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10. 已知宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足$PB ⊥ PC$的点P的个数为（
A.3
B.2
C.1
D.0
D
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
D
解析
【分析】
要求满足$PB ⊥ PC$的点P的个数，可先结合黄金矩形的定义设出边长参数，再利用垂直条件推导三角形相似，得到关于点P位置的一元二次方程，最后通过判别式判断方程是否有符合范围的实根，即可得出点P的个数。
【解析】
设黄金矩形的宽$AB=a$，
∵四边形ABCD是黄金矩形且$AB＜BC$，
∴宽与长的比$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$BC=\frac{2a}{\sqrt{5}-1}=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}$（分母有理化）。
设$AP=m$（$0≤ m≤ BC$），则$PD=BC - m$。
∵$PB⊥PC$，
∴$∠BPC=90°$，
∴$∠APB + ∠DPC = 90°$。
又
∵矩形ABCD中$∠A=∠D=90°$，
∴$∠APB + ∠ABP = 90°$，
∴$∠ABP=∠DPC$，
∴$△ ABP ∽ △ DPC$（AA判定）。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{PD}=\frac{AP}{DC}$，
又
∵$AB=DC=a$，代入得$\frac{a}{BC - m}=\frac{m}{a}$，
整理得一元二次方程：$m^2 - BC· m + a^2=0$。
计算判别式：
$\Delta=BC^2 - 4a^2$，
将$BC=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}$代入得：
$BC^2=\frac{(\sqrt{5}+1)^2a^2}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}a^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a^2$，
∴$\Delta=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a^2 - 4a^2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}a^2$。
∵$\sqrt{5}\approx2.236＜5$，
∴$\Delta＜0$，
∴该一元二次方程无实根，即不存在满足条件的点P。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将黄金矩形的性质、相似三角形和一元二次方程知识结合考查，解题关键是将垂直关系转化为三角形相似，进一步建立方程通过判别式判断解的存在性，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
要求满足$PB ⊥ PC$的点P的个数，可先结合黄金矩形的定义设出边长参数，再利用垂直条件推导三角形相似，得到关于点P位置的一元二次方程，最后通过判别式判断方程是否有符合范围的实根，即可得出点P的个数。
【解析】
设黄金矩形的宽$AB=a$，
∵四边形ABCD是黄金矩形且$AB＜BC$，
∴宽与长的比$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$BC=\frac{2a}{\sqrt{5}-1}=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}$（分母有理化）。
设$AP=m$（$0≤ m≤ BC$），则$PD=BC - m$。
∵$PB⊥PC$，
∴$∠BPC=90°$，
∴$∠APB + ∠DPC = 90°$。
又
∵矩形ABCD中$∠A=∠D=90°$，
∴$∠APB + ∠ABP = 90°$，
∴$∠ABP=∠DPC$，
∴$△ ABP ∽ △ DPC$（AA判定）。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{PD}=\frac{AP}{DC}$，
又
∵$AB=DC=a$，代入得$\frac{a}{BC - m}=\frac{m}{a}$，
整理得一元二次方程：$m^2 - BC· m + a^2=0$。
计算判别式：
$\Delta=BC^2 - 4a^2$，
将$BC=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}$代入得：
$BC^2=\frac{(\sqrt{5}+1)^2a^2}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}a^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a^2$，
∴$\Delta=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a^2 - 4a^2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}a^2$。
∵$\sqrt{5}\approx2.236＜5$，
∴$\Delta＜0$，
∴该一元二次方程无实根，即不存在满足条件的点P。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将黄金矩形的性质、相似三角形和一元二次方程知识结合考查，解题关键是将垂直关系转化为三角形相似，进一步建立方程通过判别式判断解的存在性，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
11. 如图，C,D是线段AB的两个黄金分割点。
(1)若AB=1，则线段CD的长为
(2)若CD=1，则线段AB的长为
(1)若AB=1，则线段CD的长为
$\sqrt{5}-2$
。(2)若CD=1，则线段AB的长为
