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8. 提升题 随着科技的发展，人工智能已经深度赋能多个行业.某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高30%.已知甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元.分别求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价.
答案
解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为$ x $元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为$(x+100)$元。
根据题意列方程：
$(1+20\%)(x+100) - (1+30\%)x = 70$
去括号，得：
$1.2x + 120 - 1.3x = 70$
移项，得：
$1.2x - 1.3x = 70 - 120$
合并同类项，得：
$-0.1x = -50$
系数化为1，得：
$x = 500$
则甲型号智能扫地机器人每台的进价为$ x+100 = 500+100 = 600 $元。
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
根据题意列方程：
$(1+20\%)(x+100) - (1+30\%)x = 70$
去括号，得：
$1.2x + 120 - 1.3x = 70$
移项，得：
$1.2x - 1.3x = 70 - 120$
合并同类项，得：
$-0.1x = -50$
系数化为1，得：
$x = 500$
则甲型号智能扫地机器人每台的进价为$ x+100 = 500+100 = 600 $元。
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的销售类应用题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①甲型号进价 = 乙型号进价 + 100元；②甲型号实际售价 - 乙型号实际售价 = 70元。我们可以先设乙的进价为x，用含x的式子表示甲的进价，再根据“售价=进价×(1+利润率)”的公式结合第二个等量关系列方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为$ x $元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为$(x+100)$元。
根据题意列方程：
$(1+20\%)(x+100) - (1+30\%)x = 70$
去括号，得：
$1.2x + 120 - 1.3x = 70$
移项，得：
$1.2x - 1.3x = 70 - 120$
合并同类项，得：
$-0.1x = -50$
系数化为1，得：
$x = 500$
则甲型号智能扫地机器人每台的进价为 $x+100 = 500+100 = 600$ 元。
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
【答案】
甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润率计算
【点评】
本题是典型的方程建模类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，掌握售价、进价、利润率三者的换算公式，按照解方程的步骤规范计算即可，能有效锻炼学生的应用题审题能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次方程解决的销售类应用题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①甲型号进价 = 乙型号进价 + 100元；②甲型号实际售价 - 乙型号实际售价 = 70元。我们可以先设乙的进价为x，用含x的式子表示甲的进价，再根据“售价=进价×(1+利润率)”的公式结合第二个等量关系列方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为$ x $元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为$(x+100)$元。
根据题意列方程：
$(1+20\%)(x+100) - (1+30\%)x = 70$
去括号，得：
$1.2x + 120 - 1.3x = 70$
移项，得：
$1.2x - 1.3x = 70 - 120$
合并同类项，得：
$-0.1x = -50$
系数化为1，得：
$x = 500$
则甲型号智能扫地机器人每台的进价为 $x+100 = 500+100 = 600$ 元。
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
【答案】
甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元。
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润率计算
【点评】
本题是典型的方程建模类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，掌握售价、进价、利润率三者的换算公式，按照解方程的步骤规范计算即可，能有效锻炼学生的应用题审题能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 列一元一次方程解应用题.
在国庆放假期间,小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩,下面是购买门票时小明和爸爸的对话.请根据所给信息,解答下列问题.
爸爸:“成人票是每张40元,学生票五折优惠,咱们共18人,共出600元.”
小明:“爸爸,等一下,让我再算一算,换种方式购票是否可以更省钱.”
(1)他们中一共有多少成年人?多少学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?并说明理由.
在国庆放假期间,小明、小刚等同学跟随家长一起到公园游玩,下面是购买门票时小明和爸爸的对话.请根据所给信息,解答下列问题.
爸爸:“成人票是每张40元,学生票五折优惠,咱们共18人,共出600元.”
小明:“爸爸,等一下,让我再算一算,换种方式购票是否可以更省钱.”
(1)他们中一共有多少成年人?多少学生?
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?并说明理由.
