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1.若关于x的一元一次方程$m(x+2)=8-2n$的解是$x=2$，则$2m+n+3$的值是。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们首先把已知解x=2代入原方程，得到关于m、n的等式，再对等式变形得到2m+n的整体值，最后整体代入所求代数式计算即可，不需要单独求出m和n的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
因为x=2是一元一次方程$m(x+2)=8-2n$的解，将x=2代入方程，左右两边相等：
$m×(2+2)=8-2n$
整理得：$4m=8-2n$
移项得：$4m+2n=8$
等式两边同时除以2，可得：$2m+n=4$
将$2m+n=4$代入$2m+n+3$计算：
$2m+n+3=4+3=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.代数式求值
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，解题时无需单独求解两个参数的具体值，运用整体代入的思想可以快速得出结果，整体代入是代数计算中常用的基础技巧。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们首先把已知解x=2代入原方程，得到关于m、n的等式，再对等式变形得到2m+n的整体值，最后整体代入所求代数式计算即可，不需要单独求出m和n的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
因为x=2是一元一次方程$m(x+2)=8-2n$的解，将x=2代入方程，左右两边相等：
$m×(2+2)=8-2n$
整理得：$4m=8-2n$
移项得：$4m+2n=8$
等式两边同时除以2，可得：$2m+n=4$
将$2m+n=4$代入$2m+n+3$计算：
$2m+n+3=4+3=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1.一元一次方程的解的定义
2.代数式求值
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，解题时无需单独求解两个参数的具体值，运用整体代入的思想可以快速得出结果，整体代入是代数计算中常用的基础技巧。
【难度系数】
0.8
2.若$x=-1$是关于$x$的方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$的解，则$k$的值为。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=-1是题给方程的解，我们只需把x=-1代入原方程，原方程就会转化为仅含未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能得到k的值。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$的解
∴将$x=-1$代入方程，可得：
$2×(-1) - k×(-1) + 1 = 5×(-1) - 2$
分别计算左右两边：
左边：$-2 + k + 1 = k - 1$
右边：$-5 - 2 = -7$
即得到关于k的方程：$k - 1 = -7$
移项计算得：$k = -7 + 1 = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
方程的解的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握方程解的含义，将求参数的问题转化为常规一元一次方程求解，计算时注意正负号的运算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=-1是题给方程的解，我们只需把x=-1代入原方程，原方程就会转化为仅含未知数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能得到k的值。
【解析】
解：
∵x=-1是方程$2x - kx + 1 = 5x - 2$的解
∴将$x=-1$代入方程，可得：
$2×(-1) - k×(-1) + 1 = 5×(-1) - 2$
分别计算左右两边：
左边：$-2 + k + 1 = k - 1$
右边：$-5 - 2 = -7$
即得到关于k的方程：$k - 1 = -7$
移项计算得：$k = -7 + 1 = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
方程的解的定义、解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握方程解的含义，将求参数的问题转化为常规一元一次方程求解，计算时注意正负号的运算即可。
【难度系数】
0.8
3.若$(a-1)x^{|a|}+2026=0$是关于$x$的一元一次方程，则$a=$.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
要解这道题，首先需紧扣一元一次方程的定义要求：一是方程只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不符合一元一次方程的要求）。我们先根据“未知数次数为1”列出关于a的第一个等式，再根据“系数不为0”排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(a-1)x^{|a|}+2026=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 一次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
结合两个条件，可得$a=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型基础题，解题时需注意“未知数次数为1”和“一次项系数不为0”两个条件缺一不可，避免因遗漏系数限制条件误填1。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需紧扣一元一次方程的定义要求：一是方程只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不符合一元一次方程的要求）。我们先根据“未知数次数为1”列出关于a的第一个等式，再根据“系数不为0”排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(a-1)x^{|a|}+2026=0$是关于$x$的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 一次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