$2+\sqrt{5}$
。答案
(1)$\sqrt{5}-2$ (2)$2+\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：线段上的点将线段分为两部分，较长部分与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知C、D是AB的两个黄金分割点，可得两条较长线段AD、BC的长度均为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB；再结合线段和差关系：$AD+BC = AB + CD$，可推导出CD与AB的数量关系，最后分别代入已知条件计算即可。
【解析】
∵C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴较长线段$AD=BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
由线段和差关系可得：
$AD+BC=(AC+CD)+(CD+DB)=AB+CD$，
因此$CD=AD+BC-AB=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB - AB=(\sqrt{5}-2)AB$。
(1)当$AB=1$时，代入得$CD=(\sqrt{5}-2)×1=\sqrt{5}-2$；
(2)当$CD=1$时，代入公式得$1=(\sqrt{5}-2)AB$，
分母有理化得$AB=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=2+\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}-2$；(2)$2+\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算，二次根式化简
【点评】
本题核心是利用黄金分割的性质找到CD与AB的数量关系，解题时需注意黄金比对应的是较长线段与原线段的比值，避免混淆线段长度关系，二次根式计算时要正确进行分母有理化，保证结果规范。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确黄金分割的定义：线段上的点将线段分为两部分，较长部分与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。已知C、D是AB的两个黄金分割点，可得两条较长线段AD、BC的长度均为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB；再结合线段和差关系：$AD+BC = AB + CD$，可推导出CD与AB的数量关系，最后分别代入已知条件计算即可。
【解析】
∵C、D是线段AB的两个黄金分割点，
∴较长线段$AD=BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
由线段和差关系可得：
$AD+BC=(AC+CD)+(CD+DB)=AB+CD$，
因此$CD=AD+BC-AB=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB - AB=(\sqrt{5}-2)AB$。
(1)当$AB=1$时，代入得$CD=(\sqrt{5}-2)×1=\sqrt{5}-2$；
(2)当$CD=1$时，代入公式得$1=(\sqrt{5}-2)AB$，
分母有理化得$AB=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=2+\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt{5}-2$；(2)$2+\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，线段的和差计算，二次根式化简
【点评】
本题核心是利用黄金分割的性质找到CD与AB的数量关系，解题时需注意黄金比对应的是较长线段与原线段的比值，避免混淆线段长度关系，二次根式计算时要正确进行分母有理化，保证结果规范。
【难度系数】
0.6
12. 已知点 P 是线段 AB 上一点，若$\frac{PA}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（或$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则称点 P 是线段 AB 的黄金分割点。显然，线段 AB 有两个黄金分割点（如
），后人把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数称为黄金分割数。如图
，在$△ ABC$中，AB=AC=3，BC=4，若 D，E 是边 BC 的两个黄金分割点，则$△ ADE$的面积为
），后人把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数称为黄金分割数。如图，在$△ ABC$中，AB=AC=3，BC=4，若 D，E 是边 BC 的两个黄金分割点，则$△ ADE$的面积为$10-4\sqrt{5}$
。答案
$10-4\sqrt{5}$
解析
【分析】
要计算△ADE的面积，需先确定其底边DE的长度和BC边上的高。首先，△ABC是等腰三角形，可通过等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高，用勾股定理求出高的长度；再根据黄金分割点的定义，求出两个黄金分割点到BC两端点的长线段长度，进而推导得到DE的长度；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC=3，AF⊥BC，BC=4，
∴F是BC中点，BF=$\frac{1}{2}$BC=2。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵D、E是BC的两个黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴较长线段的长度为$BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，即$BD=CE=2\sqrt{5}-2$。