答案
解：
(1) 设他们中一共有成年人x人，则学生人数为$(18 - x)$人。
根据题意列方程：
$40x + 40×50\%×(18 - x) = 600$
去括号得：$40x + 360 - 20x = 600$
移项、合并同类项得：$20x = 240$
系数化为1得：$x = 12$
学生人数为：$18 - 12 = 6$
(2) 若按团体票规则购买20张门票，总费用为：
$40×60\%×20 = 480(\mathrm{元})$
因为$480 ＜ 600$，所以购买20张团体票的方式更省钱。
答：(1) 他们中一共有12名成年人，6名学生；(2) 购买20张团体票更省钱，该购票方式总费用为480元，低于原购票方式的600元。
(1) 设他们中一共有成年人x人，则学生人数为$(18 - x)$人。
根据题意列方程：
$40x + 40×50\%×(18 - x) = 600$
去括号得：$40x + 360 - 20x = 600$
移项、合并同类项得：$20x = 240$
系数化为1得：$x = 12$
学生人数为：$18 - 12 = 6$
(2) 若按团体票规则购买20张门票，总费用为：
$40×60\%×20 = 480(\mathrm{元})$
因为$480 ＜ 600$，所以购买20张团体票的方式更省钱。
答：(1) 他们中一共有12名成年人，6名学生；(2) 购买20张团体票更省钱，该购票方式总费用为480元，低于原购票方式的600元。
解析
【分析】
(1) 已知总人数共18人，可设成年人有x人，则学生人数为(18-x)人，根据“成人总票钱+学生总票钱=总花费600元”的等量关系列一元一次方程，求解后即可分别得到成年人和学生的人数。
(2) 要判断哪种购票方式更省钱，除了原有的按实际人数购票的方式，还可结合团体票规则，购买20张团体票（满足20人及以上的购票要求），计算出团体票总费用后和原花费600元比较，费用更低的方案更省钱。
【解析】
(1) 设他们中一共有成年人x人，则学生人数为$(18 - x)$人。
根据题意列方程：
$40x + 40×50\%×(18 - x) = 600$
去括号得：$40x + 360 - 20x = 600$
移项、合并同类项得：$20x = 240$
系数化为1得：$x = 12$
学生人数为：$18 - 12 = 6$（人）
(2) 按团体票规则购买20张门票，总费用为：
$40×60\%×20 = 480(\mathrm{元})$
因为$480 ＜ 600$，所以购买20张团体票的方式更省钱。
【答案】
(1) 一共有12名成年人，6名学生；
(2) 购买20张团体票的方式更省钱，该方式总费用为480元，低于原购票方式的600元。
【知识点】
一元一次方程应用，折扣计算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中购票的实际场景，既考查了一元一次方程的列写与求解能力，也需要学生灵活理解购票规则，跳出“按实际人数购票”的思维定式，找到更优惠的购票方案，有利于提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知总人数共18人，可设成年人有x人，则学生人数为(18-x)人，根据“成人总票钱+学生总票钱=总花费600元”的等量关系列一元一次方程，求解后即可分别得到成年人和学生的人数。
(2) 要判断哪种购票方式更省钱，除了原有的按实际人数购票的方式，还可结合团体票规则，购买20张团体票（满足20人及以上的购票要求），计算出团体票总费用后和原花费600元比较，费用更低的方案更省钱。
【解析】
(1) 设他们中一共有成年人x人，则学生人数为$(18 - x)$人。
根据题意列方程：
$40x + 40×50\%×(18 - x) = 600$
去括号得：$40x + 360 - 20x = 600$
移项、合并同类项得：$20x = 240$
系数化为1得：$x = 12$
学生人数为：$18 - 12 = 6$（人）
(2) 按团体票规则购买20张门票，总费用为：
$40×60\%×20 = 480(\mathrm{元})$
因为$480 ＜ 600$，所以购买20张团体票的方式更省钱。
【答案】
(1) 一共有12名成年人，6名学生；
(2) 购买20张团体票的方式更省钱，该方式总费用为480元，低于原购票方式的600元。
【知识点】
一元一次方程应用，折扣计算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中购票的实际场景，既考查了一元一次方程的列写与求解能力，也需要学生灵活理解购票规则，跳出“按实际人数购票”的思维定式，找到更优惠的购票方案，有利于提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