结合两个条件，可得$a=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型基础题，解题时需注意“未知数次数为1”和“一次项系数不为0”两个条件缺一不可，避免因遗漏系数限制条件误填1。
【难度系数】
0.7
4. 一列方程及其解如下排列：$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$的解是$x=2$；$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$的解是$x=3$；$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$的解是$x=4$；…。
根据观察得到的规律，写出解是$x=2026$的方程：______。
根据观察得到的规律，写出解是$x=2026$的方程：______。
答案
解：
观察已知方程可得规律：
若方程的解为$x=k$，则第一个分数的分母为$2k$，第二个分数的分子中$x$减去的数为$k-1$。
当$x=2026$时，$2k=2×2026=4052$，$k-1=2026-1=2025$。
因此所求方程为：$\frac{x}{4052}+\frac{x-2025}{2}=1$。
观察已知方程可得规律：
若方程的解为$x=k$，则第一个分数的分母为$2k$，第二个分数的分子中$x$减去的数为$k-1$。
当$x=2026$时，$2k=2×2026=4052$，$k-1=2026-1=2025$。
因此所求方程为：$\frac{x}{4052}+\frac{x-2025}{2}=1$。
解析
【分析】
我们先将已知的方程和对应的解一一对应，观察方程各部分的数值与解的关系：首先看第一个分数的分母，解为x=2时分母是4、x=3时分母是6、x=4时分母是8，可发现分母是解的2倍；再看第二个分数分子中x减去的数，x=2时减1、x=3时减2、x=4时减3，可发现这个数比解小1，且所有方程右边都为1。找到规律后，把x=2026代入对应位置就能得到所求方程。
【解析】
1. 整理已知的方程与解的对应关系：
解为$x=2$时，方程为$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$
解为$x=3$时，方程为$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$
解为$x=4$时，方程为$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$
2. 归纳通用规律：若方程的解为$x=k$，则对应的方程为$\frac{x}{2k}+\frac{x-(k-1)}{2}=1$
3. 代入$k=2026$计算：
第一个分数的分母为$2×2026=4052$，第二个分数分子中减去的数为$2026-1=2025$，因此可得所求方程。
【答案】
$\frac{x}{4052}+\frac{x-2025}{2}=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，核心是通过观察已知案例中方程各部分与解的对应关系总结通用规律，能有效锻炼学生的归纳推理能力，掌握对应观察法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们先将已知的方程和对应的解一一对应，观察方程各部分的数值与解的关系：首先看第一个分数的分母，解为x=2时分母是4、x=3时分母是6、x=4时分母是8，可发现分母是解的2倍；再看第二个分数分子中x减去的数，x=2时减1、x=3时减2、x=4时减3，可发现这个数比解小1，且所有方程右边都为1。找到规律后，把x=2026代入对应位置就能得到所求方程。
【解析】
1. 整理已知的方程与解的对应关系：
解为$x=2$时，方程为$\frac{x}{2×2}+\frac{x-(2-1)}{2}=1$
解为$x=3$时，方程为$\frac{x}{2×3}+\frac{x-(3-1)}{2}=1$
解为$x=4$时，方程为$\frac{x}{2×4}+\frac{x-(4-1)}{2}=1$
2. 归纳通用规律：若方程的解为$x=k$，则对应的方程为$\frac{x}{2k}+\frac{x-(k-1)}{2}=1$
3. 代入$k=2026$计算：
第一个分数的分母为$2×2026=4052$，第二个分数分子中减去的数为$2026-1=2025$，因此可得所求方程。
【答案】
$\frac{x}{4052}+\frac{x-2025}{2}=1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 数字规律探究
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，核心是通过观察已知案例中方程各部分与解的对应关系总结通用规律，能有效锻炼学生的归纳推理能力，掌握对应观察法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 形如$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式，
它的运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad - bc$. 例如$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5 × 2 - 3 × 1 = 7$.
若$\begin{vmatrix} x+1 & 3 \\ 2x-6 & 2 \end{vmatrix} = 10$, 求$x$的值.
它的运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad - bc$. 例如$\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 5 × 2 - 3 × 1 = 7$.
若$\begin{vmatrix} x+1 & 3 \\ 2x-6 & 2 \end{vmatrix} = 10$, 求$x$的值.