则$DE=BD+CE-BC=(2\sqrt{5}-2)+(2\sqrt{5}-2)-4=4\sqrt{5}-8$。
∴△ADE的面积为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
【答案】
$10-4\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将黄金分割的定义与等腰三角形、勾股定理结合考查，解题的核心是准确理解黄金分割点的含义，正确求出两个黄金分割点之间的距离，再结合面积公式完成计算。
【难度系数】
0.65
要计算△ADE的面积，需先确定其底边DE的长度和BC边上的高。首先，△ABC是等腰三角形，可通过等腰三角形三线合一的性质，作BC边上的高，用勾股定理求出高的长度；再根据黄金分割点的定义，求出两个黄金分割点到BC两端点的长线段长度，进而推导得到DE的长度；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F。
∵AB=AC=3，AF⊥BC，BC=4，
∴F是BC中点，BF=$\frac{1}{2}$BC=2。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵D、E是BC的两个黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴较长线段的长度为$BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，即$BD=CE=2\sqrt{5}-2$。
则$DE=BD+CE-BC=(2\sqrt{5}-2)+(2\sqrt{5}-2)-4=4\sqrt{5}-8$。
∴△ADE的面积为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
【答案】
$10-4\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将黄金分割的定义与等腰三角形、勾股定理结合考查，解题的核心是准确理解黄金分割点的含义，正确求出两个黄金分割点之间的距离，再结合面积公式完成计算。
【难度系数】
0.65
13. 如图，已知线段$AB=2$，$P_1$是$AB$的黄金分割点$(AP_1＞BP_1)$，$O$是$AB$的中点，$P_2$是$P_1$关于点$O$的对称点。求证：$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段。
答案
证明:因为$P_1$是AB的黄金分割点$(AP_1＞BP_1)$,
所以$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$,
所以$P_1B=AB-AP_1=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
因为O是AB的中点,所以OB=1,
所以$OP_1=OB-P_1B=1-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$。
因为$P_2$是$P_1$关于点O的对称点,
所以$P_1P_2=2OP_1=2(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}-4$,
所以$P_2B=P_1P_2+P_1B=2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
因为$P_1B^2=(3-\sqrt{5})^2=14-6\sqrt{5}$,
$P_2B· P_1P_2=(\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}-4)=14-6\sqrt{5}$,
所以$P_1B^2=P_2B· P_1P_2$,
所以$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段。
所以$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$,
所以$P_1B=AB-AP_1=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
因为O是AB的中点,所以OB=1,
所以$OP_1=OB-P_1B=1-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$。
因为$P_2$是$P_1$关于点O的对称点,
所以$P_1P_2=2OP_1=2(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}-4$,
所以$P_2B=P_1P_2+P_1B=2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
因为$P_1B^2=(3-\sqrt{5})^2=14-6\sqrt{5}$,
$P_2B· P_1P_2=(\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}-4)=14-6\sqrt{5}$,
所以$P_1B^2=P_2B· P_1P_2$,
所以$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段。
解析
【分析】
要证明$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段，根据比例中项的定义，只需证明$P_1B^2 = P_2B·P_1P_2$即可。首先利用黄金分割的性质求出$AP_1$、$P_1B$的长度，再结合AB中点的性质求出$OP_1$的长度，根据中心对称的性质得到$P_1P_2$的长度，接着求出$P_2B$的长度，最后分别计算$P_1B^2$和$P_2B·P_1P_2$的值，验证二者相等即可得证。
【解析】
证明：
∵$P_1$是$AB$的黄金分割点$(AP_1＞BP_1)$，
∴$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
