-1=\frac{15}{2}$
$10-\frac{5}{2}m=\frac{15}{2}$
两边同乘2：
$20-5m=15$
解得：$m=1$。
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$
去分母（两边同乘6）：
$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)$
去括号：
$2x+6-x+1=15-3x$
移项：
$2x-x+3x=15-6-1$
合并同类项：
$4x=8$
系数化为1：
$x=2$
综上，$m$的值为$1$，方程正确的解为$x=2$。
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，聪聪去分母得到的错误方程②的解是$x=\frac{5}{2}$，说明$x=\frac{5}{2}$满足错误方程②，因此将$x=\frac{5}{2}$代入方程②即可求出$m$的值；第二步，将求出的$m$代入原方程①，按照解一元一次方程的规范步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求$m$的值：
已知$x=\frac{5}{2}$是方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$的解，将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$2×(\frac{5}{2}+3)-m×\frac{5}{2}-1=3×(5-\frac{5}{2})$
化简计算：
左边：$2×\frac{11}{2}-\frac{5}{2}m-1=11-1-\frac{5}{2}m=10-\frac{5}{2}m$
右边：$3×\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$
因此得方程：$10-\frac{5}{2}m=\frac{15}{2}$
两边同乘2消去分母：$20-5m=15$
解得：$m=1$
2. 求原方程的正确解：
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$
去分母（两边同乘6）：$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)$
去括号：$2x+6-x+1=15-3x$
移项：$2x-x+3x=15-6-1$
合并同类项：$4x=8$
系数化为1：$x=2$
【答案】
$m$的值为$1$，方程正确的解为$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程解的应用及解一元一次方程的规范步骤，解题时需注意去分母时，分子为多项式的要整体加括号，同时不要漏乘不含分母的项，避免出现题目中的去分母错误。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：第一步，聪聪去分母得到的错误方程②的解是$x=\frac{5}{2}$，说明$x=\frac{5}{2}$满足错误方程②，因此将$x=\frac{5}{2}$代入方程②即可求出$m$的值；第二步，将求出的$m$代入原方程①，按照解一元一次方程的规范步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求$m$的值：
已知$x=\frac{5}{2}$是方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)$的解，将$x=\frac{5}{2}$代入该方程：
$2×(\frac{5}{2}+3)-m×\frac{5}{2}-1=3×(5-\frac{5}{2})$
化简计算：
左边：$2×\frac{11}{2}-\frac{5}{2}m-1=11-1-\frac{5}{2}m=10-\frac{5}{2}m$
右边：$3×\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$
因此得方程：$10-\frac{5}{2}m=\frac{15}{2}$
两边同乘2消去分母：$20-5m=15$
解得：$m=1$
2. 求原方程的正确解：
将$m=1$代入原方程$\frac{x+3}{3}-\frac{mx-1}{6}=\frac{5-x}{2}$，得：
$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$
去分母（两边同乘6）：$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)$
去括号：$2x+6-x+1=15-3x$
移项：$2x-x+3x=15-6-1$
合并同类项：$4x=8$
系数化为1：$x=2$
【答案】
$m$的值为$1$，方程正确的解为$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题考查方程解的应用及解一元一次方程的规范步骤，解题时需注意去分母时，分子为多项式的要整体加括号，同时不要漏乘不含分母的项，避免出现题目中的去分母错误。
【难度系数】
0.7
7.一个长方形恰好能分成六个正方形，如图所示，其中最小的正方形面积是1 cm²，求这个长方形的面积. 