答案
解：根据二阶行列式的运算法则，可得
$2(x+1) - 3(2x-6) = 10$
去括号，得
$2x + 2 - 6x + 18 = 10$
合并同类项，得
$-4x + 20 = 10$
移项，得
$-4x = 10 - 20$
即
$-4x = -10$
系数化为1，得
$x = \frac{5}{2}$
$2(x+1) - 3(2x-6) = 10$
去括号，得
$2x + 2 - 6x + 18 = 10$
合并同类项，得
$-4x + 20 = 10$
移项，得
$-4x = 10 - 20$
即
$-4x = -10$
系数化为1，得
$x = \frac{5}{2}$
解析
【分析】
这是新定义运算结合一元一次方程求解的题目，解题思路分为两步：第一步先准确理解二阶行列式的运算法则，即二阶行列式的值等于左上与右下元素的乘积减去右上与左下元素的乘积，将题目中的行列式元素对应代入法则，即可得到关于x的一元一次方程；第二步按照解一元一次方程的标准步骤（去括号、合并同类项、移项、系数化为1）求解即可，代入时要注意元素对应位置，去括号时注意符号变化。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则，可得
$2(x+1) - 3(2x-6) = 10$
去括号，得
$2x + 2 - 6x + 18 = 10$
合并同类项，得
$-4x + 20 = 10$
移项，得
$-4x = 10 - 20$
即
$-4x = -10$
系数化为1，得
$x = \frac{5}{2}$
【答案】
$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题以二阶行列式为载体，考查对新运算规则的理解应用能力，同时巩固一元一次方程的解法，解题核心是准确代入运算规则，尤其要注意去括号时的符号问题。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算结合一元一次方程求解的题目，解题思路分为两步：第一步先准确理解二阶行列式的运算法则，即二阶行列式的值等于左上与右下元素的乘积减去右上与左下元素的乘积，将题目中的行列式元素对应代入法则，即可得到关于x的一元一次方程；第二步按照解一元一次方程的标准步骤（去括号、合并同类项、移项、系数化为1）求解即可，代入时要注意元素对应位置，去括号时注意符号变化。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则，可得
$2(x+1) - 3(2x-6) = 10$
去括号，得
$2x + 2 - 6x + 18 = 10$
合并同类项，得
$-4x + 20 = 10$
移项，得
$-4x = 10 - 20$
即
$-4x = -10$
系数化为1，得
$x = \frac{5}{2}$
【答案】
$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题以二阶行列式为载体，考查对新运算规则的理解应用能力，同时巩固一元一次方程的解法，解题核心是准确代入运算规则，尤其要注意去括号时的符号问题。
【难度系数】
0.7
6. 提升题“运-20”是我国自主研发的大型军用运输机.在执行一次从A地到B地的物资运送任务中，“运-20”在顺风飞行时的速度比无风时快20%，而逆风飞行时的速度比无风时慢20%.已知“运-20”在无风时的速度是800 km/h，顺风飞行比逆风飞行少用1 h，设“运-20”顺风飞行需要t h.请解答以下问题：
(1)顺风飞行的速度是；
逆风飞行的速度是.
(2)求“运-20”从A地到B地的航程.
(1)顺风飞行的速度是；
逆风飞行的速度是.
(2)求“运-20”从A地到B地的航程.