∴$P_1B=AB-AP_1=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
∵$O$是$AB$的中点，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=1$，
∴$OP_1=OB-P_1B=1-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$。
∵$P_2$是$P_1$关于点$O$的对称点，
∴$P_1P_2=2OP_1=2(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}-4$，
∴$P_2B=P_1P_2+P_1B=2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
计算得：
$P_1B^2=(3-\sqrt{5})^2=14-6\sqrt{5}$，
$P_2B·P_1P_2=(\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}-4)=14-6\sqrt{5}$，
∴$P_1B^2=P_2B·P_1P_2$。
【答案】
$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段。
【知识点】
黄金分割，比例中项，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查了线段相关的多个基础知识点，解题核心是将比例中项的证明转化为线段长度的等量验证，只要熟练掌握相关概念和性质，按步骤计算即可得出结论。
【难度系数】
0.6
要证明$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段，根据比例中项的定义，只需证明$P_1B^2 = P_2B·P_1P_2$即可。首先利用黄金分割的性质求出$AP_1$、$P_1B$的长度，再结合AB中点的性质求出$OP_1$的长度，根据中心对称的性质得到$P_1P_2$的长度，接着求出$P_2B$的长度，最后分别计算$P_1B^2$和$P_2B·P_1P_2$的值，验证二者相等即可得证。
【解析】
证明：
∵$P_1$是$AB$的黄金分割点$(AP_1＞BP_1)$，
∴$AP_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
∴$P_1B=AB-AP_1=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
∵$O$是$AB$的中点，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=1$，
∴$OP_1=OB-P_1B=1-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2$。
∵$P_2$是$P_1$关于点$O$的对称点，
∴$P_1P_2=2OP_1=2(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}-4$，
∴$P_2B=P_1P_2+P_1B=2\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
计算得：
$P_1B^2=(3-\sqrt{5})^2=14-6\sqrt{5}$，
$P_2B·P_1P_2=(\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}-4)=14-6\sqrt{5}$，
∴$P_1B^2=P_2B·P_1P_2$。
【答案】
$P_1B$是$P_2B$和$P_1P_2$的比例中项线段。
【知识点】
黄金分割，比例中项，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查了线段相关的多个基础知识点，解题核心是将比例中项的证明转化为线段长度的等量验证，只要熟练掌握相关概念和性质，按步骤计算即可得出结论。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在$△ ABC$中,点 D 在边 AB上,且$BD=DC=AC$,已知$∠ ACE=108°,BC=2$。
(1)求$∠ B$的度数。
(2)我们把有一个内角等于$36°$的等腰三角形称为黄金三角形,它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由。
②求 AD 的长。
(1)求$∠ B$的度数。
(2)我们把有一个内角等于$36°$的等腰三角形称为黄金三角形,它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由。
②求 AD 的长。
答案
解:(1)设$∠B=x$。
因为BD=DC,所以$∠DCB=∠B=x$,
所以$∠ADC=∠B+∠DCB=2x$。
因为AC=DC,所以$∠A=∠ADC=2x$。
因为$∠ACE=∠B+∠A$,
所以$x+2x=108°$,解得$x=36°$,即$∠B$的度数为$36°$。
(2)①$△ABC,△DBC,△CAD$都是黄金三角形。
理由如下:
因为$DB=DC,∠B=36°$,所以$△DBC$为黄金三角形。
因为$∠BCA=180°-∠ACE=72°$,而$∠A=2×36°=72°$,
所以AB=BC。
又$∠B=36°$,所以$△ABC$为黄金三角形。
因为$∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°$,AC=DC,
所以$△CAD$为黄金三角形。
②因为$△BAC$为黄金三角形,所以$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又因为BC=2,所以$AC=\sqrt{5}-1$,所以$BD=CD=CA=\sqrt{5}-1$,
所以$AD=AB-BD=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
因为BD=DC,所以$∠DCB=∠B=x$,
所以$∠ADC=∠B+∠DCB=2x$。
因为AC=DC,所以$∠A=∠ADC=2x$。
因为$∠ACE=∠B+∠A$,
所以$x+2x=108°$,解得$x=36°$,即$∠B$的度数为$36°$。