（第7题）
（第7题）答案
解：
由最小正方形的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，得最小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
设右下角两个大小相等的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
则其余四个正方形的边长可依次表示为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，$(x+2)\ \mathrm{cm}$，$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+2)+(x+3)=x+x+(x+1)$
去括号，得 $2x+5=3x+1$
移项，得 $5-1=3x-2x$
合并同类项，得 $x=4$
则长方形的长为 $x+x+(x+1)=3×4+1=13\ (\mathrm{cm})$
长方形的宽为 $(x+1)+(x+2)=(4+1)+(4+2)=11\ (\mathrm{cm})$
长方形的面积为 $13×11=143\ (\mathrm{cm}^2)$
答：这个长方形的面积为$143\ \mathrm{cm}^2$。
由最小正方形的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，得最小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
设右下角两个大小相等的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
则其余四个正方形的边长可依次表示为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，$(x+2)\ \mathrm{cm}$，$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+2)+(x+3)=x+x+(x+1)$
去括号，得 $2x+5=3x+1$
移项，得 $5-1=3x-2x$
合并同类项，得 $x=4$
则长方形的长为 $x+x+(x+1)=3×4+1=13\ (\mathrm{cm})$
长方形的宽为 $(x+1)+(x+2)=(4+1)+(4+2)=11\ (\mathrm{cm})$
长方形的面积为 $13×11=143\ (\mathrm{cm}^2)$
答：这个长方形的面积为$143\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先由最小正方形的面积是$1\ \mathrm{cm}^2$，可直接得出它的边长为$1\ \mathrm{cm}$。观察图形可知右下角两个正方形大小相等，我们可以设它们的边长为$x\ \mathrm{cm}$，顺着图形可依次推导其余正方形的边长，均可以用含$x$的式子表示。再根据长方形上下对边长度相等的性质，即可列出一元一次方程，求解出$x$后分别计算长方形的长和宽，最后代入长方形面积公式就能得到结果。
【解析】
解：由最小正方形的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，得最小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
设右下角两个大小相等的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
则其余四个正方形的边长可依次表示为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，$(x+2)\ \mathrm{cm}$，$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+2)+(x+3)=x+x+(x+1)$
去括号，得 $2x+5=3x+1$
移项，得 $5-1=3x-2x$
合并同类项，得 $x=4$
则长方形的长为 $x+x+(x+1)=3×4+1=13\ (\mathrm{cm})$
长方形的宽为 $(x+1)+(x+2)=(4+1)+(4+2)=11\ (\mathrm{cm})$
长方形的面积为 $13×11=143\ (\mathrm{cm}^2)$
答：这个长方形的面积为$143\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boxed{143\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元一次方程应用；正方形面积计算；长方形对边相等
【点评】
本题是数形结合的典型应用题，解题核心是结合图形梳理各正方形边长的递推关系，再利用长方形的性质建立方程，可有效考查学生的读图能力和寻找等量关系列方程的能力。
【难度系数】
0.6
首先由最小正方形的面积是$1\ \mathrm{cm}^2$，可直接得出它的边长为$1\ \mathrm{cm}$。观察图形可知右下角两个正方形大小相等，我们可以设它们的边长为$x\ \mathrm{cm}$，顺着图形可依次推导其余正方形的边长，均可以用含$x$的式子表示。再根据长方形上下对边长度相等的性质，即可列出一元一次方程，求解出$x$后分别计算长方形的长和宽，最后代入长方形面积公式就能得到结果。
【解析】
解：由最小正方形的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，得最小正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
设右下角两个大小相等的正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
则其余四个正方形的边长可依次表示为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，$(x+2)\ \mathrm{cm}$，$(x+3)\ \mathrm{cm}$。
根据长方形上下对边长度相等，列方程得：
$(x+2)+(x+3)=x+x+(x+1)$
去括号，得 $2x+5=3x+1$
移项，得 $5-1=3x-2x$
合并同类项，得 $x=4$
则长方形的长为 $x+x+(x+1)=3×4+1=13\ (\mathrm{cm})$
长方形的宽为 $(x+1)+(x+2)=(4+1)+(4+2)=11\ (\mathrm{cm})$
长方形的面积为 $13×11=143\ (\mathrm{cm}^2)$
答：这个长方形的面积为$143\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boxed{143\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元一次方程应用；正方形面积计算；长方形对边相等
【点评】
本题是数形结合的典型应用题，解题核心是结合图形梳理各正方形边长的递推关系，再利用长方形的性质建立方程，可有效考查学生的读图能力和寻找等量关系列方程的能力。
【难度系数】
0.6