答案
解：
(1) 顺风飞行的速度是$800×(1+20\%)=960\ \mathrm{km/h}$；
逆风飞行的速度是$800×(1-20\%)=640\ \mathrm{km/h}$。
(2) 由题意得，逆风飞行的时间为$(t+1)\ \mathrm{h}$，根据A、B两地航程相等列方程：
$960t = 640(t+1)$
去括号，得：
$960t = 640t + 640$
移项，得：
$960t - 640t = 640$
合并同类项，得：
$320t = 640$
系数化为1，得：
$t=2$
A地到B地的航程为$960× 2 = 1920\ \mathrm{km}$。
答：“运-20”从A地到B地的航程为1920 km。
(1) 顺风飞行的速度是$800×(1+20\%)=960\ \mathrm{km/h}$；
逆风飞行的速度是$800×(1-20\%)=640\ \mathrm{km/h}$。
(2) 由题意得，逆风飞行的时间为$(t+1)\ \mathrm{h}$，根据A、B两地航程相等列方程：
$960t = 640(t+1)$
去括号，得：
$960t = 640t + 640$
移项，得：
$960t - 640t = 640$
合并同类项，得：
$320t = 640$
系数化为1，得：
$t=2$
A地到B地的航程为$960× 2 = 1920\ \mathrm{km}$。
答：“运-20”从A地到B地的航程为1920 km。
解析
【分析】
(1) 已知飞机无风时的速度为800km/h，顺风速度比无风时快20%，即顺风速度是无风速度的(1+20%)；逆风速度比无风时慢20%，即逆风速度是无风速度的(1-20%)，直接代入无风速度计算即可得到顺风、逆风的飞行速度。
(2) A、B两地的航程固定，即顺风飞行的路程=逆风飞行的路程。已知顺风飞行时间为t h，顺风比逆风少用1h，因此逆风飞行时间为(t+1)h，结合第(1)问求出的两个速度，根据“路程=速度×时间”分别表示顺风、逆风的路程，列出一元一次方程求解t，再代入顺风路程的计算公式即可求出A、B两地的航程。
【解析】
(1) 顺风飞行速度：$800×(1+20\%)=960\ \mathrm{km/h}$
逆风飞行速度：$800×(1-20\%)=640\ \mathrm{km/h}$
(2) 由题意可知，逆风飞行的时间为$(t+1)\ \mathrm{h}$，根据A、B两地航程相等列方程：
$960t = 640(t+1)$
去括号，得：
$960t = 640t + 640$
移项，得：
$960t - 640t = 640$
合并同类项，得：
$320t = 640$
系数化为1，得：
$t=2$
A地到B地的航程为$960× 2 = 1920\ \mathrm{km}$
【答案】
(1) $960\ \mathrm{km/h}$；$640\ \mathrm{km/h}$
(2) $1920\ \mathrm{km}$
【知识点】
百分数计算，一元一次方程应用，行程问题公式
【点评】
本题结合国产运输机的实际应用场景出题，既考查了基础的百分数运算能力，又考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，核心是抓住“往返路程相等”这一关键条件，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知飞机无风时的速度为800km/h，顺风速度比无风时快20%，即顺风速度是无风速度的(1+20%)；逆风速度比无风时慢20%，即逆风速度是无风速度的(1-20%)，直接代入无风速度计算即可得到顺风、逆风的飞行速度。
(2) A、B两地的航程固定，即顺风飞行的路程=逆风飞行的路程。已知顺风飞行时间为t h，顺风比逆风少用1h，因此逆风飞行时间为(t+1)h，结合第(1)问求出的两个速度，根据“路程=速度×时间”分别表示顺风、逆风的路程，列出一元一次方程求解t，再代入顺风路程的计算公式即可求出A、B两地的航程。
【解析】
(1) 顺风飞行速度：$800×(1+20\%)=960\ \mathrm{km/h}$
逆风飞行速度：$800×(1-20\%)=640\ \mathrm{km/h}$
(2) 由题意可知，逆风飞行的时间为$(t+1)\ \mathrm{h}$，根据A、B两地航程相等列方程：
$960t = 640(t+1)$
去括号，得：
$960t = 640t + 640$
移项，得：
$960t - 640t = 640$
合并同类项，得：
$320t = 640$
系数化为1，得：
$t=2$
A地到B地的航程为$960× 2 = 1920\ \mathrm{km}$
【答案】
(1) $960\ \mathrm{km/h}$；$640\ \mathrm{km/h}$
(2) $1920\ \mathrm{km}$
【知识点】
百分数计算，一元一次方程应用，行程问题公式
【点评】
本题结合国产运输机的实际应用场景出题，既考查了基础的百分数运算能力，又考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，核心是抓住“往返路程相等”这一关键条件，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