(2)①$△ABC,△DBC,△CAD$都是黄金三角形。
理由如下:
因为$DB=DC,∠B=36°$,所以$△DBC$为黄金三角形。
因为$∠BCA=180°-∠ACE=72°$,而$∠A=2×36°=72°$,
所以AB=BC。
又$∠B=36°$,所以$△ABC$为黄金三角形。
因为$∠ACD=∠ACB-∠DCB=72°-36°=36°$,AC=DC,
所以$△CAD$为黄金三角形。
②因为$△BAC$为黄金三角形,所以$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又因为BC=2,所以$AC=\sqrt{5}-1$,所以$BD=CD=CA=\sqrt{5}-1$,
所以$AD=AB-BD=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数时，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的定理，设∠B为未知数列方程求解。(2) ① 先明确黄金三角形的定义：有一个内角为36°的等腰三角形，结合第一问求出的角度，逐一判断图中的等腰三角形是否存在36°内角即可；② 利用黄金三角形腰长和底边长的比为黄金比，先求出AC的长度，再通过线段和差关系计算AD的长。
【解析】
(1) 设$∠ B=x$。
∵ $BD=DC$，
∴ $∠ DCB=∠ B=x$，
根据三角形外角的性质，得$∠ ADC=∠ B+∠ DCB=2x$。
∵ $AC=DC$，
∴ $∠ A=∠ ADC=2x$。
∵ $∠ ACE$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACE=∠ B+∠ A$，
代入$∠ ACE=108°$得：$x+2x=108°$，解得$x=36°$，即$∠ B=36°$。
(2) ① 黄金三角形为$△ ABC$、$△ DBC$、$△ CAD$，选$△ DBC$说明理由：
∵ $DB=DC$，$△ DBC$是等腰三角形，又$∠ B=36°$，符合黄金三角形的定义，故$△ DBC$是黄金三角形。
（其余验证：$∠ ACB=180°-108°=72°$，$∠ A=2×36°=72°$，
∴ $∠ A=∠ ACB$，$AB=BC=2$，$△ ABC$是等腰三角形且$∠ B=36°$，是黄金三角形；$∠ ACD=72°-36°=36°$，$AC=DC$，$△ CAD$是等腰三角形且有36°内角，是黄金三角形。）
②
∵ $△ BAC$是黄金三角形，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$BC=2$，得$AC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，
∵ $BD=CD=AC$，
∴ $BD=\sqrt{5}-1$，又$AB=BC=2$，
∴ $AD=AB-BD=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ B=36°$；
(2) ① $△ ABC$、$△ DBC$、$△ CAD$；
② $AD=3-\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角定理、黄金三角形定义
【点评】
本题结合等腰三角形性质、三角形外角定理和新定义“黄金三角形”考查，解题核心是理清角的数量关系，正确理解新定义并运用黄金比计算，既考查基础知识点的运用，也考查对新定义的理解能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠B的度数时，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的定理，设∠B为未知数列方程求解。(2) ① 先明确黄金三角形的定义：有一个内角为36°的等腰三角形，结合第一问求出的角度，逐一判断图中的等腰三角形是否存在36°内角即可；② 利用黄金三角形腰长和底边长的比为黄金比，先求出AC的长度，再通过线段和差关系计算AD的长。
【解析】
(1) 设$∠ B=x$。
∵ $BD=DC$，
∴ $∠ DCB=∠ B=x$，
根据三角形外角的性质，得$∠ ADC=∠ B+∠ DCB=2x$。
∵ $AC=DC$，
∴ $∠ A=∠ ADC=2x$。
∵ $∠ ACE$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACE=∠ B+∠ A$，
代入$∠ ACE=108°$得：$x+2x=108°$，解得$x=36°$，即$∠ B=36°$。
(2) ① 黄金三角形为$△ ABC$、$△ DBC$、$△ CAD$，选$△ DBC$说明理由：
∵ $DB=DC$，$△ DBC$是等腰三角形，又$∠ B=36°$，符合黄金三角形的定义，故$△ DBC$是黄金三角形。
（其余验证：$∠ ACB=180°-108°=72°$，$∠ A=2×36°=72°$，
∴ $∠ A=∠ ACB$，$AB=BC=2$，$△ ABC$是等腰三角形且$∠ B=36°$，是黄金三角形；$∠ ACD=72°-36°=36°$，$AC=DC$，$△ CAD$是等腰三角形且有36°内角，是黄金三角形。）
②
∵ $△ BAC$是黄金三角形，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入$BC=2$，得$AC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，
∵ $BD=CD=AC$，
∴ $BD=\sqrt{5}-1$，又$AB=BC=2$，
∴ $AD=AB-BD=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ B=36°$；
(2) ① $△ ABC$、$△ DBC$、$△ CAD$；
② $AD=3-\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角定理、黄金三角形定义
【点评】
本题结合等腰三角形性质、三角形外角定理和新定义“黄金三角形”考查，解题核心是理清角的数量关系，正确理解新定义并运用黄金比计算，既考查基础知识点的运用，也考查对新定义的理解能力。
【难度系数】
0.7
